15.先化简,再求值:$\dfrac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} · \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x}$,其中$x=2$.

解：
原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}$
$=\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$
$=\frac{x - (x-1)}{x(x-1)}$
$=\frac{1}{x(x-1)}$
当$x=2$时，
原式$=\frac{1}{2×(2-1)}=\frac{1}{2}$

【分析】
这是一道分式化简求值题，解题可按三步推进：第一步先对分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解，优先计算分式乘法，通过约分化简乘法部分的结果；第二步再计算分式减法，通过通分转化为同分母分式后运算，将原式化简为最简分式；最后将x=2代入最简分式计算最终结果，先化简再代值能降低计算难度、减少出错概率。
【解析】
解：对原式先因式分解再逐步运算：
原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}$
约分后可得：$=\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$
取公分母$x(x-1)$通分计算：$=\frac{x}{x(x-1)} - \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{x - (x-1)}{x(x-1)}$
化简分子得：$=\frac{1}{x(x-1)}$
将$x=2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{2×(2-1)}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
因式分解、分式混合运算、代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础常规题型，重点考察因式分解方法和分式运算法则的掌握程度，计算时要注意约分、通分的规范性，代入数值前需确认所给数值不会使原式分母为0，本题x=2符合取值要求。
【难度系数】
0.8

16.如图,在正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,请利用格点和无刻度直尺完成下面的作图(保留作图痕迹,不写作法).
(1)在图①中,作△ABC的高BD;
(2)在图②中,作△ABC的中线BE.

解：
(1) 如图①，过点B作BD⊥AC，垂足为D，线段BD即为△ABC的高，保留对应作图痕迹；
(2) 如图②，利用格点性质找到AC边的中点E，连接BE，线段BE即为△ABC的中线，保留对应作图痕迹。

【分析】
（1）作△ABC的高BD，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。我们可以借助网格的直角特征，找到过点B且与AC垂直的直线，该直线与AC的交点就是垂足D，连接BD即可得到高。
（2）作△ABC的中线BE，首先要明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和对边中点的线段就是三角形的中线。我们可以利用格点的特征，先找到AC边的中点E，再连接BE即可得到中线。
【解析】
(1) 观察AC的倾斜方向，利用网格中正方形边垂直、对角线垂直的性质，找到过点B且与AC垂直的格点辅助线，确定该线与AC的交点为D，连接BD，线段BD即为所求的高，注意保留作图的辅助线痕迹。
(2) 结合格点位置，通过数格距或者构造矩形对角线交点的方法，确定AC边的中点E，连接BE，线段BE即为所求的中线，注意保留找中点的辅助线痕迹。
【答案】
(1) 如图①，过点B作BD⊥AC，垂足为D，线段BD即为△ABC的高，保留对应作图痕迹；
(2) 如图②，利用格点性质找到AC边的中点E，连接BE，线段BE即为△ABC的中线，保留对应作图痕迹。
【知识点】
三角形高的定义、三角形中线的定义、网格作图
【点评】
本题结合网格考查三角形高和中线的作图，需要准确掌握高与中线的概念，灵活运用网格的结构特征确定垂线和线段中点，是巩固三角形基本线段概念的典型基础题。
【难度系数】
0.7

17.如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF.求证△ADF≌△BCE.

证明：
∵ AE = BF，
∴ AE + EF = BF + EF，
即 AF = BE。
在△ADF和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD = BC \\∠A = ∠B \\AF = BE\end{array} $
∴ △ADF ≌ △BCE（SAS）。

【分析】
要证明△ADF≌△BCE，首先梳理已知条件：题目已给出一组对应边相等AD=BC，一组对应角相等∠A=∠B，若用边角边（SAS）判定全等，还需要证明∠A和∠B的另一组邻边对应相等，即AF=BE。已知AE=BF，观察线段AF、BE与AE、BF的关系，给AE和BF同时加上公共线段EF，即可得到AF=BE，凑齐SAS的判定条件后就能证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
∵ AE = BF，
∴ AE + EF = BF + EF，
即 AF = BE。
在△ADF和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD = BC \\∠ A = ∠ B \\AF = BE\end{array} $
∴ △ADF ≌ △BCE（SAS）。
【答案】
△ADF≌△BCE
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础类题型，解题的核心是利用已知线段相等关系结合公共线段推导出全等所需的对应边相等，熟练掌握全等三角形的判定定理可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8

18.在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为$(-1,a+4),(b,2a-3)$。
(1)当点A在第二象限的角平分线上时，求a的值；
(2)当点A和点B关于y轴对称时，求点B所在的象限位置。

解：
(1) ∵ 第二象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，点$A(-1,a+4)$在第二象限的角平分线上，
∴ $-1 + (a+4) = 0$，
解得 $a=-3$。
(2) ∵ 点$A$和点$B$关于$y$轴对称，
∴ 两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases} b = -(-1) \\ a+4 = 2a-3 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} a=7 \\ b=1 \end{cases}$，
∴ 点$B$的坐标为$(1, 2×7 - 3)$，即$(1,11)$，
∴ 点$B$在第一象限。

【分析】
(1) 解题思路：先回忆第二象限角平分线上点的坐标特征：横、纵坐标互为相反数，即横坐标与纵坐标的和为0，将点A的横、纵坐标代入该等量关系列方程，即可求出a的值；
(2) 解题思路：先明确关于y轴对称的两点坐标规律：纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此列出关于a、b的方程组，求解得到a、b的值后确定点B的坐标，再根据各象限点的坐标符号特征判断点B所在象限。
【解析】
(1)
∵ 第二象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，点$A(-1,a+4)$在第二象限的角平分线上，
∴ $-1 + (a+4) = 0$，
解得 $a=-3$。
(2)
∵ 点$A$和点$B$关于$y$轴对称，
∴ 两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases} b = -(-1) \\ a+4 = 2a-3 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} a=7 \\ b=1 \end{cases}$，
∴ 点$B$的坐标为$(1, 2×7 - 3)$，即$(1,11)$，
∴ 点$B$在第一象限。
【答案】
(1) $a=-3$；(2) 点$B$在第一象限
【知识点】
1. 象限角平分线的坐标特征
2. 关于y轴对称的点的坐标性质
3. 象限内点的符号特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律，属于基础题，解题的核心是熟记相关坐标性质，准确建立方程（组）求解即可，运算难度较小。
【难度系数】
0.85