基础知识·预习
问题1 如何用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线？作图依据是什么？
问题2 作轴对称图形的对称轴，用到哪一种基本尺规作图？
问题3 找直线$ l $和直线$ l $外一点$ A $，用尺规过点$ A $作出直线$ l $的垂线。

解：
问题1
作法：
① 设已知线段为$AB$，分别以点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧在线段$AB$两侧分别交于$C$，$D$两点；
② 作直线$CD$。
直线$CD$即为线段$AB$的垂直平分线。
作图依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线。
问题2
作轴对称图形的对称轴，用到的基本尺规作图是作一对对应点所连线段的垂直平分线。
问题3
作法：
① 任意取一点$K$，使点$K$与点$A$在直线$l$的两侧；
② 以点$A$为圆心，$AK$的长为半径作弧，交直线$l$于$M$、$N$两点；
③ 分别以点$M$、$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧交于点$B$；
④ 作直线$AB$。
直线$AB$即为所求作的过点$A$且垂直于直线$l$的垂线。

【分析】
这三道题均围绕线段垂直平分线的尺规作图及其应用展开：
1. 问题1是基础的线段垂直平分线作图，核心思路是找到两个到线段两端点距离相等的点，依据两点确定一条直线即可得到垂直平分线，作图时选取的半径必须大于线段长度的一半，否则两弧无法相交得到有效交点。
2. 问题2考查轴对称的性质应用，由于轴对称图形的对称轴是任意一组对应点所连线段的垂直平分线，因此作对称轴本质就是作对应点连线的垂直平分线。
3. 问题3是过直线外一点作已知直线的垂线，属于线段垂直平分线作图的延伸，思路是先在已知直线上截取一条线段，使点A到线段两端点距离相等，再作该线段的垂直平分线，所得直线即为所求垂线。
【解析】
问题1解析
作法：
① 设已知线段为$AB$，分别以点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧在线段$AB$两侧分别交于$C$，$D$两点；
② 作直线$CD$，即可得到线段$AB$的垂直平分线。
作图依据：
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线。
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问题2解析
根据轴对称的性质，对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，因此作轴对称图形的对称轴，用到的基本尺规作图为作一对对应点所连线段的垂直平分线。
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问题3解析
作法：
① 任意取一点$K$，使点$K$与点$A$在直线$l$的两侧；
② 以点$A$为圆心，$AK$的长为半径作弧，交直线$l$于$M$、$N$两点；
③ 分别以点$M$、$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧交于点$B$；
④ 作直线$AB$，即为过点$A$且垂直于直线$l$的垂线。
【答案】
解：
问题1
作法：
① 设已知线段为$AB$，分别以点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧在线段$AB$两侧分别交于$C$，$D$两点；
② 作直线$CD$。
直线$CD$即为线段$AB$的垂直平分线。
作图依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线。
问题2
作轴对称图形的对称轴，用到的基本尺规作图是作一对对应点所连线段的垂直平分线。
问题3
作法：
① 任意取一点$K$，使点$K$与点$A$在直线$l$的两侧；
② 以点$A$为圆心，$AK$的长为半径作弧，交直线$l$于$M$、$N$两点；
③ 分别以点$M$、$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧交于点$B$；
④ 作直线$AB$。
直线$AB$即为所求作的过点$A$且垂直于直线$l$的垂线。
【知识点】
1. 尺规作线段垂直平分线
2. 线段垂直平分线的判定
3. 轴对称的性质
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，核心考查线段垂直平分线的作图原理及延伸应用，掌握线段垂直平分线的作图方法和判定定理，即可快速解决作对称轴、过点作垂线等同类作图问题，是几何作图的重要基础。
【难度系数】
0.8

【典型例题 1】如图，已知在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，尺规作图:在 AC 上作点 P,使点 P 到点 A 和点 B 的距离相等.
【解】如图,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于 M,N 两点,作直线 MN,MN 与 AC 的交点 P 即为所求.

解：
分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AC的交点P即为所求。

【分析】
要找到AC上到A、B两点距离相等的点P，首先根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点P在AB的垂直平分线上。因此我们只需作出AB的垂直平分线，它与AC的交点就同时满足“在AC上”和“PA=PB”两个条件，即为所求。作图时要注意，画弧的半径需大于$\frac{1}{2}AB$，否则两弧没有交点，无法作出垂直平分线。
【解析】
1. 分别以点A和点B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点；
2. 过M、N两点作直线MN，直线MN与AC的交点就是所求作的点P。
【答案】
分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AC的交点P即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线的判定；尺规作线段垂直平分线
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，解题的关键是把“点到两点距离相等”的要求转化为作对应线段的垂直平分线，需牢记作图的操作规范，避免出现半径过小导致无交点的错误。
【难度系数】
0.8

【即学即练】
1.如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于某条直线对称，请作出这条对称轴.

1.【解】如图,连接 $BB'$,分别以点 $B$ 和点 $B'$ 为圆心,大于$\frac{1}{2}BB'$的长为半径作弧,两弧交于 $D,E$ 两点,作直线 $DE$,即为所求的对称轴。

【分析】
要确定两个成轴对称图形的对称轴，首先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形，任意一组对应点的连线都被对称轴垂直平分，因此对称轴就是对应点连线的垂直平分线。我们可以选取一组易操作的对应点，比如B和B'，用尺规作图的方法作出线段BB'的垂直平分线，就得到所求的对称轴。作线段垂直平分线的方法是：分别以线段两个端点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，两弧的交点连线就是该线段的垂直平分线。
【解析】
步骤1：连接对应点$BB'$；
步骤2：分别以点$B$和点$B'$为圆心，取大于$\frac{1}{2}BB'$的长度为半径作弧，两弧分别相交于$D$、$E$两点；
步骤3：过$D$、$E$两点作直线$DE$，直线$DE$就是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的对称轴。
【答案】
如图,连接 $BB'$,分别以点 $B$ 和点 $B'$ 为圆心,大于$\frac{1}{2}BB'$的长为半径作弧,两弧交于 $D,E$ 两点,作直线 $DE$,即为所求的对称轴。
【知识点】
轴对称的性质；尺规作图；线段垂直平分线的作法
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是利用轴对称的性质将对称轴的求解转化为线段垂直平分线的作图问题，需要熟练掌握尺规作线段垂直平分线的操作规范，注意作弧时半径必须大于线段长度的一半，才能保证两弧有两个交点确定直线。
【难度系数】
0.85

【典型例题2】如图，已知$△ ABC$，求作：$BC$边上的高.（要求用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【解】如图，线段$AD$就是所求的高.

解：
如图，线段AD就是所求的BC边上的高。

【分析】
要作BC边上的高，首先明确三角形高的定义：从三角形的顶点A向BC边所在的直线作垂线，顶点A和垂足D之间的线段就是BC边上的高，因此本题本质是用尺规完成“过直线外一点作已知直线的垂线”的基本作图。作图思路为：先以点A为圆心画弧交直线BC于两个点，再作这两个点所连线段的垂直平分线，该垂直平分线必过点A，与BC的交点就是垂足D，连接AD即可得到所求的高。
【解析】
根据三角形高的定义，BC边上的高是过点A且垂直于BC的线段，我们结合本课时所学的尺规作线段垂直平分线的方法作图：
1. 以点A为圆心，选取大于点A到BC的距离的长度为半径画弧，与直线BC交于两点M、N；
2. 分别以M、N为圆心，取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在BC另一侧交于一点，连接该点与点A，交BC于点D；
所得线段AD垂直于BC，即为所求的BC边上的高，作图时需保留所有画弧痕迹即可。
【答案】
如图，线段AD就是所求的BC边上的高。
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 尺规作垂线
3. 垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，解题关键是将作三角形高的问题转化为过直线外一点作已知直线垂线的基本尺规作图，掌握基本尺规作图的操作方法、保留完整作图痕迹是得分要点。
【难度系数】
0.8