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8.使式子$\dfrac{x+3}{x-3}÷\dfrac{x+5}{x-4}$有意义的$x$的取值范围是.
答案
解：要使式子$\dfrac{x+3}{x-3}÷\dfrac{x+5}{x-4}$有意义，需满足：
$\begin{cases}x-3≠0 \\x-4≠0 \\x+5≠0\end{cases}$
解得$x≠3$，$x≠4$，$x≠-5$。
即$x$的取值范围是$x≠-5$且$x≠3$且$x≠4$。
$\begin{cases}x-3≠0 \\x-4≠0 \\x+5≠0\end{cases}$
解得$x≠3$，$x≠4$，$x≠-5$。
即$x$的取值范围是$x≠-5$且$x≠3$且$x≠4$。
解析
【分析】
要使分式组成的除法算式有意义，需同时满足两个规则：一是所有分式的分母不能为0，二是除法运算中的除数不能为0。我们先找出式子中所有的分母，以及除数的分子，分别列出不等于0的限制条件，再解这些不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
要使式子$\dfrac{x+3}{x-3}÷\dfrac{x+5}{x-4}$有意义，需满足以下条件：
1. 被除式的分母不为0：$x-3≠0$
2. 除式的分母不为0：$x-4≠0$
3. 除式整体不为0（即除式的分子不为0）：$x+5≠0$
联立得不等式组：$\begin{cases}x-3≠0 \\x-4≠0 \\x+5≠0\end{cases}$
分别解得：$x≠3$，$x≠4$，$x≠-5$
即$x$的取值范围是$x≠-5$且$x≠3$且$x≠4$。
【答案】
$x≠-5$且$x≠3$且$x≠4$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 除法有意义的条件
【点评】
本题属于基础考查题型，解题关键是找全所有限制式子有意义的条件，易错点是容易遗漏除式的分子不能为0这一要求，做题时要逐一排查所有可能导致式子无意义的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要使分式组成的除法算式有意义，需同时满足两个规则：一是所有分式的分母不能为0，二是除法运算中的除数不能为0。我们先找出式子中所有的分母，以及除数的分子，分别列出不等于0的限制条件，再解这些不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
要使式子$\dfrac{x+3}{x-3}÷\dfrac{x+5}{x-4}$有意义，需满足以下条件：
1. 被除式的分母不为0：$x-3≠0$
2. 除式的分母不为0：$x-4≠0$
3. 除式整体不为0（即除式的分子不为0）：$x+5≠0$
联立得不等式组：$\begin{cases}x-3≠0 \\x-4≠0 \\x+5≠0\end{cases}$
分别解得：$x≠3$，$x≠4$，$x≠-5$
即$x$的取值范围是$x≠-5$且$x≠3$且$x≠4$。
【答案】
$x≠-5$且$x≠3$且$x≠4$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 除法有意义的条件
【点评】
本题属于基础考查题型，解题关键是找全所有限制式子有意义的条件，易错点是容易遗漏除式的分子不能为0这一要求，做题时要逐一排查所有可能导致式子无意义的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9.如图，AB与EF相交于点D，D是AB的中点.添加条件后，△BDF≌△ADE.
答案
$\boldsymbol{DE=DF}$（答案不唯一，也可填写$∠ A=∠ DBF$、$∠ E=∠ F$、$AE// BF$等符合要求的条件）
解析
【分析】
要证明$△ BDF≌△ ADE$，先梳理已知条件：已知D是AB的中点，可得$BD=AD$；又AB和EF交于点D，可得对顶角$∠ BDF=∠ ADE$，此时已经具备一组边相等、一组角相等的条件。结合全等三角形的判定定理，只需补充一个符合判定要求的条件即可：若用SAS判定，可补充夹该角的另一组边相等；若用ASA/AAS判定，可补充另一组对应角相等，若补充$AE// BF$，也可通过平行线性质得到对应角相等，进而证明全等。
【解析】
已知D是AB中点，$\therefore BD=AD$，
$\because ∠ BDF$与$∠ ADE$是对顶角，$\therefore ∠ BDF=∠ ADE$。
以添加$DE=DF$为例：
在$△ BDF$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}BD=AD\\∠ BDF=∠ ADE\\DF=DE\end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ ADE(\mathrm{SAS})$。
若添加其他符合要求的条件，对应结合ASA、AAS定理也可证明全等。
【答案】
$DE=DF$（答案不唯一，也可填写$∠ A=∠ DBF$、$∠ E=∠ F$、$AE// BF$等符合要求的条件）
【知识点】
全等三角形的判定、对顶角的性质、平行线的性质
【点评】
本题为开放性试题，核心考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时先梳理题干已给出的全等要素，再结合判定定理补充缺失的条件即可，解题思路多元，难度较低。
【难度系数】
0.7
要证明$△ BDF≌△ ADE$，先梳理已知条件：已知D是AB的中点，可得$BD=AD$；又AB和EF交于点D，可得对顶角$∠ BDF=∠ ADE$，此时已经具备一组边相等、一组角相等的条件。结合全等三角形的判定定理，只需补充一个符合判定要求的条件即可：若用SAS判定，可补充夹该角的另一组边相等；若用ASA/AAS判定，可补充另一组对应角相等，若补充$AE// BF$，也可通过平行线性质得到对应角相等，进而证明全等。
【解析】
已知D是AB中点，$\therefore BD=AD$，
$\because ∠ BDF$与$∠ ADE$是对顶角，$\therefore ∠ BDF=∠ ADE$。
以添加$DE=DF$为例：
在$△ BDF$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}BD=AD\\∠ BDF=∠ ADE\\DF=DE\end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ ADE(\mathrm{SAS})$。
若添加其他符合要求的条件，对应结合ASA、AAS定理也可证明全等。
【答案】
$DE=DF$（答案不唯一，也可填写$∠ A=∠ DBF$、$∠ E=∠ F$、$AE// BF$等符合要求的条件）
【知识点】
全等三角形的判定、对顶角的性质、平行线的性质
【点评】
本题为开放性试题，核心考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时先梳理题干已给出的全等要素，再结合判定定理补充缺失的条件即可，解题思路多元，难度较低。
【难度系数】
0.7
10.如图，已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AC$的垂直平分线交$AC$于点$E$，交$BC$于点$F$。如果$CF=8$，那么$BF=$。
答案
$\boldsymbol{16}$
解析
【分析】
解题时先观察题目条件，出现线段垂直平分线，优先利用其性质构造辅助线：连接AF，可得AF=CF，将已知CF的长度进行转化；再结合等腰△ABC的内角条件求出各底角度数，推导得到△ABF为含30°角的直角三角形，最后利用特殊直角三角形的边长关系计算BF的长度。
【解析】
解：连接AF
∵EF是AC的垂直平分线
∴AF=CF=8，∠FAC=∠C
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°
∴∠FAC=30°
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，即△ABF为直角三角形
在Rt△ABF中，∠B=30°，30°角所对的直角边为AF
∴AF=½BF
∴BF=2AF=2×8=16
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是正确作出辅助线，将分散的已知条件整合到同一个特殊三角形中，考查了对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题目条件，出现线段垂直平分线，优先利用其性质构造辅助线：连接AF，可得AF=CF，将已知CF的长度进行转化；再结合等腰△ABC的内角条件求出各底角度数，推导得到△ABF为含30°角的直角三角形，最后利用特殊直角三角形的边长关系计算BF的长度。
【解析】
解：连接AF
∵EF是AC的垂直平分线
∴AF=CF=8，∠FAC=∠C
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°
∴∠FAC=30°
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，即△ABF为直角三角形
在Rt△ABF中，∠B=30°，30°角所对的直角边为AF
∴AF=½BF
∴BF=2AF=2×8=16
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是正确作出辅助线，将分散的已知条件整合到同一个特殊三角形中，考查了对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$△ ABC$中，若$△ ABC$的面积为30，$BD=2CD$，$E$是$AC$的中点，$BE$与$AD$相交于点$F$，则四边形$DCEF$的面积为。
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
本题可利用同高三角形的面积比等于对应底边长的比这一规律求解。首先根据已知的边长比例关系和三角形总面积，先求出△ACD、△BCE的面积；再设两个小三角形的面积为未知数，根据各部分面积的等量关系列出二元一次方程组，解出未知数后相加即可得到四边形的面积。
【解析】
1. 求部分三角形面积：
△ABD和△ACD同高（以A为顶点，向BC作高），且BD:CD=2:1，因此面积比也为2:1。
已知$S_{△ABC}=30$，故$S_{△ACD}=30×\frac{1}{1+2}=10$，$S_{△ABD}=20$。
E是AC中点，△ABE和△CBE同高（以B为顶点，向AC作高），底AE=EC，因此$S_{△CBE}=S_{△ABE}=\frac{1}{2}×30=15$。
2. 设未知数列方程：
设$S_{△CDF}=x$，$S_{△CEF}=y$，所求四边形DCEF的面积为$x+y$。
△BDF和△CDF同高，BD:CD=2:1，故$S_{△BDF}=2x$；
△AEF和△CEF同高，AE=EC，故$S_{△AEF}=y$。
根据$S_{△ACD}=10$，可得：$S_{△AEF}+S_{△CEF}+S_{△CDF}=y+y+x=10$，即$x+2y=10$ ①；
根据$S_{△CBE}=15$，可得：$S_{△BDF}+S_{△CDF}+S_{△CEF}=2x+x+y=15$，即$3x+y=15$ ②。
3. 解方程组：
由②得$y=15-3x$，代入①：
$x+2(15-3x)=10$，解得$x=4$，代入得$y=15-3×4=3$。
因此$S_{四边形DCEF}=x+y=4+3=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
同高三角形面积比例关系，三角形中线性质，二元一次方程组应用
【点评】
本题是典型的三角形面积比例问题，将几何面积关系转化为方程求解是常用解题思路，解题的关键是熟练掌握同高三角形面积与底的正比规律，准确梳理各部分面积的等量关系。
【难度系数】
0.6
本题可利用同高三角形的面积比等于对应底边长的比这一规律求解。首先根据已知的边长比例关系和三角形总面积，先求出△ACD、△BCE的面积；再设两个小三角形的面积为未知数，根据各部分面积的等量关系列出二元一次方程组，解出未知数后相加即可得到四边形的面积。
【解析】
1. 求部分三角形面积：
△ABD和△ACD同高（以A为顶点，向BC作高），且BD:CD=2:1，因此面积比也为2:1。
已知$S_{△ABC}=30$，故$S_{△ACD}=30×\frac{1}{1+2}=10$，$S_{△ABD}=20$。
E是AC中点，△ABE和△CBE同高（以B为顶点，向AC作高），底AE=EC，因此$S_{△CBE}=S_{△ABE}=\frac{1}{2}×30=15$。
2. 设未知数列方程：
设$S_{△CDF}=x$，$S_{△CEF}=y$，所求四边形DCEF的面积为$x+y$。
△BDF和△CDF同高，BD:CD=2:1，故$S_{△BDF}=2x$；
△AEF和△CEF同高，AE=EC，故$S_{△AEF}=y$。
根据$S_{△ACD}=10$，可得：$S_{△AEF}+S_{△CEF}+S_{△CDF}=y+y+x=10$，即$x+2y=10$ ①；
根据$S_{△CBE}=15$，可得：$S_{△BDF}+S_{△CDF}+S_{△CEF}=2x+x+y=15$，即$3x+y=15$ ②。
3. 解方程组：
由②得$y=15-3x$，代入①：
$x+2(15-3x)=10$，解得$x=4$，代入得$y=15-3×4=3$。
因此$S_{四边形DCEF}=x+y=4+3=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
同高三角形面积比例关系，三角形中线性质，二元一次方程组应用
【点评】
本题是典型的三角形面积比例问题，将几何面积关系转化为方程求解是常用解题思路，解题的关键是熟练掌握同高三角形面积与底的正比规律，准确梳理各部分面积的等量关系。
【难度系数】
0.6
12. 提升题＞如图, 已知 $∠ BOC=60°,A$ 是 OB 反向延长线上一点, $OA=10\ \mathrm{cm}$. 动点 $P$ 从点 $A$ 出发, 沿 $AB$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动, 动点 $Q$ 从点 $O$ 出发, 沿 $OC$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动.如果点 $P,Q$ 同时出发, 用 $t$(单位:s)表示移动的时间, 那么当 $t=$ s 时, $△ POQ$ 是以 $O$为顶角顶点的等腰三角形.
答案
解：
要使$△ POQ$是以$O$为顶角顶点的等腰三角形，需满足$OP = OQ$，分两种情况讨论：
① 当点$P$在线段$OA$上，即$0 ＜ t ≤ 5$时：
$AP = 2t\ \mathrm{cm}$，$OP = OA - AP = (10 - 2t)\ \mathrm{cm}$，$OQ = t\ \mathrm{cm}$，
列方程得：$10 - 2t = t$，
解得：$t = \dfrac{10}{3}$，符合取值范围。
② 当点$P$在线段$OB$上，即$t ＞ 5$时：
$AP = 2t\ \mathrm{cm}$，$OP = AP - OA = (2t - 10)\ \mathrm{cm}$，$OQ = t\ \mathrm{cm}$，
列方程得：$2t - 10 = t$，
解得：$t = 10$，符合取值范围。
综上，$t = \boldsymbol{\dfrac{10}{3}或10}$ s。
要使$△ POQ$是以$O$为顶角顶点的等腰三角形，需满足$OP = OQ$，分两种情况讨论：
① 当点$P$在线段$OA$上，即$0 ＜ t ≤ 5$时：
$AP = 2t\ \mathrm{cm}$，$OP = OA - AP = (10 - 2t)\ \mathrm{cm}$，$OQ = t\ \mathrm{cm}$，
列方程得：$10 - 2t = t$，
解得：$t = \dfrac{10}{3}$，符合取值范围。
② 当点$P$在线段$OB$上，即$t ＞ 5$时：
$AP = 2t\ \mathrm{cm}$，$OP = AP - OA = (2t - 10)\ \mathrm{cm}$，$OQ = t\ \mathrm{cm}$，
列方程得：$2t - 10 = t$，
解得：$t = 10$，符合取值范围。
综上，$t = \boldsymbol{\dfrac{10}{3}或10}$ s。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确以O为顶角顶点的等腰三角形的核心特征是两条腰OP=OQ。接下来分析动点的运动情况：点P从A出发沿AB运动，会先后经过线段OA、线段OB两个阶段，两个阶段中OP的长度表达式不同，因此需要分情况讨论。先分别写出不同时间段内OP、OQ的长度表达式，再根据OP=OQ列方程求解，最后验证解是否符合对应时间段的要求即可。
【解析】
要使$△ POQ$是以$O$为顶角顶点的等腰三角形，需满足腰长相等，即$OP = OQ$，分两种情况讨论：
① 当点$P$在线段$OA$上，即$0 ＜ t ≤ 5$时：
点P的运动路程$AP = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$OP = OA - AP = (10 - 2t)\ \mathrm{cm}$；
点Q的运动路程$OQ = t\ \mathrm{cm}$；
根据$OP=OQ$列方程得：$10 - 2t = t$，
解得：$t = \dfrac{10}{3}$，符合$0 ＜ t ≤ 5$的取值范围。
② 当点$P$在线段$OB$上，即$t ＞ 5$时：
点P的运动路程$AP = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$OP = AP - OA = (2t - 10)\ \mathrm{cm}$；
点Q的运动路程$OQ = t\ \mathrm{cm}$；
根据$OP=OQ$列方程得：$2t - 10 = t$，
解得：$t = 10$，符合$t ＞ 5$的取值范围。
综上，$t$的值为$\dfrac{10}{3}$或$10$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{10}{3}或10}$
【知识点】
等腰三角形性质、动点分类讨论、一元一次方程应用
【点评】
本题是等腰三角形与动点问题结合的常见题型，解题的关键是抓住等腰三角形腰相等的核心条件，根据动点的位置变化合理分类讨论，同时要注意验证所求的解是否符合动点的实际运动范围，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确以O为顶角顶点的等腰三角形的核心特征是两条腰OP=OQ。接下来分析动点的运动情况：点P从A出发沿AB运动，会先后经过线段OA、线段OB两个阶段，两个阶段中OP的长度表达式不同，因此需要分情况讨论。先分别写出不同时间段内OP、OQ的长度表达式，再根据OP=OQ列方程求解，最后验证解是否符合对应时间段的要求即可。
【解析】
要使$△ POQ$是以$O$为顶角顶点的等腰三角形，需满足腰长相等，即$OP = OQ$，分两种情况讨论：
① 当点$P$在线段$OA$上，即$0 ＜ t ≤ 5$时：
点P的运动路程$AP = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$OP = OA - AP = (10 - 2t)\ \mathrm{cm}$；
点Q的运动路程$OQ = t\ \mathrm{cm}$；
根据$OP=OQ$列方程得：$10 - 2t = t$，
解得：$t = \dfrac{10}{3}$，符合$0 ＜ t ≤ 5$的取值范围。
② 当点$P$在线段$OB$上，即$t ＞ 5$时：
点P的运动路程$AP = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$OP = AP - OA = (2t - 10)\ \mathrm{cm}$；
点Q的运动路程$OQ = t\ \mathrm{cm}$；
根据$OP=OQ$列方程得：$2t - 10 = t$，
解得：$t = 10$，符合$t ＞ 5$的取值范围。
综上，$t$的值为$\dfrac{10}{3}$或$10$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{10}{3}或10}$
【知识点】
等腰三角形性质、动点分类讨论、一元一次方程应用
【点评】
本题是等腰三角形与动点问题结合的常见题型，解题的关键是抓住等腰三角形腰相等的核心条件，根据动点的位置变化合理分类讨论，同时要注意验证所求的解是否符合动点的实际运动范围，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13.(1)计算:$(x+2)^2 - (x+1)(x-1)$.
(2)解分式方程:$\dfrac{3x}{x-1} - \dfrac{2}{1-x}=1$.
13.(1)计算:$(x+2)^2 - (x+1)(x-1)$.
(2)解分式方程:$\dfrac{3x}{x-1} - \dfrac{2}{1-x}=1$.
答案
解：(1) 计算$(x+2)^2-(x+1)(x-1)$
原式$=x^2+4x+4-(x^2-1)$
$=x^2+4x+4-x^2+1$
$=4x+5$
(2) 解分式方程$\dfrac{3x}{x-1}-\dfrac{2}{1-x}=1$
方程可变形为$\dfrac{3x}{x-1}+\dfrac{2}{x-1}=1$
方程两边同乘$x-1$，得：
$3x+2=x-1$
移项，得$3x-x=-1-2$
合并同类项，得$2x=-3$
系数化为1，得$x=-\dfrac{3}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$x-1=-\dfrac{5}{2}≠0$，
所以原分式方程的解为$x=-\dfrac{3}{2}$。
原式$=x^2+4x+4-(x^2-1)$
$=x^2+4x+4-x^2+1$
$=4x+5$
(2) 解分式方程$\dfrac{3x}{x-1}-\dfrac{2}{1-x}=1$
方程可变形为$\dfrac{3x}{x-1}+\dfrac{2}{x-1}=1$
方程两边同乘$x-1$，得：
$3x+2=x-1$
移项，得$3x-x=-1-2$
合并同类项，得$2x=-3$
系数化为1，得$x=-\dfrac{3}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$x-1=-\dfrac{5}{2}≠0$，
所以原分式方程的解为$x=-\dfrac{3}{2}$。
解析
【分析】
(1) 本题考查整式的混合运算，解题时先利用完全平方公式展开$(x+2)^2$，利用平方差公式展开$(x+1)(x-1)$，再去括号，最后合并同类项即可，注意去括号时符号的变化规则。
(2) 本题考查分式方程的求解，首先观察到分母$x-1$和$1-x$互为相反数，先统一分母，再给方程两边同乘最简公分母$x-1$，将分式方程转化为整式方程求解，最后必须代入最简公分母检验，排除增根。
【解析】
(1) 计算$(x+2)^2-(x+1)(x-1)$
原式$=x^2+4x+4-(x^2-1)$
$=x^2+4x+4-x^2+1$
$=4x+5$
(2) 解分式方程$\dfrac{3x}{x-1}-\dfrac{2}{1-x}=1$
方程可变形为$\dfrac{3x}{x-1}+\dfrac{2}{x-1}=1$
方程两边同乘$x-1$，得：
$3x+2=x-1$
移项，得$3x-x=-1-2$
合并同类项，得$2x=-3$
系数化为1，得$x=-\dfrac{3}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$x-1=-\dfrac{5}{2}≠0$，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4x+5}$
(2) $\boldsymbol{x=-\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
整式的混合运算，分式方程的解法，乘法公式应用
【点评】
本题属于基础运算题型，整式运算部分侧重考查乘法公式的运用和去括号符号规则，分式方程部分侧重考查特殊分母的变形和解后检验的必要步骤，整体运算难度低，掌握基础运算规则、细心计算即可拿到全部分值。
【难度系数】
0.85
(1) 本题考查整式的混合运算，解题时先利用完全平方公式展开$(x+2)^2$，利用平方差公式展开$(x+1)(x-1)$，再去括号，最后合并同类项即可，注意去括号时符号的变化规则。
(2) 本题考查分式方程的求解，首先观察到分母$x-1$和$1-x$互为相反数，先统一分母，再给方程两边同乘最简公分母$x-1$，将分式方程转化为整式方程求解，最后必须代入最简公分母检验，排除增根。
【解析】
(1) 计算$(x+2)^2-(x+1)(x-1)$
原式$=x^2+4x+4-(x^2-1)$
$=x^2+4x+4-x^2+1$
$=4x+5$
(2) 解分式方程$\dfrac{3x}{x-1}-\dfrac{2}{1-x}=1$
方程可变形为$\dfrac{3x}{x-1}+\dfrac{2}{x-1}=1$
方程两边同乘$x-1$，得：
$3x+2=x-1$
移项，得$3x-x=-1-2$
合并同类项，得$2x=-3$
系数化为1，得$x=-\dfrac{3}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{2}$时，$x-1=-\dfrac{5}{2}≠0$，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4x+5}$
(2) $\boldsymbol{x=-\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
整式的混合运算，分式方程的解法，乘法公式应用
【点评】
本题属于基础运算题型，整式运算部分侧重考查乘法公式的运用和去括号符号规则，分式方程部分侧重考查特殊分母的变形和解后检验的必要步骤，整体运算难度低，掌握基础运算规则、细心计算即可拿到全部分值。
【难度系数】
0.85
14. 先化简，再求值：$[a(a^2b^2 - ab) - b(a^2 - a^3b)] ÷ 2a^2b$，其中$a = -\dfrac{1}{2}$，$b = \dfrac{1}{3}$。
答案
解：
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&[a(a^2b^2 - ab) - b(a^2 - a^3b)] ÷ 2a^2b\\=&(a^3b^2 - a^2b - a^2b + a^3b^2) ÷ 2a^2b\\=&(2a^3b^2 - 2a^2b) ÷ 2a^2b\\=&2a^3b^2 ÷ 2a^2b - 2a^2b ÷ 2a^2b\\=&ab - 1\end{aligned}$
将$a = -\dfrac{1}{2}$，$b = \dfrac{1}{3}$代入化简后的式子：
$ab - 1 = (-\dfrac{1}{2}) × \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{1}{6} - 1 = -\dfrac{7}{6}$
最终结果为$-\dfrac{7}{6}$。
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&[a(a^2b^2 - ab) - b(a^2 - a^3b)] ÷ 2a^2b\\=&(a^3b^2 - a^2b - a^2b + a^3b^2) ÷ 2a^2b\\=&(2a^3b^2 - 2a^2b) ÷ 2a^2b\\=&2a^3b^2 ÷ 2a^2b - 2a^2b ÷ 2a^2b\\=&ab - 1\end{aligned}$
将$a = -\dfrac{1}{2}$，$b = \dfrac{1}{3}$代入化简后的式子：
$ab - 1 = (-\dfrac{1}{2}) × \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{1}{6} - 1 = -\dfrac{7}{6}$
最终结果为$-\dfrac{7}{6}$。
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：①先处理括号内的运算：分别运用单项式乘多项式的法则展开两个乘积项，展开时注意不要漏乘项，同时注意符号变化；②合并展开后的同类项，简化括号内的整式；③运用多项式除以单项式的法则，将括号内的每一项分别除以除式，得到最简整式；④最后将a、b的数值代入最简式计算，相比直接代入原式计算更简便，不易出错。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&[a(a^2b^2 - ab) - b(a^2 - a^3b)] ÷ 2a^2b\\=&(a^3b^2 - a^2b - a^2b + a^3b^2) ÷ 2a^2b\\=&(2a^3b^2 - 2a^2b) ÷ 2a^2b\\=&2a^3b^2 ÷ 2a^2b - 2a^2b ÷ 2a^2b\\=&ab - 1\end{aligned}$
将$a = -\dfrac{1}{2}$，$b = \dfrac{1}{3}$代入化简后的式子：
$ab - 1 = (-\dfrac{1}{2}) × \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{1}{6} - 1 = -\dfrac{7}{6}$
【答案】
$-\dfrac{7}{6}$
【知识点】
单项式乘多项式，多项式除以单项式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考查整式混合运算的顺序和运算法则的应用，解题时需注意去括号的符号处理以及除法运算中同底数幂的指数变化规律，熟练掌握基础运算法则是准确解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：①先处理括号内的运算：分别运用单项式乘多项式的法则展开两个乘积项，展开时注意不要漏乘项，同时注意符号变化；②合并展开后的同类项，简化括号内的整式；③运用多项式除以单项式的法则，将括号内的每一项分别除以除式，得到最简整式；④最后将a、b的数值代入最简式计算，相比直接代入原式计算更简便，不易出错。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&[a(a^2b^2 - ab) - b(a^2 - a^3b)] ÷ 2a^2b\\=&(a^3b^2 - a^2b - a^2b + a^3b^2) ÷ 2a^2b\\=&(2a^3b^2 - 2a^2b) ÷ 2a^2b\\=&2a^3b^2 ÷ 2a^2b - 2a^2b ÷ 2a^2b\\=&ab - 1\end{aligned}$
将$a = -\dfrac{1}{2}$，$b = \dfrac{1}{3}$代入化简后的式子：
$ab - 1 = (-\dfrac{1}{2}) × \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{1}{6} - 1 = -\dfrac{7}{6}$
【答案】
$-\dfrac{7}{6}$
【知识点】
单项式乘多项式，多项式除以单项式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考查整式混合运算的顺序和运算法则的应用，解题时需注意去括号的符号处理以及除法运算中同底数幂的指数变化规律，熟练掌握基础运算法则是准确解题的关键。
【难度系数】
0.7
