1. 填空：
(1) $3xy ÷ \dfrac{2y^2}{3x} =$ ；
(2) $\dfrac{3xy^2}{4z^2} · (-\dfrac{8z^2}{y}) =$ ；
(3) $\dfrac{ab^2}{2cd} ÷ \dfrac{-3ax}{4cd} =$ 。

解：
(1) 原式$=3xy · \dfrac{3x}{2y^2} = \dfrac{9x^2}{2y}$
(2) 原式$= \dfrac{3xy^2 · (-8z^2)}{4z^2 · y} = -6xy$
(3) 原式$= \dfrac{ab^2}{2cd} · \dfrac{4cd}{-3ax} = -\dfrac{2b^2}{3x}$

【分析】
这三道题均为分式乘除基础运算，解题思路如下：1. 遇到分式除法时，先依据“除以一个分式等于乘以该分式的倒数”，将除法转化为乘法运算；2. 按照分式乘法规则，分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母；3. 约去分子与分母的公因式得到最简结果，计算过程中注意负号的处理。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=3xy · \dfrac{3x}{2y^2} = \dfrac{9x^2y}{2y^2}$，约去公因式$y$，得$\dfrac{9x^2}{2y}$。
(2) 直接按分式乘法法则计算：
原式$= \dfrac{3xy^2 · (-8z^2)}{4z^2 · y} = \dfrac{-24xy^2z^2}{4yz^2}$，约去公因式$4yz^2$，得$-6xy$。
(3) 先将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{ab^2}{2cd} · \dfrac{4cd}{-3ax} = \dfrac{4ab^2cd}{-6acdx}$，约去公因式$2acd$，得$-\dfrac{2b^2}{3x}$。
【答案】
(1) $\dfrac{9x^2}{2y}$；(2) $-6xy$；(3) $-\dfrac{2b^2}{3x}$
【知识点】
分式乘除法法则、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式除法转乘法的规则，计算时认真约分、注意符号就能顺利解题，是巩固分式乘除运算的典型练习题。
【难度系数】
0.8

2.若小明骑自行车上学用了$a\ \mathrm{min}$，放学时沿原路返回家用了$b\ \mathrm{min}$，则小明上学与回家的速度之比是。

$\frac{b}{a}$（或$b:a$）

【分析】
要解决这个问题，首先需明确行程问题的基本关系：速度=路程÷时间。题中隐含上学和放学的路程相等这一条件，我们可以先设定路程的长度，分别表示出上学和回家的速度，再求两者的速度比，最后利用分式运算化简即可，注意要分清比的前项是上学速度、后项是回家速度，不要搞反顺序。
【解析】
设小明家到学校的路程为$ s $。
根据速度公式可得：
上学的速度$ v_{\mathrm{上}} = \frac{s}{a} $，
回家的速度$ v_{\mathrm{回}} = \frac{s}{b} $，
则上学与回家的速度之比为：
$ v_{\mathrm{上}}:v_{\mathrm{回}} = \frac{s}{a}:\frac{s}{b} $
将比转化为除法运算，结合分式除法法则计算：
$ \frac{s}{a} ÷ \frac{s}{b} = \frac{s}{a} × \frac{b}{s} = \frac{b}{a} = b:a $
【答案】
$\frac{b}{a}$（或$b:a$）
【知识点】
行程问题公式，分式除法，比的化简
【点评】
本题属于基础行程类题目，解题核心是抓住往返路程相等的隐含条件，正确表示两次运动的速度，计算比时要注意前后项的对应关系，避免出现顺序颠倒的错误。
【难度系数】
0.7

3.化简:
(1) $\frac{x}{x^2 - 1} · \frac{x^2 + x}{x^2}$；
(2) $\frac{2x^2 y}{3mn^2} · \frac{5m^2 n}{4xy^2} ÷ \frac{5xym}{3n}$；
(3) $\frac{a - 4}{a^2 - 9} ÷ \frac{1}{a - $$} · \frac{a^2 + 6a + 9}{a^2 - 8a + 16}$。

解：
(1)
原式$=\frac{x}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x^2}$
$=\frac{x · x(x+1)}{(x+1)(x-1) · x^2}$
$=\frac{1}{x-1}$
(2)
原式$=\frac{2x^2 y}{3mn^2} · \frac{5m^2 n}{4xy^2} · \frac{3n}{5xym}$
$=\frac{2x^2 y · 5m^2 n · 3n}{3mn^2 · 4xy^2 · 5xym}$
$=\frac{30 x^2 y m^2 n^2}{60 x^2 y^3 m^2 n^2}$
$=\frac{1}{2y}$
(3)
原式$=\frac{a-4}{(a+3)(a-3)} · (a-3) · \frac{(a+3)^2}{(a-4)^2}$
$=\frac{(a-4)(a-3)(a+3)^2}{(a+3)(a-3)(a-4)^2}$
$=\frac{a+3}{a-4}$

【分析】
分式乘除混合运算的解题思路：1. 先将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以它的倒数；2. 把各个分式的分子、分母中能因式分解的多项式进行因式分解；3. 按照分式乘法法则，将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，再约去分子分母的公因式，最终得到最简结果，运算时注意遵循从左到右的顺序。
【解析】
(1) 先对分子分母因式分解，再按分式乘法法则计算约分：
原式$=\frac{x}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x^2}$
$=\frac{x · x(x+1)}{(x+1)(x-1) · x^2}$
约去分子分母的公因式$x^2$、$(x+1)$，得$\frac{1}{x-1}$
(2) 先将除法转化为乘法，再分子分母分别相乘后约分：
原式$=\frac{2x^2 y}{3mn^2} · \frac{5m^2 n}{4xy^2} · \frac{3n}{5xym}$
$=\frac{2x^2 y · 5m^2 n · 3n}{3mn^2 · 4xy^2 · 5xym}$
$=\frac{30 x^2 y m^2 n^2}{60 x^2 y^3 m^2 n^2}$
约去分子分母的公因式$30x^2m^2n^2y$，得$\frac{1}{2y}$
(3) 先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解后约分：
原式$=\frac{a-4}{(a+3)(a-3)} · (a-3) · \frac{(a+3)^2}{(a-4)^2}$
$=\frac{(a-4)(a-3)(a+3)^2}{(a+3)(a-3)(a-4)^2}$
约去分子分母的公因式$(a-4)(a-3)(a+3)$，得$\frac{a+3}{a-4}$
【答案】
(1) $\frac{1}{x-1}$；(2) $\frac{1}{2y}$；(3) $\frac{a+3}{a-4}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，约分
【点评】
这组是分式乘除运算的基础题型，解题核心是先统一运算为乘法，再通过因式分解找准公因式约分，计算时要注意遵循运算顺序，避免因运算顺序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7

4. 先化简,再求值:$\frac{(x+y)(x^2 - 2xy + y^2)}{x^2 - y^2} ÷ \frac{x - y}{xy}$,其中$x=4,y=2$.

解：
先对多项式因式分解：
$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
原式$=\frac{(x+y)(x-y)^2}{(x+y)(x-y)} · \frac{xy}{x-y}$
约分后得：
原式$=xy$
当$x=4$，$y=2$时，
原式$=4×2=8$

【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路如下：首先回忆分式乘除混合运算的规则，遇到除法要先转化为乘法（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数）；其次观察分子分母中的多项式，利用学过的乘法公式（完全平方公式、平方差公式）进行因式分解；再约掉分子分母的公因式，得到最简代数式；最后将x、y的取值代入最简式计算结果即可，先化简再求值能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
第一步：先对分子分母中的多项式因式分解：
根据完全平方公式得$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，根据平方差公式得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$。
第二步：将分式除法转化为乘法：
原式$=\frac{(x+y)(x-y)^2}{(x+y)(x-y)} · \frac{xy}{x-y}$
第三步：约分，约去分子分母的公因式$(x+y)$和$(x-y)^2$，可得：
原式$=xy$
第四步：代入$x=4$，$y=2$计算：
原式$=4×2=8$
【答案】
8
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，核心考查分式乘除运算法则以及乘法公式的应用，熟练掌握因式分解的方法是正确约分的关键，先化简后代入求值的思路能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

5.水果店有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为$(x-1)^2\ \mathrm{kg}$（其中$x＞1$），乙筐水果的质量为$(x^2 -1)\mathrm{kg}$.若两筐水果售出后都卖了50元，则高的单价是低的单价的多少倍？

解：
甲筐水果的单价为 $\frac{50}{(x-1)^2}$ 元/千克，
乙筐水果的单价为 $\frac{50}{x^2-1}$ 元/千克。
$\because x＞1$，
$\therefore (x-1)^2 - (x^2-1) = x^2-2x+1 -x^2 +1 = -2(x-1) ＜ 0$，
$\therefore (x-1)^2 ＜ x^2-1$，结合两筐总售价均为50元，可知甲筐水果的单价更高。
计算高单价是低单价的倍数：
$\begin{aligned}\frac{50}{(x-1)^2} ÷ \frac{50}{x^2-1} &= \frac{50}{(x-1)^2} · \frac{x^2-1}{50} \\&= \frac{50}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{50} \\&= \frac{x+1}{x-1}\end{aligned}$
答：高的单价是低的单价的$\frac{x+1}{x-1}$倍。

【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，明确“单价=总价÷质量”的数量关系，先分别表示出甲、乙两筐水果的单价；第二步，因为两筐总价相同，质量越小单价越高，所以我们用作差法比较两筐质量的大小，就能判断出哪个单价更高；第三步，用高单价除以低单价，结合分式除法法则、因式分解约分就能求出倍数，题目给出的x＞1的条件可用来判断差的正负，保证分母有意义。
【解析】
首先计算两筐水果的单价：
甲筐水果的单价为 $\frac{50}{(x-1)^2}$ 元/千克，
乙筐水果的单价为 $\frac{50}{x^2-1}$ 元/千克。
接下来比较两筐质量的大小：
$\because x＞1$，
$\therefore (x-1)^2 - (x^2-1) = x^2-2x+1 -x^2 +1 = -2(x-1) ＜ 0$，
$\therefore (x-1)^2 ＜ x^2-1$，
因为总价均为50元，质量越小单价越高，因此甲筐水果的单价更高。
最后计算高单价是低单价的倍数：
$\begin{aligned}\frac{50}{(x-1)^2} ÷ \frac{50}{x^2-1} &= \frac{50}{(x-1)^2} · \frac{x^2-1}{50} \\&= \frac{50}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{50} \\&= \frac{x+1}{x-1}\end{aligned}$
【答案】高的单价是低的单价的$\frac{x+1}{x-1}$倍。
【知识点】
分式乘除运算、代数式比较大小、因式分解
【点评】
本题结合生活销售场景出题，既考察了基础数量关系的应用，又综合了代数式比大小、分式化简的核心考点，解题时需先判断单价高低再计算倍数，化简分式时要正确因式分解后再约分，避免计算失误。
【难度系数】
0.7

6.已知$a^2 - a = 0$，求$\frac{a - 1}{a + 2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \frac{1}{a^2 - 1}$的值。

解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2-4}{a^2-2a+1} ÷ \frac{1}{a^2-1}\\=&\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a^2-1)\\=&\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)\\=&(a-2)(a+1)\\=&a^2 -a -2\end{aligned}$
由$a^2 -a=0$，得$a(a-1)=0$，即$a=0$或$a=1$。
要使原式有意义，需满足$a+2≠0$，$a^2-2a+1≠0$，$a^2-1≠0$，即$a≠-2$，$a≠\pm1$，因此舍去$a=1$，符合条件的$a=0$。
将$a^2 -a=0$代入$a^2 -a -2$，得原式$=0-2=-2$。

【分析】
这是一道分式化简求值题，解题按照“先化简、再求值”的思路进行：①先将分式的除法运算转化为乘法运算，再对分子分母中的多项式进行因式分解，通过约分得到最简整式；②结合已知条件$a^2-a=0$求出a的可能取值，再根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的a值；③最后将符合条件的a值或整体代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2-4}{a^2-2a+1} ÷ \frac{1}{a^2-1}\\=&\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a^2-1)\\=&\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)\\=&(a-2)(a+1)\\=&a^2 -a -2\end{aligned}$
由$a^2 -a=0$，因式分解得$a(a-1)=0$，解得$a=0$或$a=1$。
要使原式有意义，需满足各分母及除数的分母不为0，即：
$a+2≠0$，$a^2-2a+1=(a-1)^2≠0$，$a^2-1=(a+1)(a-1)≠0$，
解得$a≠-2$，$a≠1$，$a≠-1$，因此舍去$a=1$，符合条件的$a=0$。
将$a^2 -a=0$代入化简后的式子，得原式$=0-2=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式运算的基础典型题，考查分式化简求值的能力，解题时需注意必须先化简再代入求值，尤其要重视分式有意义的限制条件，避免因忽略分母不为0的要求代入错误的取值导致结果出错。
【难度系数】
0.7