21.如图,在$△ ABC$中,以点$B$为圆心,
$BC$长为半径画弧,交$AC$于另一点
$D$,连接$BD$,且$∠ A=∠ DBC$.
(1)求证:$△ ABC$是等腰三角形;
(2)若$∠ DBC=2∠ ABD$,求$∠ A$的
度数.

(1) 证明：
由作图可知，$BD=BC$，
$\therefore ∠ BDC = ∠ C$。
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD$，即$∠ C = ∠ A + ∠ ABD$。
又$\because ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC$，且$∠ A = ∠ DBC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ A = ∠ C$，
$\therefore AB = AC$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) 解：
设$∠ A = x$，
则$∠ DBC = ∠ A = x$。
$\because ∠ DBC = 2∠ ABD$，
$\therefore ∠ ABD = \frac{1}{2}∠ DBC = \frac{x}{2}$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = \frac{x}{2} + x = \frac{3x}{2}$。
由(1)知$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC = ∠ C$，
$\therefore ∠ C = \frac{3x}{2}$。
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，
代入得：$x + \frac{3x}{2} + \frac{3x}{2} = 180°$，
即$4x = 180°$，
解得$x = 45°$。
答：$∠ A$的度数为$45°$。

【分析】
(1) 要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明AB=AC，即证明∠ABC=∠C。首先根据作图特征得BD=BC，推出∠BDC=∠C；再利用三角形外角性质得到∠BDC与∠A、∠ABD的关系，结合已知∠A=∠DBC，推导得到∠ABC和∠C相等即可。
(2) 采用设未知数的方程思想求解，设∠A的度数为x，根据已知的角度倍数关系，将△ABC的三个内角都用含x的代数式表示，最后利用三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
由作图可知，$BD=BC$，
$\therefore ∠ BDC = ∠ C$。
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD$，即$∠ C = ∠ A + ∠ ABD$。
又$\because ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC$，且$∠ A = ∠ DBC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ A = ∠ C$，
$\therefore AB = AC$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) 解：
设$∠ A = x$，
则$∠ DBC = ∠ A = x$。
$\because ∠ DBC = 2∠ ABD$，
$\therefore ∠ ABD = \frac{1}{2}∠ DBC = \frac{x}{2}$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = \frac{x}{2} + x = \frac{3x}{2}$。
由(1)知$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC = ∠ C$，
$\therefore ∠ C = \frac{3x}{2}$。
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，
代入得：$x + \frac{3x}{2} + \frac{3x}{2} = 180°$，
即$4x = 180°$，
解得$x = 45°$。
【答案】
(1) △ABC是等腰三角形，得证；
(2) $∠A$的度数为$45°$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查等腰三角形相关性质和三角形角度计算，解题的关键是熟练掌握角度之间的等量转化方法，第二问使用方程思想求解角度是几何计算中的常用技巧，能够清晰梳理角度关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7

22. 提升题 某校数学兴趣小组的成员在研究题目时发现一个有趣的现象：用$x,y$表示两个正数，将它们互为分子、分母，得到两个分式$\frac{y}{x},\frac{x}{y}$。如果这两个正数的差等于它们的积，即$x-y=xy$，那么这两个分式的和比这两个正数的积大2，即$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=xy+2$。
(1)写出两组符合条件$x-y=xy$的正数$x,y$的值；
(2)选(1)中的一组$x,y$的值，验证该兴趣小组发现的结论：$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=xy+2$；
(3)在一般情形下，验证该兴趣小组发现的结论。
23. 提升题 综合与实践。
【问题提出】如图①，在$△ ABC$中，AD是它的角平分线。对于这一图形，某数学兴趣小组进行了如下探究：分别过点D作$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F，运用角平分线的性质可证得$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$。完成这一证明后，提出一个新的问题：$\frac{AB}{AC}$与$\frac{BD}{CD}$有什么数量关系呢？

【特例感知】
(1)如图②，AD是$△ ABC$的角平分线，当$AB=AC$时，$\frac{AB}{AC}$（填“＞”“＜”或“=”）$\frac{BD}{CD}$。
【深入探究】
(2)如图③，AD是$△ ABC$的角平分线，当$AB≠AC$时，(1)中的结论还成立吗？写出你的猜想并给予证明。
【结论应用】
(3)如图③，AD是$△ ABC$的角平分线，E是AB上的点，连接DE。若$BD=3,BE=CD=2,AE=2CD$，求证：$△ BED$是等腰三角形。
(4)如图④，AD,CE是$△ ABC$的角平分线，且AD,CE相交于点O。若$∠ABC=60°,\frac{EO}{CO}=\frac{3}{5}$，则$\frac{AO}{CO}=$。

$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$

【分析】
本题是角平分线性质的综合应用问题，解题思路如下：首先利用三角形内角和定理求出两个角平分线的夹角∠AOC的度数，得到∠AOE=60°；然后通过构造等边三角形△EOP，得到相等的边和角，进而证明△AEP与△ACO相似；最后结合已知的$\frac{EO}{CO}=\frac{3}{5}$，利用相似三角形的性质和线段的和差关系推导$\frac{AO}{CO}$的比值。
【解析】
在AO上取点P，使得$OP=OE$，连接EP。
∵AD、CE是$△ ABC$的角平分线，交点为O
∴$∠ OAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OCA=\frac{1}{2}∠ BCA$
∵$∠ ABC=60°$，$∠ BAC+∠ BCA+∠ ABC=180°$
∴$∠ BAC+∠ BCA=180°-60°=120°$
∴$∠ OAC+∠ OCA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)=60°$
∴$∠ AOC=180°-(∠ OAC+∠ OCA)=120°$，则$∠ AOE=180°-∠ AOC=60°$
∵$OP=OE$，$∠ AOE=60°$
∴$△ EOP$是等边三角形
∴$EP=OE$，$∠ OPE=60°$，则$∠ APE=180°-∠ OPE=120°=∠ AOC$
又
∵$∠ EAP=∠ OAC$（AD是$△ ABC$的角平分线）
∴$△ AEP ∽ △ ACO$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{EP}{CO}=\frac{AP}{AO}$
已知$\frac{EO}{CO}=\frac{3}{5}$，设$EO=3k$，$CO=5k$（$k＞0$），则$EP=EO=3k$
代入比例式得：$\frac{3k}{5k}=\frac{AP}{AO}$，即$\frac{AP}{AO}=\frac{3}{5}$
设$AP=3m$，$AO=5m$（$m＞0$）
∵$AO=AP+OP$，且$OP=EO=3k$
∴$5m=3m+3k$，解得$2m=3k$，即$m=\frac{3}{2}k$
∴$AO=5m=5×\frac{3}{2}k=\frac{15}{2}k$
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{\frac{15}{2}k}{5k}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形内角和，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于三角形综合题，将角平分线性质、三角形内角和、等边三角形判定和相似三角形的性质结合考查，需要具备较强的图形构造能力和逻辑推理能力，解题的关键是构造等边三角形得到相似三角形。
【难度系数】
0.3