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一、选择题
1.下列图形是轴对称图形的是()
1.下列图形是轴对称图形的是()
答案
A
解析
【分析】
要判断一个图形是不是轴对称图形，首先回忆轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。解题时我们只需要逐个验证四个选项的图形，是否存在这样的一条直线即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A：沿过圆心的竖直直线（或水平直线）折叠，直线两侧的图形可以完全重合，属于轴对称图形；
2. 选项B：找不到任意一条直线，使得沿直线折叠后图形两侧完全重合，不属于轴对称图形；
3. 选项C：不存在符合要求的对称轴，是中心对称图形，不是轴对称图形；
4. 选项D：不存在符合要求的对称轴，不属于轴对称图形。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题是基础类题目，核心考查轴对称图形的判定方法，解题时紧扣“沿直线折叠后两侧完全重合”这一特征判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断一个图形是不是轴对称图形，首先回忆轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。解题时我们只需要逐个验证四个选项的图形，是否存在这样的一条直线即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A：沿过圆心的竖直直线（或水平直线）折叠，直线两侧的图形可以完全重合，属于轴对称图形；
2. 选项B：找不到任意一条直线，使得沿直线折叠后图形两侧完全重合，不属于轴对称图形；
3. 选项C：不存在符合要求的对称轴，是中心对称图形，不是轴对称图形；
4. 选项D：不存在符合要求的对称轴，不属于轴对称图形。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题是基础类题目，核心考查轴对称图形的判定方法，解题时紧扣“沿直线折叠后两侧完全重合”这一特征判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 下列计算正确的是()
A.$a^3 · a^4 = a^{12}$
B.$(ab^2)^3 = ab^6$
C.$a^{10} ÷ a^2 = a^5$
D.$(-a^4)^2 = a^8$
A.$a^3 · a^4 = a^{12}$
B.$(ab^2)^3 = ab^6$
C.$a^{10} ÷ a^2 = a^5$
D.$(-a^4)^2 = a^8$
答案
D
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算法则的应用，解题思路是逐一分析每个选项，结合对应的幂的运算法则计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。解题需要熟练掌握同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方这几类核心运算规则。
【解析】
我们逐个验证选项：
A. 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的规则：$a^3 · a^4 = a^{3+4}=a^7 ≠ a^{12}$，因此A错误；
B. 根据积的乘方等于积内各因式分别乘方，再把所得幂相乘，结合幂的乘方底数不变、指数相乘的规则：$(ab^2)^3 = a^3·(b^2)^3=a^3b^{2×3}=a^3b^6 ≠ ab^6$，因此B错误；
C. 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减的规则：$a^{10} ÷ a^2 = a^{10-2}=a^8 ≠ a^5$，因此C错误；
D. 结合负数的偶次幂为正，以及幂的乘方的规则：$(-a^4)^2 = (-1)^2·(a^4)^2=1× a^{4×2}=a^8$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查各类幂运算法则的记忆与应用，解题时要注意区分不同法则的指数运算规则，做积的乘方运算时不要遗漏对每个因式的乘方，避免因法则记混出错。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算法则的应用，解题思路是逐一分析每个选项，结合对应的幂的运算法则计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。解题需要熟练掌握同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方这几类核心运算规则。
【解析】
我们逐个验证选项：
A. 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的规则：$a^3 · a^4 = a^{3+4}=a^7 ≠ a^{12}$，因此A错误；
B. 根据积的乘方等于积内各因式分别乘方，再把所得幂相乘，结合幂的乘方底数不变、指数相乘的规则：$(ab^2)^3 = a^3·(b^2)^3=a^3b^{2×3}=a^3b^6 ≠ ab^6$，因此B错误；
C. 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减的规则：$a^{10} ÷ a^2 = a^{10-2}=a^8 ≠ a^5$，因此C错误；
D. 结合负数的偶次幂为正，以及幂的乘方的规则：$(-a^4)^2 = (-1)^2·(a^4)^2=1× a^{4×2}=a^8$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查各类幂运算法则的记忆与应用，解题时要注意区分不同法则的指数运算规则，做积的乘方运算时不要遗漏对每个因式的乘方，避免因法则记混出错。
【难度系数】
0.8
3.如图，若$AC⊥BC$于点$C$，$CD⊥AB$于点$D$，则图中可以作为三角形“高”的线段有()
A.1条
B.2条
C.3条
D.5条
A.1条
B.2条
C.3条
D.5条
答案
D
解析
【分析】
首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。图中共有3个三角形，分别是△ABC、△ACD、△BCD，我们只需逐个找出每个三角形的高，去掉重复的线段后统计总数量即可。
【解析】
根据三角形高的定义，逐一统计可作为高的线段：
1. 线段AC：是△ABC中BC边上的高；
2. 线段BC：是△ABC中AC边上的高；
3. 线段CD：是△ABC中AB边上的高，同时是△ACD中AD边上的高，也是△BCD中BD边上的高；
4. 线段AD：是△ACD中CD边上的高；
5. 线段BD：是△BCD中CD边上的高。
以上共5条不同的线段，都可以作为三角形的高。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形高的识别，解题时需要覆盖图中所有三角形，不要遗漏小直角三角形的直角边作为高的情况，避免漏数。
【难度系数】
0.6
首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。图中共有3个三角形，分别是△ABC、△ACD、△BCD，我们只需逐个找出每个三角形的高，去掉重复的线段后统计总数量即可。
【解析】
根据三角形高的定义，逐一统计可作为高的线段：
1. 线段AC：是△ABC中BC边上的高；
2. 线段BC：是△ABC中AC边上的高；
3. 线段CD：是△ABC中AB边上的高，同时是△ACD中AD边上的高，也是△BCD中BD边上的高；
4. 线段AD：是△ACD中CD边上的高；
5. 线段BD：是△BCD中CD边上的高。
以上共5条不同的线段，都可以作为三角形的高。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形高的识别，解题时需要覆盖图中所有三角形，不要遗漏小直角三角形的直角边作为高的情况，避免漏数。
【难度系数】
0.6
4. 2026年5月1日,2026赛季江西省城市足球超级联赛(简称“赣超”)在南昌国际体育中心盛大开幕.回望2025年首届赣超,全网迎来15.23亿次曝光.
15.23亿用科学记数法表示为()
A.$15.23 × 10^{8}$
B.$1.523 × 10^{9}$
C.$1.523 × 10^{8}$
D.$0.1523 × 10^{10}$
15.23亿用科学记数法表示为()
A.$15.23 × 10^{8}$
B.$1.523 × 10^{9}$
C.$1.523 × 10^{8}$
D.$0.1523 × 10^{10}$
答案
B
解析
【分析】
解题前先回忆科学记数法的定义：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，要求满足$1≤ |a|＜10$，$n$为整数。解题时第一步先处理“亿”这个单位，可先将15.23亿换算为普通数字，也可直接利用“1亿=$10^8$”的换算关系写出初步表达式，再调整$a$的取值满足$1≤ |a|＜10$的要求，同时对应调整10的指数$n$，最后对比选项选出答案即可。
【解析】
解：方法1：先换算单位得到普通数字：15.23亿=1523000000。
根据科学记数法的规则，$a$需要满足$1≤ a＜10$，因此把1523000000的小数点向左移动9位得到$a=1.523$，小数点移动了9位，因此$n=9$，即15.23亿用科学记数法表示为$1.523×10^9$。
方法2：直接利用“亿”的换算关系计算：1亿=$10^8$，因此15.23亿=$15.23×10^8$，调整$a$的取值到$1≤ a＜10$的范围，将15.23的小数点左移1位得1.523，对应的10的指数加1，可得$15.23×10^8=1.523×10^9$。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.科学记数法 2.大数单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是掌握科学记数法中$a$和$n$的确定规则，熟悉“亿”“万”等常见数量级的换算关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题前先回忆科学记数法的定义：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，要求满足$1≤ |a|＜10$，$n$为整数。解题时第一步先处理“亿”这个单位，可先将15.23亿换算为普通数字，也可直接利用“1亿=$10^8$”的换算关系写出初步表达式，再调整$a$的取值满足$1≤ |a|＜10$的要求，同时对应调整10的指数$n$，最后对比选项选出答案即可。
【解析】
解：方法1：先换算单位得到普通数字：15.23亿=1523000000。
根据科学记数法的规则，$a$需要满足$1≤ a＜10$，因此把1523000000的小数点向左移动9位得到$a=1.523$，小数点移动了9位，因此$n=9$，即15.23亿用科学记数法表示为$1.523×10^9$。
方法2：直接利用“亿”的换算关系计算：1亿=$10^8$，因此15.23亿=$15.23×10^8$，调整$a$的取值到$1≤ a＜10$的范围，将15.23的小数点左移1位得1.523，对应的10的指数加1，可得$15.23×10^8=1.523×10^9$。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.科学记数法 2.大数单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是掌握科学记数法中$a$和$n$的确定规则，熟悉“亿”“万”等常见数量级的换算关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
5.某校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元/组，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同.设科学实验器材的单价为x元.依题意，列出方程为()
A.$\frac{6400}{x}=\frac{9600}{800 - x}$
B.$800 - \frac{6400}{x}=\frac{9600}{x}$
C.$\frac{6400}{800 - x}=\frac{9600}{x}$
D.$\frac{6400}{x}+\frac{9600}{800 - x}=800$
A.$\frac{6400}{x}=\frac{9600}{800 - x}$
B.$800 - \frac{6400}{x}=\frac{9600}{x}$
C.$\frac{6400}{800 - x}=\frac{9600}{x}$
D.$\frac{6400}{x}+\frac{9600}{800 - x}=800$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的已知条件：①两种器材单价之和为800元/组，科学实验器材单价设为x元；②用6400元买的运动器材数量和9600元买的科学实验器材数量相等。我们可以先根据单价和表示出运动器材的单价，再结合“数量=总价÷单价”的关系，分别表示出两种器材的购买数量，最后利用“数量相等”这个等量关系列方程即可。
【解析】
解：已知科学实验器材的单价为x元，两种器材单价共800元/组，因此运动器材的单价为$(800 - x)$元。
根据“数量=总价÷单价”可得：
购进运动器材的数量为$\frac{6400}{800 - x}$组，
购进科学实验器材的数量为$\frac{9600}{x}$组。
由题意可知两种器材的购进数量相同，因此可列方程：
$\frac{6400}{800 - x}=\frac{9600}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价、总价、数量的关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系，解题时要注意对应好每种器材的总价和单价，避免混淆两者的数量表达式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理题目中的已知条件：①两种器材单价之和为800元/组，科学实验器材单价设为x元；②用6400元买的运动器材数量和9600元买的科学实验器材数量相等。我们可以先根据单价和表示出运动器材的单价，再结合“数量=总价÷单价”的关系，分别表示出两种器材的购买数量，最后利用“数量相等”这个等量关系列方程即可。
【解析】
解：已知科学实验器材的单价为x元，两种器材单价共800元/组，因此运动器材的单价为$(800 - x)$元。
根据“数量=总价÷单价”可得：
购进运动器材的数量为$\frac{6400}{800 - x}$组，
购进科学实验器材的数量为$\frac{9600}{x}$组。
由题意可知两种器材的购进数量相同，因此可列方程：
$\frac{6400}{800 - x}=\frac{9600}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价、总价、数量的关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系，解题时要注意对应好每种器材的总价和单价，避免混淆两者的数量表达式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC$和$∠ ABC$的平分线$AE$和$BF$相交于点$O$，$AE$交$BC$于点$E$，$BF$交$AC$于点$F$，过点$O$作$OD ⊥ BC$于点$D$。下列结论：①$∠ AOB=90°+\frac{1}{2}∠ C$；②当$∠ C=60°$时，$AF+BE=AB$；③若$OD=a$，$AB+BC+CA=2b$，则$S_{△ ABC}=ab$。其中正确的是()
A.①②
B.②③
C.①②③
D.①③
A.①②
B.②③
C.①②③
D.①③
答案
C
解析
【分析】
我们逐个验证三个结论来确定正确选项：①要推导∠AOB和∠C的关系，可结合角平分线定义和三角形内角和定理转化；②要证AF+BE=AB，可采用截长补短法构造全等三角形，结合∠C=60°的条件证明线段相等；③求三角形面积时，利用角平分线交点到三边距离相等的性质，将△ABC拆分为三个小三角形求和即可。
【解析】
1. 验证结论①
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
∴$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$。
在$△ AOB$中，$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=180°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$。
又
∵在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ ABC=180°-∠ C$，
代入得$∠ AOB=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ C)=90°+\frac{1}{2}∠ C$，故①正确。
2. 验证结论②
当$∠ C=60°$时，由①得$∠ AOB=90°+\frac{1}{2}×60°=120°$，
∴$∠ AOF=∠ BOE=180°-120°=60°$。
在AB上截取$AG=AF$，连接OG，
∵$∠ OAF=∠ OAG$，$AO=AO$，$AF=AG$，
∴$△ AOF≌△ AOG(\mathrm{SAS})$，得$∠ AOG=∠ AOF=60°$，
∴$∠ BOG=∠ AOB-∠ AOG=120°-60°=60°=∠ BOE$。
又
∵$∠ OBE=∠ OBG$，$BO=BO$，
∴$△ BOE≌△ BOG(\mathrm{ASA})$，得$BE=BG$，
∴$AB=AG+BG=AF+BE$，故②正确。
3. 验证结论③
过O作$OH⊥ AB$于H，$OM⊥ AC$于M，
∵O是$∠ BAC$和$∠ ABC$的角平分线交点，
∴O也在$∠ C$的角平分线上，
根据角平分线的性质，得$OH=OM=OD=a$。
$△ ABC$的面积可拆分为三个小三角形面积和：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OH+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OM$
$=\frac{1}{2}× a×(AB+BC+AC)$，
代入$AB+BC+CA=2b$，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× a×2b=ab$，故③正确。
综上，①②③都正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形内角和定理
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形角平分线相关的综合题，需要逐一推导验证每个结论，解题过程中用到了角度转化、构造全等、面积拆分等方法，能够考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
我们逐个验证三个结论来确定正确选项：①要推导∠AOB和∠C的关系，可结合角平分线定义和三角形内角和定理转化；②要证AF+BE=AB，可采用截长补短法构造全等三角形，结合∠C=60°的条件证明线段相等；③求三角形面积时，利用角平分线交点到三边距离相等的性质，将△ABC拆分为三个小三角形求和即可。
【解析】
1. 验证结论①
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
∴$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$。
在$△ AOB$中，$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=180°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$。
又
∵在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ ABC=180°-∠ C$，
代入得$∠ AOB=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ C)=90°+\frac{1}{2}∠ C$，故①正确。
2. 验证结论②
当$∠ C=60°$时，由①得$∠ AOB=90°+\frac{1}{2}×60°=120°$，
∴$∠ AOF=∠ BOE=180°-120°=60°$。
在AB上截取$AG=AF$，连接OG，
∵$∠ OAF=∠ OAG$，$AO=AO$，$AF=AG$，
∴$△ AOF≌△ AOG(\mathrm{SAS})$，得$∠ AOG=∠ AOF=60°$，
∴$∠ BOG=∠ AOB-∠ AOG=120°-60°=60°=∠ BOE$。
又
∵$∠ OBE=∠ OBG$，$BO=BO$，
∴$△ BOE≌△ BOG(\mathrm{ASA})$，得$BE=BG$，
∴$AB=AG+BG=AF+BE$，故②正确。
3. 验证结论③
过O作$OH⊥ AB$于H，$OM⊥ AC$于M，
∵O是$∠ BAC$和$∠ ABC$的角平分线交点，
∴O也在$∠ C$的角平分线上，
根据角平分线的性质，得$OH=OM=OD=a$。
$△ ABC$的面积可拆分为三个小三角形面积和：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OH+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OM$
$=\frac{1}{2}× a×(AB+BC+AC)$，
代入$AB+BC+CA=2b$，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× a×2b=ab$，故③正确。
综上，①②③都正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形内角和定理
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形角平分线相关的综合题，需要逐一推导验证每个结论，解题过程中用到了角度转化、构造全等、面积拆分等方法，能够考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题
7.分解因式：$3a^2 - 21ab =$
。
7.分解因式：$3a^2 - 21ab =$
。
答案
$\boldsymbol{3a(a - 7b)}$
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者相乘就是公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余多项式的形式；最后可以通过整式乘法验算结果是否正确。
【解析】
要对多项式$3a^2 - 21ab$分解因式：
1. 确定公因式：系数3和21的最大公约数是3，两项都含有的相同字母是$a$，$a$的最低次数为1，因此公因式为$3a$；
2. 提取公因式：将原式的每一项都除以公因式$3a$，得到剩余部分：$3a^2÷3a=a$，$-21ab÷3a=-7b$；
3. 整理结果：$3a^2 - 21ab = 3a(a - 7b)$，反向用整式乘法验证，$3a(a-7b)=3a^2-21ab$，和原式一致，结果正确。
【答案】
$3a(a - 7b)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出各项的公因式，提取公因式时要注意剩余项的符号不要出错，避免漏乘系数。
【难度系数】
0.8
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者相乘就是公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余多项式的形式；最后可以通过整式乘法验算结果是否正确。
【解析】
要对多项式$3a^2 - 21ab$分解因式：
1. 确定公因式：系数3和21的最大公约数是3，两项都含有的相同字母是$a$，$a$的最低次数为1，因此公因式为$3a$；
2. 提取公因式：将原式的每一项都除以公因式$3a$，得到剩余部分：$3a^2÷3a=a$，$-21ab÷3a=-7b$；
3. 整理结果：$3a^2 - 21ab = 3a(a - 7b)$，反向用整式乘法验证，$3a(a-7b)=3a^2-21ab$，和原式一致，结果正确。
【答案】
$3a(a - 7b)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出各项的公因式，提取公因式时要注意剩余项的符号不要出错，避免漏乘系数。
【难度系数】
0.8
