登录
19. 先阅读材料,再解答下列问题.
例:若$m^2+2mn+2n^2-6n+9=0$,求$m$和$n$的值.
解:$\because m^2+2mn+2n^2-6n+9=0$,
$\therefore m^2+2mn+n^2+n^2-6n+9=0$.
$\therefore (m+n)^2+(n-3)^2=0$.
$\therefore m+n=0,n-3=0$.
$\therefore m=-3,n=3$.
(1)若$x^2+2y^2-2xy+4y+4=0$,求$x$和$y$的值;
(2)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,满足$a^2+b^2=10a+8b-41$,且$c$是$△ ABC$中最长的边,求$c$的取值范围.
例:若$m^2+2mn+2n^2-6n+9=0$,求$m$和$n$的值.
解:$\because m^2+2mn+2n^2-6n+9=0$,
$\therefore m^2+2mn+n^2+n^2-6n+9=0$.
$\therefore (m+n)^2+(n-3)^2=0$.
$\therefore m+n=0,n-3=0$.
$\therefore m=-3,n=3$.
(1)若$x^2+2y^2-2xy+4y+4=0$,求$x$和$y$的值;
(2)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,满足$a^2+b^2=10a+8b-41$,且$c$是$△ ABC$中最长的边,求$c$的取值范围.
答案
解：(1)
$\because x^2+2y^2-2xy+4y+4=0$，
$\therefore x^2-2xy+y^2+y^2+4y+4=0$，
$\therefore (x-y)^2+(y+2)^2=0$，
$\therefore x-y=0$，$y+2=0$，
解得$x=-2$，$y=-2$。
(2)
$\because a^2+b^2=10a+8b-41$，
$\therefore a^2-10a+25+b^2-8b+16=0$，
$\therefore (a-5)^2+(b-4)^2=0$，
$\therefore a-5=0$，$b-4=0$，
解得$a=5$，$b=4$。
由三角形三边关系得$c ＜ a+b=9$，
又$\because c$是$△ ABC$中最长的边，
$\therefore c\ge5$，
$\therefore c$的取值范围是$5\le c＜9$。
$\because x^2+2y^2-2xy+4y+4=0$，
$\therefore x^2-2xy+y^2+y^2+4y+4=0$，
$\therefore (x-y)^2+(y+2)^2=0$，
$\therefore x-y=0$，$y+2=0$，
解得$x=-2$，$y=-2$。
(2)
$\because a^2+b^2=10a+8b-41$，
$\therefore a^2-10a+25+b^2-8b+16=0$，
$\therefore (a-5)^2+(b-4)^2=0$，
$\therefore a-5=0$，$b-4=0$，
解得$a=5$，$b=4$。
由三角形三边关系得$c ＜ a+b=9$，
又$\because c$是$△ ABC$中最长的边，
$\therefore c\ge5$，
$\therefore c$的取值范围是$5\le c＜9$。
解析
【分析】
本题可按照例题给出的配方法思路求解：
(1) 先把等式左边的多项式拆分重组，凑成两个完全平方式相加的形式，再根据“两个非负数的和为0，则两个非负数均为0”的性质列方程，即可求出x、y的值；
(2) 先将等式移项后配方，求出a、b的值，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”，以及c是最长边的限制条件，即可求出c的取值范围。
【解析】
(1)
$\because x^2+2y^2-2xy+4y+4=0$，
$\therefore x^2-2xy+y^2+y^2+4y+4=0$，
$\therefore (x-y)^2+(y+2)^2=0$，
$\because$ 平方数为非负数，两个非负数相加和为0，则两个非负数均为0，
$\therefore x-y=0$，$y+2=0$，
解得$x=-2$，$y=-2$。
(2)
$\because a^2+b^2=10a+8b-41$，
移项得$a^2-10a+b^2-8b+41=0$，
$\therefore a^2-10a+25+b^2-8b+16=0$，
$\therefore (a-5)^2+(b-4)^2=0$，
$\therefore a-5=0$，$b-4=0$，
解得$a=5$，$b=4$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$c ＜ a+b=5+4=9$，
又$\because c$是$△ ABC$中最长的边，
$\therefore c\ge a=5$，
$\therefore c$的取值范围是$5\le c＜9$。
【答案】
(1) $x=-2,y=-2$；(2) $5\le c＜9$
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查配方法的灵活运用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确对多项式拆分配方；求解第三边范围时要注意“最长边”的限制条件，避免遗漏下限取值。
【难度系数】
0.7
本题可按照例题给出的配方法思路求解：
(1) 先把等式左边的多项式拆分重组，凑成两个完全平方式相加的形式，再根据“两个非负数的和为0，则两个非负数均为0”的性质列方程，即可求出x、y的值；
(2) 先将等式移项后配方，求出a、b的值，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”，以及c是最长边的限制条件，即可求出c的取值范围。
【解析】
(1)
$\because x^2+2y^2-2xy+4y+4=0$，
$\therefore x^2-2xy+y^2+y^2+4y+4=0$，
$\therefore (x-y)^2+(y+2)^2=0$，
$\because$ 平方数为非负数，两个非负数相加和为0，则两个非负数均为0，
$\therefore x-y=0$，$y+2=0$，
解得$x=-2$，$y=-2$。
(2)
$\because a^2+b^2=10a+8b-41$，
移项得$a^2-10a+b^2-8b+41=0$，
$\therefore a^2-10a+25+b^2-8b+16=0$，
$\therefore (a-5)^2+(b-4)^2=0$，
$\therefore a-5=0$，$b-4=0$，
解得$a=5$，$b=4$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$c ＜ a+b=5+4=9$，
又$\because c$是$△ ABC$中最长的边，
$\therefore c\ge a=5$，
$\therefore c$的取值范围是$5\le c＜9$。
【答案】
(1) $x=-2,y=-2$；(2) $5\le c＜9$
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查配方法的灵活运用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确对多项式拆分配方；求解第三边范围时要注意“最长边”的限制条件，避免遗漏下限取值。
【难度系数】
0.7
20.某校开展“新时代好少年，红心永向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10 000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设质量，实际建设每间“读书吧”的费用增加了10%，实际总投资为15 400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”.
(1)原计划建设每间党史“读书吧”的费用是多少元？
(2)该校实际共建设了多少间党史“读书吧”？
(1)原计划建设每间党史“读书吧”的费用是多少元？
(2)该校实际共建设了多少间党史“读书吧”？
答案
解：(1)设原计划建设每间党史“读书吧”的费用是$x$元，
则实际建设每间党史“读书吧”的费用是$(1+10\%)x=1.1x$元。
根据题意列方程：
$\frac{15400}{1.1x}-\frac{10000}{x}=2$
化简得：
$\frac{14000}{x}-\frac{10000}{x}=2$
$\frac{4000}{x}=2$
解得：$x=2000$
经检验，$x=2000$是原分式方程的解，且符合题意。
(2)实际每间“读书吧”的费用为$1.1×2000=2200$元，
实际建设的间数为$\frac{15400}{2200}=7$。
答：(1)原计划建设每间党史“读书吧”的费用是2000元；(2)该校实际共建设了7间党史“读书吧”。
则实际建设每间党史“读书吧”的费用是$(1+10\%)x=1.1x$元。
根据题意列方程：
$\frac{15400}{1.1x}-\frac{10000}{x}=2$
化简得：
$\frac{14000}{x}-\frac{10000}{x}=2$
$\frac{4000}{x}=2$
解得：$x=2000$
经检验，$x=2000$是原分式方程的解，且符合题意。
(2)实际每间“读书吧”的费用为$1.1×2000=2200$元，
实际建设的间数为$\frac{15400}{2200}=7$。
答：(1)原计划建设每间党史“读书吧”的费用是2000元；(2)该校实际共建设了7间党史“读书吧”。
解析
【分析】
本题是分式方程的实际应用问题，解题思路清晰：针对第(1)问，我们设原计划建设每间“读书吧”的费用为x元，可推出实际每间费用为(1+10%)x元，抓住“实际建设间数比原计划多2间”这个核心等量关系列分式方程求解，注意分式方程要检验根的合理性；第(2)问可借助第(1)问的结果，先算出实际每间的建设费用，再用实际总投资除以实际每间费用即可得到实际建设的间数。
【解析】
(1)设原计划建设每间党史“读书吧”的费用是$x$元，
则实际建设每间党史“读书吧”的费用是$(1+10\%)x=1.1x$元。
根据题意列方程：
$\frac{15400}{1.1x}-\frac{10000}{x}=2$
化简得：
$\frac{14000}{x}-\frac{10000}{x}=2$
$\frac{4000}{x}=2$
解得：$x=2000$
经检验，$x=2000$是原分式方程的解，且符合题意。
(2)实际每间“读书吧”的费用为$1.1×2000=2200$元，
实际建设的间数为$\frac{15400}{2200}=7$。
【答案】
(1)原计划建设每间党史“读书吧”的费用是2000元；(2)该校实际共建设了7间党史“读书吧”。
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的解法；列方程解应用题
【点评】
本题结合热点生活情境考查方程的实际应用，难度适中，解题的核心是找准等量关系建立方程，同时要注意分式方程求解后必须检验根是否符合题意和实际情况，避免出现增根导致错误。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程的实际应用问题，解题思路清晰：针对第(1)问，我们设原计划建设每间“读书吧”的费用为x元，可推出实际每间费用为(1+10%)x元，抓住“实际建设间数比原计划多2间”这个核心等量关系列分式方程求解，注意分式方程要检验根的合理性；第(2)问可借助第(1)问的结果，先算出实际每间的建设费用，再用实际总投资除以实际每间费用即可得到实际建设的间数。
【解析】
(1)设原计划建设每间党史“读书吧”的费用是$x$元，
则实际建设每间党史“读书吧”的费用是$(1+10\%)x=1.1x$元。
根据题意列方程：
$\frac{15400}{1.1x}-\frac{10000}{x}=2$
化简得：
$\frac{14000}{x}-\frac{10000}{x}=2$
$\frac{4000}{x}=2$
解得：$x=2000$
经检验，$x=2000$是原分式方程的解，且符合题意。
(2)实际每间“读书吧”的费用为$1.1×2000=2200$元，
实际建设的间数为$\frac{15400}{2200}=7$。
【答案】
(1)原计划建设每间党史“读书吧”的费用是2000元；(2)该校实际共建设了7间党史“读书吧”。
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的解法；列方程解应用题
【点评】
本题结合热点生活情境考查方程的实际应用，难度适中，解题的核心是找准等量关系建立方程，同时要注意分式方程求解后必须检验根是否符合题意和实际情况，避免出现增根导致错误。
【难度系数】
0.7
