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1. 分式$\frac{1}{ab^2}$与$\frac{5}{3a^2c}$的最简公分母是。
答案
$\boldsymbol{3a^2b^2c}$
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，需按照三步思考：①先找各分母系数的最小公倍数；②再找各分母中出现的所有字母，相同字母取次数最高的幂，单独出现的字母直接连同它的指数作为公分母的因式；③将上述得到的系数和字母因式相乘，即为最简公分母。
本题中两个分式的分母分别是$ab^2$和$3a^2c$，按照上述步骤逐一分析计算即可。
【解析】
第一步：确定系数的最小公倍数
两个分母的系数分别为1和3，它们的最小公倍数是3；
第二步：确定字母及对应最高次幂
分母中出现的字母有a、b、c：
字母a的次数分别为1和2，取最高次幂$a^2$；
字母b仅在第一个分母出现，次数为2，取$b^2$；
字母c仅在第二个分母出现，次数为1，取$c$；
第三步：将系数和各字母因式相乘，得到最简公分母为$3× a^2× b^2× c=3a^2b^2c$。
【答案】
$3a^2b^2c$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 最小公倍数的计算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查最简公分母的确定方法，掌握找最简公分母的步骤是解题的关键，也是后续学习分式通分、分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
要确定两个分式的最简公分母，需按照三步思考：①先找各分母系数的最小公倍数；②再找各分母中出现的所有字母，相同字母取次数最高的幂，单独出现的字母直接连同它的指数作为公分母的因式；③将上述得到的系数和字母因式相乘，即为最简公分母。
本题中两个分式的分母分别是$ab^2$和$3a^2c$，按照上述步骤逐一分析计算即可。
【解析】
第一步：确定系数的最小公倍数
两个分母的系数分别为1和3，它们的最小公倍数是3；
第二步：确定字母及对应最高次幂
分母中出现的字母有a、b、c：
字母a的次数分别为1和2，取最高次幂$a^2$；
字母b仅在第一个分母出现，次数为2，取$b^2$；
字母c仅在第二个分母出现，次数为1，取$c$；
第三步：将系数和各字母因式相乘，得到最简公分母为$3× a^2× b^2× c=3a^2b^2c$。
【答案】
$3a^2b^2c$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 最小公倍数的计算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查最简公分母的确定方法，掌握找最简公分母的步骤是解题的关键，也是后续学习分式通分、分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. 在分式①$\frac{4}{2x}$，②$\frac{2x}{x^2 -1}$，③$\frac{x-1}{x^2 -1}$，④$\frac{1-x}{x-1}$中，属于最简分式的有（填序号）。
答案
②
解析
【分析】
解题前首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路为逐个分析每个分式：先把分子、分母中能因式分解的部分分解，再判断分子分母是否存在公因式，没有公因式的就是最简分式，存在公因式的则不是。
【解析】
我们对4个分式逐一判断：
1. 对分式①$\frac{4}{2x}$：分子4和分母$2x$有公因式2，约分后得$\frac{2}{x}$，因此不是最简分式；
2. 对分式②$\frac{2x}{x^2 -1}$：先将分母因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子$2x$和分母的因式$x+1$、$x-1$都没有公因式，因此是最简分式；
3. 对分式③$\frac{x-1}{x^2 -1}$：分母因式分解为$(x+1)(x-1)$，分子分母有公因式$x-1$，约分后得$\frac{1}{x+1}$，因此不是最简分式；
4. 对分式④$\frac{1-x}{x-1}$：分子可变形为$1-x=-(x-1)$，分子分母有公因式$x-1$，约分后得$-1$，因此不是最简分式。
综上，只有②是最简分式。
【答案】
②
【知识点】
最简分式判定、因式分解、分式基本性质
【点评】
本题是分式基础题型，核心是掌握最简分式的判断方法，注意遇到可以因式分解的分子或分母要先分解再判断，互为相反数的因式也属于可约分的公因式，不要漏判。
【难度系数】
0.7
解题前首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路为逐个分析每个分式：先把分子、分母中能因式分解的部分分解，再判断分子分母是否存在公因式，没有公因式的就是最简分式，存在公因式的则不是。
【解析】
我们对4个分式逐一判断：
1. 对分式①$\frac{4}{2x}$：分子4和分母$2x$有公因式2，约分后得$\frac{2}{x}$，因此不是最简分式；
2. 对分式②$\frac{2x}{x^2 -1}$：先将分母因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子$2x$和分母的因式$x+1$、$x-1$都没有公因式，因此是最简分式；
3. 对分式③$\frac{x-1}{x^2 -1}$：分母因式分解为$(x+1)(x-1)$，分子分母有公因式$x-1$，约分后得$\frac{1}{x+1}$，因此不是最简分式；
4. 对分式④$\frac{1-x}{x-1}$：分子可变形为$1-x=-(x-1)$，分子分母有公因式$x-1$，约分后得$-1$，因此不是最简分式。
综上，只有②是最简分式。
【答案】
②
【知识点】
最简分式判定、因式分解、分式基本性质
【点评】
本题是分式基础题型，核心是掌握最简分式的判断方法，注意遇到可以因式分解的分子或分母要先分解再判断，互为相反数的因式也属于可约分的公因式，不要漏判。
【难度系数】
0.7
3. 把$\frac{y}{4x^2}$，$\frac{5}{6xy}$通分，得$\frac{y}{4x^2}=$，$\frac{5}{6xy}=$。
答案
$\frac{3y^2}{12x^2y}$；$\frac{10x}{12x^2y}$
解析
【分析】
要对两个异分母分式通分，首先需确定它们的最简公分母：第一步找分母系数的最小公倍数，4和6的最小公倍数是12；第二步找字母因式的最高次幂，x的最高次为$x^2$，y的最高次为y，因此最简公分母为$12x^2y$。再根据分式的基本性质，将两个分式的分子分母同乘相应的整式，使分母都化为$12x^2y$，且保证分式的值不变即可。
【解析】
步骤1：确定最简公分母
两个分式的分母分别为$4x^2$和$6xy$：
系数4和6的最小公倍数是12，字母部分x的最高次幂为$x^2$，y的最高次幂为y，因此最简公分母为$12x^2y$。
步骤2：对第一个分式变形
要将$4x^2$化为$12x^2y$，分母需乘$3y$，根据分式的基本性质，分子也要乘$3y$：
$\frac{y}{4x^2}=\frac{y·3y}{4x^2·3y}=\frac{3y^2}{12x^2y}$
步骤3：对第二个分式变形
要将$6xy$化为$12x^2y$，分母需乘$2x$，根据分式的基本性质，分子也要乘$2x$：
$\frac{5}{6xy}=\frac{5·2x}{6xy·2x}=\frac{10x}{12x^2y}$
【答案】
$\frac{3y^2}{12x^2y}$；$\frac{10x}{12x^2y}$
【知识点】
分式通分；分式的基本性质；最简公分母的确定
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查通分的方法，解题关键是准确找到最简公分母，变形时注意分子要和分母乘相同的非零整式，避免漏乘分子的错误，掌握通分方法是后续分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
要对两个异分母分式通分，首先需确定它们的最简公分母：第一步找分母系数的最小公倍数，4和6的最小公倍数是12；第二步找字母因式的最高次幂，x的最高次为$x^2$，y的最高次为y，因此最简公分母为$12x^2y$。再根据分式的基本性质，将两个分式的分子分母同乘相应的整式，使分母都化为$12x^2y$，且保证分式的值不变即可。
【解析】
步骤1：确定最简公分母
两个分式的分母分别为$4x^2$和$6xy$：
系数4和6的最小公倍数是12，字母部分x的最高次幂为$x^2$，y的最高次幂为y，因此最简公分母为$12x^2y$。
步骤2：对第一个分式变形
要将$4x^2$化为$12x^2y$，分母需乘$3y$，根据分式的基本性质，分子也要乘$3y$：
$\frac{y}{4x^2}=\frac{y·3y}{4x^2·3y}=\frac{3y^2}{12x^2y}$
步骤3：对第二个分式变形
要将$6xy$化为$12x^2y$，分母需乘$2x$，根据分式的基本性质，分子也要乘$2x$：
$\frac{5}{6xy}=\frac{5·2x}{6xy·2x}=\frac{10x}{12x^2y}$
【答案】
$\frac{3y^2}{12x^2y}$；$\frac{10x}{12x^2y}$
【知识点】
分式通分；分式的基本性质；最简公分母的确定
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查通分的方法，解题关键是准确找到最简公分母，变形时注意分子要和分母乘相同的非零整式，避免漏乘分子的错误，掌握通分方法是后续分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
4.化简：$\dfrac{x+2y}{x^2 -4y^2}=$ .
答案
解：
原式$=\dfrac{x+2y}{(x+2y)(x-2y)}$
$=\dfrac{1}{x-2y}$
原式$=\dfrac{x+2y}{(x+2y)(x-2y)}$
$=\dfrac{1}{x-2y}$
解析
【分析】
要化简该分式，首先观察分母的结构，$x^2-4y^2$符合平方差公式的特征，第一步先利用平方差公式对分母因式分解，再找分子分母的公因式，根据分式的基本性质约去公因式即可得到最简结果。
【解析】
1. 对分母利用平方差公式因式分解：
$x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)$，
因此原式可改写为：$\dfrac{x+2y}{(x+2y)(x-2y)}$
2. 当$x+2y≠0$时，根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式$x+2y$，可得：
$\dfrac{x+2y}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{1}{x-2y}$
【答案】
$\dfrac{1}{x-2y}$
【知识点】
平方差公式因式分解，分式的约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题，解题核心是准确识别分母的平方差结构完成因式分解，再通过约分得到最简分式，掌握因式分解的常用方法和分式的基本性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要化简该分式，首先观察分母的结构，$x^2-4y^2$符合平方差公式的特征，第一步先利用平方差公式对分母因式分解，再找分子分母的公因式，根据分式的基本性质约去公因式即可得到最简结果。
【解析】
1. 对分母利用平方差公式因式分解：
$x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)$，
因此原式可改写为：$\dfrac{x+2y}{(x+2y)(x-2y)}$
2. 当$x+2y≠0$时，根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式$x+2y$，可得：
$\dfrac{x+2y}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{1}{x-2y}$
【答案】
$\dfrac{1}{x-2y}$
【知识点】
平方差公式因式分解，分式的约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题，解题核心是准确识别分母的平方差结构完成因式分解，再通过约分得到最简分式，掌握因式分解的常用方法和分式的基本性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
5.约分：
(1)$\frac{8m^2n}{2mn^3}=$；
(2)$\frac{a^2 -9b^2}{a^2 -6ab +9b^2}=$。
(1)$\frac{8m^2n}{2mn^3}=$；
(2)$\frac{a^2 -9b^2}{a^2 -6ab +9b^2}=$。
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{4m}{n^2}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{a+3b}{a-3b}}$
解析
【分析】
约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题思路分两类：①若分子分母是单项式，先找公因式：取系数的最大公约数，再取相同字母的最低次幂，组合得到公因式后，分子分母同时除以公因式即可；②若分子分母是多项式，先分别对分子、分母因式分解，再约去公因式得到最简分式。
本题(1)是单项式构成的分式，按单项式约分规则处理；(2)分子是平方差形式、分母是完全平方形式，先因式分解再约分即可。
【解析】
(1) 先确定分子$8m^2n$和分母$2mn^3$的公因式：系数8和2的最大公约数是2，相同字母m的最低次幂是$m^1$，相同字母n的最低次幂是$n^1$，因此公因式为$2mn$。
根据分式的基本性质，分子分母同时除以$2mn$（隐含条件$m≠0,n≠0$）：
$\frac{8m^2n}{2mn^3}=\frac{8m^2n÷2mn}{2mn^3÷2mn}=\frac{4m}{n^2}$
(2) 先对分子、分母分别因式分解：
分子$a^2-9b^2$符合平方差公式，分解得：$a^2-9b^2=(a+3b)(a-3b)$
分母$a^2-6ab+9b^2$符合完全平方公式，分解得：$a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2$
确定公因式为$(a-3b)$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$(a-3b)$（隐含条件$a-3b≠0$）：
$\frac{a^2 -9b^2}{a^2 -6ab +9b^2}=\frac{(a+3b)(a-3b)}{(a-3b)^2}=\frac{a+3b}{a-3b}$
【答案】
(1) $\frac{4m}{n^2}$；(2) $\frac{a+3b}{a-3b}$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，需要熟练掌握单项式和多项式两类分式的约分步骤，多项式类约分的核心是先正确因式分解，约分要彻底得到最简分式，同时要注意隐含的分母不为0的约束条件。
【难度系数】
0.8
约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题思路分两类：①若分子分母是单项式，先找公因式：取系数的最大公约数，再取相同字母的最低次幂，组合得到公因式后，分子分母同时除以公因式即可；②若分子分母是多项式，先分别对分子、分母因式分解，再约去公因式得到最简分式。
本题(1)是单项式构成的分式，按单项式约分规则处理；(2)分子是平方差形式、分母是完全平方形式，先因式分解再约分即可。
【解析】
(1) 先确定分子$8m^2n$和分母$2mn^3$的公因式：系数8和2的最大公约数是2，相同字母m的最低次幂是$m^1$，相同字母n的最低次幂是$n^1$，因此公因式为$2mn$。
根据分式的基本性质，分子分母同时除以$2mn$（隐含条件$m≠0,n≠0$）：
$\frac{8m^2n}{2mn^3}=\frac{8m^2n÷2mn}{2mn^3÷2mn}=\frac{4m}{n^2}$
(2) 先对分子、分母分别因式分解：
分子$a^2-9b^2$符合平方差公式，分解得：$a^2-9b^2=(a+3b)(a-3b)$
分母$a^2-6ab+9b^2$符合完全平方公式，分解得：$a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2$
确定公因式为$(a-3b)$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$(a-3b)$（隐含条件$a-3b≠0$）：
$\frac{a^2 -9b^2}{a^2 -6ab +9b^2}=\frac{(a+3b)(a-3b)}{(a-3b)^2}=\frac{a+3b}{a-3b}$
【答案】
(1) $\frac{4m}{n^2}$；(2) $\frac{a+3b}{a-3b}$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，需要熟练掌握单项式和多项式两类分式的约分步骤，多项式类约分的核心是先正确因式分解，约分要彻底得到最简分式，同时要注意隐含的分母不为0的约束条件。
【难度系数】
0.8
6.通分：
(1)$\frac{x}{2y},\frac{2}{3xy^2}$；
(2)$\frac{5}{x-y},\frac{2}{(y-x)^2}$；
(3)$x-y,\frac{x-y}{x+y}$。
(1)$\frac{x}{2y},\frac{2}{3xy^2}$；
(2)$\frac{5}{x-y},\frac{2}{(y-x)^2}$；
(3)$x-y,\frac{x-y}{x+y}$。
答案
解：
(1) 最简公分母是$6xy^2$，
$\frac{x}{2y}=\frac{x· 3xy}{2y· 3xy}=\frac{3x^2y}{6xy^2}$，
$\frac{2}{3xy^2}=\frac{2× 2}{3xy^2× 2}=\frac{4}{6xy^2}$；
(2) 因为$(y-x)^2=(x-y)^2$，最简公分母是$(x-y)^2$，
$\frac{5}{x-y}=\frac{5(x-y)}{(x-y)(x-y)}=\frac{5x-5y}{(x-y)^2}$，
$\frac{2}{(y-x)^2}=\frac{2}{(x-y)^2}$；
(3) 最简公分母是$x+y$，
$x-y=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=\frac{x^2-y^2}{x+y}$，
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-y}{x+y}$。
(1) 最简公分母是$6xy^2$，
$\frac{x}{2y}=\frac{x· 3xy}{2y· 3xy}=\frac{3x^2y}{6xy^2}$，
$\frac{2}{3xy^2}=\frac{2× 2}{3xy^2× 2}=\frac{4}{6xy^2}$；
(2) 因为$(y-x)^2=(x-y)^2$，最简公分母是$(x-y)^2$，
$\frac{5}{x-y}=\frac{5(x-y)}{(x-y)(x-y)}=\frac{5x-5y}{(x-y)^2}$，
$\frac{2}{(y-x)^2}=\frac{2}{(x-y)^2}$；
(3) 最简公分母是$x+y$，
$x-y=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=\frac{x^2-y^2}{x+y}$，
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-y}{x+y}$。
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘相应的因式，把分母化为最简公分母，解题思路如下：
1. 确定最简公分母：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母（或整式）取最高次幂，单独出现的字母（或整式）连同它的指数作为公分母的因式；若分母互为相反数，可利用偶次幂的性质统一形式；整式可看作分母为1的分式。
2. 分式变形：根据分式基本性质，每个分式的分子、分母同乘自身分母缺少的因式，将分母统一为最简公分母。
(1) 分母为$2y$、$3xy^2$，得最简公分母为$6xy^2$；
(2) 由$(y-x)^2=(x-y)^2$，可得分母为$x-y$、$(x-y)^2$，最简公分母为$(x-y)^2$；
(3) $x-y$看作分母为1的分式，另一分母为$x+y$，得最简公分母为$x+y$。
【解析】
(1) 最简公分母是$6xy^2$，
$\frac{x}{2y}=\frac{x· 3xy}{2y· 3xy}=\frac{3x^2y}{6xy^2}$，
$\frac{2}{3xy^2}=\frac{2× 2}{3xy^2× 2}=\frac{4}{6xy^2}$；
(2) 因为$(y-x)^2=(x-y)^2$，最简公分母是$(x-y)^2$，
$\frac{5}{x-y}=\frac{5(x-y)}{(x-y)(x-y)}=\frac{5x-5y}{(x-y)^2}$，
$\frac{2}{(y-x)^2}=\frac{2}{(x-y)^2}$；
(3) 最简公分母是$x+y$，
$x-y=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=\frac{x^2-y^2}{x+y}$，
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-y}{x+y}$。
【答案】
(1) $\frac{3x^2y}{6xy^2}$，$\frac{4}{6xy^2}$；
(2) $\frac{5x-5y}{(x-y)^2}$，$\frac{2}{(x-y)^2}$；
(3) $\frac{x^2-y^2}{x+y}$，$\frac{x-y}{x+y}$。
【知识点】
分式的基本性质，通分，最简公分母的确定
【点评】
本题是通分的基础练习题，解题关键是准确确定最简公分母，需注意互为相反数的偶次幂可以互相转化，整式通分时可默认分母为1，熟练掌握分式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘相应的因式，把分母化为最简公分母，解题思路如下：
1. 确定最简公分母：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母（或整式）取最高次幂，单独出现的字母（或整式）连同它的指数作为公分母的因式；若分母互为相反数，可利用偶次幂的性质统一形式；整式可看作分母为1的分式。
2. 分式变形：根据分式基本性质，每个分式的分子、分母同乘自身分母缺少的因式，将分母统一为最简公分母。
(1) 分母为$2y$、$3xy^2$，得最简公分母为$6xy^2$；
(2) 由$(y-x)^2=(x-y)^2$，可得分母为$x-y$、$(x-y)^2$，最简公分母为$(x-y)^2$；
(3) $x-y$看作分母为1的分式，另一分母为$x+y$，得最简公分母为$x+y$。
【解析】
(1) 最简公分母是$6xy^2$，
$\frac{x}{2y}=\frac{x· 3xy}{2y· 3xy}=\frac{3x^2y}{6xy^2}$，
$\frac{2}{3xy^2}=\frac{2× 2}{3xy^2× 2}=\frac{4}{6xy^2}$；
(2) 因为$(y-x)^2=(x-y)^2$，最简公分母是$(x-y)^2$，
$\frac{5}{x-y}=\frac{5(x-y)}{(x-y)(x-y)}=\frac{5x-5y}{(x-y)^2}$，
$\frac{2}{(y-x)^2}=\frac{2}{(x-y)^2}$；
(3) 最简公分母是$x+y$，
$x-y=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=\frac{x^2-y^2}{x+y}$，
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-y}{x+y}$。
【答案】
(1) $\frac{3x^2y}{6xy^2}$，$\frac{4}{6xy^2}$；
(2) $\frac{5x-5y}{(x-y)^2}$，$\frac{2}{(x-y)^2}$；
(3) $\frac{x^2-y^2}{x+y}$，$\frac{x-y}{x+y}$。
【知识点】
分式的基本性质，通分，最简公分母的确定
【点评】
本题是通分的基础练习题，解题关键是准确确定最简公分母，需注意互为相反数的偶次幂可以互相转化，整式通分时可默认分母为1，熟练掌握分式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}≠0$，求分式$\frac{2x+3y-3z}{2x-3y+3z}$的值。
答案
解：
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$，其中$k≠0$，
则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{2x+3y-3z}{2x-3y+3z}&=\frac{2×2k + 3×3k - 3×4k}{2×2k - 3×3k + 3×4k}\\&=\frac{4k+9k-12k}{4k-9k+12k}\\&=\frac{k}{7k}\end{aligned}$
因为$k≠0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$k$，得原式$=\frac{1}{7}$。
最终分式的值为$\frac{1}{7}$。
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$，其中$k≠0$，
则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{2x+3y-3z}{2x-3y+3z}&=\frac{2×2k + 3×3k - 3×4k}{2×2k - 3×3k + 3×4k}\\&=\frac{4k+9k-12k}{4k-9k+12k}\\&=\frac{k}{7k}\end{aligned}$
因为$k≠0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$k$，得原式$=\frac{1}{7}$。
最终分式的值为$\frac{1}{7}$。
解析
【分析】
遇到等比形式的已知条件时，通常采用设参数的方法解题。我们可以设这个相等的比值为参数k（k≠0），就能将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入所求分式中，分子分母的参数k可以通过分式的基本性质约去，最终就能求出分式的值。这种方法可以解决只有比例关系、没有具体数值的代数式求值问题，通过统一变量实现消元计算。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$，其中$k≠0$，
则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{2x+3y-3z}{2x-3y+3z}&=\frac{2×2k + 3×3k - 3×4k}{2×2k - 3×3k + 3×4k}\\&=\frac{4k+9k-12k}{4k-9k+12k}\\&=\frac{k}{7k}\end{aligned}$
因为$k≠0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$k$，得原式$=\frac{1}{7}$。
【答案】
$\frac{1}{7}$
【知识点】
比例的性质，分式基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，核心解题方法是参数法，该方法适用于所有给出连比条件的代数式求值类问题，掌握这种方法能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
遇到等比形式的已知条件时，通常采用设参数的方法解题。我们可以设这个相等的比值为参数k（k≠0），就能将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入所求分式中，分子分母的参数k可以通过分式的基本性质约去，最终就能求出分式的值。这种方法可以解决只有比例关系、没有具体数值的代数式求值问题，通过统一变量实现消元计算。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$，其中$k≠0$，
则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{2x+3y-3z}{2x-3y+3z}&=\frac{2×2k + 3×3k - 3×4k}{2×2k - 3×3k + 3×4k}\\&=\frac{4k+9k-12k}{4k-9k+12k}\\&=\frac{k}{7k}\end{aligned}$
因为$k≠0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$k$，得原式$=\frac{1}{7}$。
【答案】
$\frac{1}{7}$
【知识点】
比例的性质，分式基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，核心解题方法是参数法，该方法适用于所有给出连比条件的代数式求值类问题，掌握这种方法能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
8. 提升题 若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”. 如 $\frac{4x^2 -8x}{x-2} = \frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$，则称分式 $\frac{4x^2 -8x}{x-2}$ 是“好分式”，$4x$ 为它的“好整式”.
(1) 若分式 $\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$（$m,n$ 为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为 $x-7$，求 $m,n$ 的值；
(2) 若“好分式” $\frac{-2x^3 +2x}{A}$ 的“好整式”为 $1-x$，请判断 $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$ 是否为“好分式”，并说明理由.
(1) 若分式 $\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$（$m,n$ 为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为 $x-7$，求 $m,n$ 的值；
(2) 若“好分式” $\frac{-2x^3 +2x}{A}$ 的“好整式”为 $1-x$，请判断 $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$ 是否为“好分式”，并说明理由.
答案
解：
(1) 由题意可得：
$x^2 -4x + m = (x+n)(x-7)$
将右边展开得：
$(x+n)(x-7) = x^2 + (n-7)x -7n$
比较等式两边对应项的系数，得：
$\begin{cases}n-7 = -4 \\ m = -7n\end{cases}$
解得：$\begin{cases}n=3 \\ m=-21\end{cases}$
(2) 是“好分式”，理由如下：
由题意得 $\frac{-2x^3 + 2x}{A} = 1-x$，
对分子因式分解：
$-2x^3 + 2x = -2x(x^2 -1) = -2x(x-1)(x+1) = 2x(1-x)(x+1)$
因此 $A = \frac{-2x^3 + 2x}{1-x} = \frac{2x(1-x)(x+1)}{1-x} = 2x(x+1)$
对分式 $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$ 的分子因式分解：
$2x^3 +4x^2 +2x = 2x(x^2 +2x +1) = 2x(x+1)^2$
代入A得：
$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A} = \frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)} = x+1$
$x+1$ 是整式，因此 $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$ 是“好分式”。
(1) 由题意可得：
$x^2 -4x + m = (x+n)(x-7)$
将右边展开得：
$(x+n)(x-7) = x^2 + (n-7)x -7n$
比较等式两边对应项的系数，得：
$\begin{cases}n-7 = -4 \\ m = -7n\end{cases}$
解得：$\begin{cases}n=3 \\ m=-21\end{cases}$
(2) 是“好分式”，理由如下：
由题意得 $\frac{-2x^3 + 2x}{A} = 1-x$，
对分子因式分解：
$-2x^3 + 2x = -2x(x^2 -1) = -2x(x-1)(x+1) = 2x(1-x)(x+1)$
因此 $A = \frac{-2x^3 + 2x}{1-x} = \frac{2x(1-x)(x+1)}{1-x} = 2x(x+1)$
对分式 $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$ 的分子因式分解：
$2x^3 +4x^2 +2x = 2x(x^2 +2x +1) = 2x(x+1)^2$
代入A得：
$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A} = \frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)} = x+1$
$x+1$ 是整式，因此 $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$ 是“好分式”。
解析
【分析】
（1）根据“好分式”的定义，该分式约分后得到好整式为$x-7$，可知分子$x^2 -4x +m$可分解为分母$(x+n)$与“好整式”$(x-7)$的乘积，将乘积展开后，根据多项式相等对应项系数相等，列方程组求解$m、n$的值；
（2）要判断目标分式是否为“好分式”，先根据已知的“好分式”和对应“好整式”求出$A$的表达式：先对已知分式的分子因式分解，由$A=$分子÷“好整式”求出$A$，再将目标分式的分子因式分解，代入$A$后约分，若结果为整式则为“好分式”。
【解析】
(1) 由题意可得：
$x^2 -4x + m = (x+n)(x-7)$
将右边展开得：
$(x+n)(x-7) = x^2 + (n-7)x -7n$
比较等式两边对应项的系数，得：
$\begin{cases}n-7 = -4 \\ m = -7n\end{cases}$
解得：$\begin{cases}n=3 \\ m=-21\end{cases}$
(2) 是“好分式”，理由如下：
由题意得 $\frac{-2x^3 + 2x}{A} = 1-x$，
对分子因式分解：哦不对，哦对哦：
$-2x^3 + 2x = -2x(x^2 -1) = -2x(x-1)(x+1) = 2x(1-x)(x+1)$
因此 $A = \frac{-2x^3 + 2x}{1-x} = \frac{2x(1-x)(x+1)}{1-x} = 2x(x+1)不对哦，哦对$哦不对，哦A是2x(x+1)对吧，对。然后哦接下来：
对分式 $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$ 的分子因式分解：
$2x^3 +4x^2 +2x = 2x(x^2 +2x +1) = 2x(x+1)^2$
代入A得：
$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A} = \frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)} = x+1$
$x+1$ 是整式，因此 $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$ 是“好分式”。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=-21，n=3}$；
(2) 是“好分式”，理由见解析。
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、多项式相等的条件
哦不对哦，知识点哦三个就好。
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键准确理解“好分式”“好整式”的含义，将新定义转化为熟悉的分式约分、因式分解、多项式运算知识解决，重点考查新定义理解能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
（1）根据“好分式”的定义，该分式约分后得到好整式为$x-7$，可知分子$x^2 -4x +m$可分解为分母$(x+n)$与“好整式”$(x-7)$的乘积，将乘积展开后，根据多项式相等对应项系数相等，列方程组求解$m、n$的值；
（2）要判断目标分式是否为“好分式”，先根据已知的“好分式”和对应“好整式”求出$A$的表达式：先对已知分式的分子因式分解，由$A=$分子÷“好整式”求出$A$，再将目标分式的分子因式分解，代入$A$后约分，若结果为整式则为“好分式”。
【解析】
(1) 由题意可得：
$x^2 -4x + m = (x+n)(x-7)$
将右边展开得：
$(x+n)(x-7) = x^2 + (n-7)x -7n$
比较等式两边对应项的系数，得：
$\begin{cases}n-7 = -4 \\ m = -7n\end{cases}$
解得：$\begin{cases}n=3 \\ m=-21\end{cases}$
(2) 是“好分式”，理由如下：
由题意得 $\frac{-2x^3 + 2x}{A} = 1-x$，
对分子因式分解：哦不对，哦对哦：
$-2x^3 + 2x = -2x(x^2 -1) = -2x(x-1)(x+1) = 2x(1-x)(x+1)$
因此 $A = \frac{-2x^3 + 2x}{1-x} = \frac{2x(1-x)(x+1)}{1-x} = 2x(x+1)不对哦，哦对$哦不对，哦A是2x(x+1)对吧，对。然后哦接下来：
对分式 $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$ 的分子因式分解：
$2x^3 +4x^2 +2x = 2x(x^2 +2x +1) = 2x(x+1)^2$
代入A得：
$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A} = \frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)} = x+1$
$x+1$ 是整式，因此 $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$ 是“好分式”。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=-21，n=3}$；
(2) 是“好分式”，理由见解析。
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、多项式相等的条件
哦不对哦，知识点哦三个就好。
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键准确理解“好分式”“好整式”的含义，将新定义转化为熟悉的分式约分、因式分解、多项式运算知识解决，重点考查新定义理解能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
