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4.如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$BC=10$，$AC=9$，$MN$为边$BC$的垂直平分线，点$D$为直线$MN$上一动点，则$△ ABD$的周长的最小值为（
A.10
B.12
C.14
D.15
C
）A.10
B.12
C.14
D.15
答案
C 【解析】如图,连接 DC.
因为 MN 为边 BC 的垂直平分线,所以 CD=BD,所以△ABD 的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC.
当 AD 和 DC 在一条直线上,即 AD+DC=AC 时,△ABD 的周长最小,最小值为 AB+AC=5+9=14.
解析
【分析】
要计算△ABD的周长最小值，首先明确周长组成：△ABD的周长=AB+AD+BD，其中AB为定值5，因此只需让AD+BD的和最小即可。结合MN是BC的垂直平分线这一条件，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得BD=CD，因此可将AD+BD转化为AD+CD。再根据两点之间线段最短的原理，当A、D、C三点共线时，AD+CD的和最小，等于AC的长度，代入数值即可求出周长最小值。
【解析】
解：如图，连接DC。
∵MN为边BC的垂直平分线，点D在MN上，
∴BD=CD，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC。
∵AB是长度为5的定值，因此要使△ABD的周长最小，只需AD+DC的和最小。
根据两点之间线段最短，当A、D、C三点共线时，AD+DC取得最小值，最小值等于AC的长度9，
∴△ABD的周长的最小值为AB+AC=5+9=14。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质；2.最短路径问题
【点评】
本题属于基础的最短路径应用类题目，解题关键是借助线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将动态线段和的最小值转化为定长线段计算，体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.7
要计算△ABD的周长最小值，首先明确周长组成：△ABD的周长=AB+AD+BD，其中AB为定值5，因此只需让AD+BD的和最小即可。结合MN是BC的垂直平分线这一条件，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得BD=CD，因此可将AD+BD转化为AD+CD。再根据两点之间线段最短的原理，当A、D、C三点共线时，AD+CD的和最小，等于AC的长度，代入数值即可求出周长最小值。
【解析】
解：如图，连接DC。
∵MN为边BC的垂直平分线，点D在MN上，
∴BD=CD，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC。
∵AB是长度为5的定值，因此要使△ABD的周长最小，只需AD+DC的和最小。
根据两点之间线段最短，当A、D、C三点共线时，AD+DC取得最小值，最小值等于AC的长度9，
∴△ABD的周长的最小值为AB+AC=5+9=14。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质；2.最短路径问题
【点评】
本题属于基础的最短路径应用类题目，解题关键是借助线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将动态线段和的最小值转化为定长线段计算，体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,点$D$为$BC$边的中点,过点$B$作$BE// AC$交$AD$的延长线于点$E$.
(1)求证:$△ BDE≌△ CDA$;
(2)若$AD⊥ BC$,求证:$BA=BE$.
(1)求证:$△ BDE≌△ CDA$;
(2)若$AD⊥ BC$,求证:$BA=BE$.
答案
【证明】(1)因为点 D 为 BC 的中点,所以 BD=CD.
因为 BE//AC,所以∠EBD=∠C,∠E=∠CAD.
在△BDE 和△CDA 中,$\begin{cases} ∠EBD=∠C, \\ ∠E=∠CAD, \\ BD=CD, \end{cases}$
所以△BDE≌△CDA(AAS).
(2)因为点 D 为 BC 的中点,AD⊥BC,
所以直线 AD 为线段 BC 的垂直平分线,
所以 BA=CA.
由(1)可知,△BDE≌△CDA,
所以 BE=CA,所以 BA=BE.
因为 BE//AC,所以∠EBD=∠C,∠E=∠CAD.
在△BDE 和△CDA 中,$\begin{cases} ∠EBD=∠C, \\ ∠E=∠CAD, \\ BD=CD, \end{cases}$
所以△BDE≌△CDA(AAS).
(2)因为点 D 为 BC 的中点,AD⊥BC,
所以直线 AD 为线段 BC 的垂直平分线,
所以 BA=CA.
由(1)可知,△BDE≌△CDA,
所以 BE=CA,所以 BA=BE.
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形全等，先梳理已知条件找对应相等的边和角：由D是BC中点可得一组对应边BD=CD；再根据BE//AC，利用平行线的性质可得到两组内错角相等，刚好满足AAS的全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要证BA=BE，可通过等量代换推导：已知AD⊥BC且D是BC中点，可得AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BA=CA；再结合(1)的全等结论可得BE=CA，通过等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD。
∵BE//AC，
∴∠EBD=∠C，∠E=∠CAD。
在△BDE和△CDA中，
$\begin{cases} ∠EBD=∠C, \\ ∠E=∠CAD, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDA（AAS）。
(2) 证明：
∵点D为BC的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA=CA。
由(1)可知△BDE≌△CDA，
∴BE=CA，
∴BA=BE。
【答案】
(1) 已证△BDE≌△CDA；
(2) 已证BA=BE。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，侧重对基础定理的应用考查，解题时需先明确待证结论，再结合已知条件逐步推导对应的判定和性质即可，有助于巩固全等、垂直平分线相关的核心知识。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明两个三角形全等，先梳理已知条件找对应相等的边和角：由D是BC中点可得一组对应边BD=CD；再根据BE//AC，利用平行线的性质可得到两组内错角相等，刚好满足AAS的全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要证BA=BE，可通过等量代换推导：已知AD⊥BC且D是BC中点，可得AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BA=CA；再结合(1)的全等结论可得BE=CA，通过等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD。
∵BE//AC，
∴∠EBD=∠C，∠E=∠CAD。
在△BDE和△CDA中，
$\begin{cases} ∠EBD=∠C, \\ ∠E=∠CAD, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDA（AAS）。
(2) 证明：
∵点D为BC的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA=CA。
由(1)可知△BDE≌△CDA，
∴BE=CA，
∴BA=BE。
【答案】
(1) 已证△BDE≌△CDA；
(2) 已证BA=BE。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，侧重对基础定理的应用考查，解题时需先明确待证结论，再结合已知条件逐步推导对应的判定和性质即可，有助于巩固全等、垂直平分线相关的核心知识。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在△ABC中,已知EM,FD分别垂直平分AB,AC,连接EA,FA,且∠BAC=115°,求∠EAF的度数.
答案
【解】因为 EM,FD 分别垂直平分 AB,AC,
所以 EB=EA,FC=FA,所以∠B=∠EAB,∠C=∠FAC.
因为∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180°,所以∠EAF=180°-2(∠B+∠C).
又因为∠BAC=115°,所以∠B+∠C=180°-115°=65°,所以∠EAF=180°-2×65°=50°.
所以 EB=EA,FC=FA,所以∠B=∠EAB,∠C=∠FAC.
因为∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180°,所以∠EAF=180°-2(∠B+∠C).
又因为∠BAC=115°,所以∠B+∠C=180°-115°=65°,所以∠EAF=180°-2×65°=50°.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，看到EM、FD分别是AB、AC的垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得EA=EB、FA=FC，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出∠B=∠EAB，∠C=∠FAC。接下来要求∠EAF的度数，可先利用三角形内角和定理，结合已知的∠BAC的度数，算出∠B+∠C的和，再根据角的和差关系代入计算即可得到∠EAF的度数。
【解析】
解：
∵EM，FD分别垂直平分AB，AC
∴EB=EA，FC=FA
∴∠B=∠EAB，∠C=∠FAC
∵∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180°
∴∠EAF=180°-2(∠B+∠C)
又
∵在△ABC中，∠BAC=115°，∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠B+∠C=180°-115°=65°
∴∠EAF=180°-2×65°=50°
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题的核心是通过垂直平分线得到相等的线段，进而转化为等角关系，再结合三角形内角和定理求解，是三角形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，看到EM、FD分别是AB、AC的垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得EA=EB、FA=FC，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出∠B=∠EAB，∠C=∠FAC。接下来要求∠EAF的度数，可先利用三角形内角和定理，结合已知的∠BAC的度数，算出∠B+∠C的和，再根据角的和差关系代入计算即可得到∠EAF的度数。
【解析】
解：
∵EM，FD分别垂直平分AB，AC
∴EB=EA，FC=FA
∴∠B=∠EAB，∠C=∠FAC
∵∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180°
∴∠EAF=180°-2(∠B+∠C)
又
∵在△ABC中，∠BAC=115°，∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠B+∠C=180°-115°=65°
∴∠EAF=180°-2×65°=50°
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题的核心是通过垂直平分线得到相等的线段，进而转化为等角关系，再结合三角形内角和定理求解，是三角形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
