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1.如图,已知直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线,O 为垂足,C,D 是直线 MN 上两点,且 AC=BD,试证明 AB 所在的直线是线段 CD 的垂直平分线.
答案
【证明】如图,连接 AD,CB.因为直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线,所以 AC=BC,AD=BD,AO=BO.因为 AC=BD,所以 AC=AD,BC=BD,所以 AB 所在的直线是线段 CD 的垂直平分线.
解析
【分析】
要证明AB所在直线是线段CD的垂直平分线，需结合线段垂直平分线的判定思考：只要证明直线AB上有两个点到C、D的距离相等，再结合“两点确定一条直线”即可得证。首先利用已知的MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得MN上的点C、D到A、B的距离相等，即AC=BC、AD=BD；再结合题目给出的AC=BD的条件，通过等量代换就能得到点A、点B到C、D的距离相等，最终完成证明。
【解析】
证明：如图，连接AD，CB。
∵ 直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，可得AC=BC，AD=BD，AO=BO。
又
∵ 已知AC=BD，
∴ 等量代换可得AC=AD，BC=BD。
根据线段垂直平分线的判定，可知点A在线段CD的垂直平分线上，点B也在线段CD的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ AB所在的直线是线段CD的垂直平分线。
【答案】
【证明】如图,连接 AD,CB.因为直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线,所以 AC=BC,AD=BD,AO=BO.因为 AC=BD,所以 AC=AD,BC=BD,所以 AB 所在的直线是线段 CD 的垂直平分线.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于线段垂直平分线相关的基础应用题，核心考查性质和判定的综合运用，解题时要注意：证明一条直线是某线段的垂直平分线时，需要证明直线上至少两个点到线段两端点的距离相等，不能仅证明一个点符合条件就直接得出结论。
【难度系数】
0.7
要证明AB所在直线是线段CD的垂直平分线，需结合线段垂直平分线的判定思考：只要证明直线AB上有两个点到C、D的距离相等，再结合“两点确定一条直线”即可得证。首先利用已知的MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得MN上的点C、D到A、B的距离相等，即AC=BC、AD=BD；再结合题目给出的AC=BD的条件，通过等量代换就能得到点A、点B到C、D的距离相等，最终完成证明。
【解析】
证明：如图，连接AD，CB。
∵ 直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，可得AC=BC，AD=BD，AO=BO。
又
∵ 已知AC=BD，
∴ 等量代换可得AC=AD，BC=BD。
根据线段垂直平分线的判定，可知点A在线段CD的垂直平分线上，点B也在线段CD的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ AB所在的直线是线段CD的垂直平分线。
【答案】
【证明】如图,连接 AD,CB.因为直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线,所以 AC=BC,AD=BD,AO=BO.因为 AC=BD,所以 AC=AD,BC=BD,所以 AB 所在的直线是线段 CD 的垂直平分线.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于线段垂直平分线相关的基础应用题，核心考查性质和判定的综合运用，解题时要注意：证明一条直线是某线段的垂直平分线时，需要证明直线上至少两个点到线段两端点的距离相等，不能仅证明一个点符合条件就直接得出结论。
【难度系数】
0.7
【典型例题2】命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是
【答案】有两个锐角互余的三角形是直角三角形 是
有两个锐角互余的三角形是直角三角形
，它们是
(填“是”或“不是”)互逆定理.【答案】有两个锐角互余的三角形是直角三角形 是
答案
有两个锐角互余的三角形是直角三角形 是
解析
【分析】
要解决这道题分两步思考：第一步求逆命题，首先明确逆命题是将原命题的题设（条件）和结论互换得到的命题，先拆分原命题的题设和结论：原命题“直角三角形的两个锐角互余”中，题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“它的两个锐角互余”，把二者互换就能得到逆命题。第二步判断是否为互逆定理，互逆定理要求原命题和逆命题都必须是经过证明的真命题，结合三角形内角和定理验证逆命题的真假即可判断。
【解析】
1. 改写逆命题：
将原命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件和结论互换，可得逆命题为：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
2. 判断是否为互逆定理：
原命题是直角三角形的性质定理，属于真命题；
验证逆命题：若三角形有两个锐角互余，即这两个锐角的和为90°，根据三角形内角和为180°，可得第三个内角的度数为$180° -90°=90°$，因此该三角形是直角三角形，即逆命题也是真命题，可作为直角三角形的判定定理。
所以二者是互逆定理。
【答案】
有两个锐角互余的三角形是直角三角形 是
【知识点】
逆命题的概念，互逆定理，三角形内角和定理
【点评】
本题考查逆命题的改写和互逆定理的判断，解题核心是准确拆分原命题的条件和结论，同时能结合所学定理验证命题的真假，属于基础概念类题型，熟练掌握相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题分两步思考：第一步求逆命题，首先明确逆命题是将原命题的题设（条件）和结论互换得到的命题，先拆分原命题的题设和结论：原命题“直角三角形的两个锐角互余”中，题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“它的两个锐角互余”，把二者互换就能得到逆命题。第二步判断是否为互逆定理，互逆定理要求原命题和逆命题都必须是经过证明的真命题，结合三角形内角和定理验证逆命题的真假即可判断。
【解析】
1. 改写逆命题：
将原命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件和结论互换，可得逆命题为：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
2. 判断是否为互逆定理：
原命题是直角三角形的性质定理，属于真命题；
验证逆命题：若三角形有两个锐角互余，即这两个锐角的和为90°，根据三角形内角和为180°，可得第三个内角的度数为$180° -90°=90°$，因此该三角形是直角三角形，即逆命题也是真命题，可作为直角三角形的判定定理。
所以二者是互逆定理。
【答案】
有两个锐角互余的三角形是直角三角形 是
【知识点】
逆命题的概念，互逆定理，三角形内角和定理
【点评】
本题考查逆命题的改写和互逆定理的判断，解题核心是准确拆分原命题的条件和结论，同时能结合所学定理验证命题的真假，属于基础概念类题型，熟练掌握相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 下列命题的逆命题是真命题的是（
A.如果 $a ＞ b$，那么 $ac ＞ bc$
B.如果 $a = b = 0$，那么 $ab = 0$
C.如果 $a ＞ b$，那么 $a^2 ＞ b^2$
D.如果 $|a| = |b|$，那么 $a = b$
D
）A.如果 $a ＞ b$，那么 $ac ＞ bc$
B.如果 $a = b = 0$，那么 $ab = 0$
C.如果 $a ＞ b$，那么 $a^2 ＞ b^2$
D.如果 $|a| = |b|$，那么 $a = b$
答案
D 【解析】A 选项的逆命题:如果 $ac＞bc$,那么 $a＞b$,是假命题;B 选项的逆命题:如果 $ab=0$,那么 $a=b=0$,是假命题;C 选项的逆命题:如果 $a^2＞b^2$,那么 $a＞b$,是假命题;D 选项的逆命题:如果 $a=b$,那么 $|a|=|b|$,是真命题.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确逆命题的定义：将原命题的条件和结论互换位置，得到的新命题就是原命题的逆命题。解题时先依次写出每个选项中原命题的逆命题，再逐一判断逆命题是否成立，能举出反例证明不成立的是假命题，始终成立的是真命题，最后选出逆命题为真命题的选项即可。
【解析】
原命题的结构为“如果+条件，那么+结论”，逆命题只需将条件和结论互换，再判断真假：
A. 原命题逆命题：如果$ac＞bc$，那么$a＞b$。当$c＜0$时，不等式两边同时除以负数，不等号方向要改变，比如$c=-1$，$a=1$，$b=2$，此时$ac=-1＞-2=bc$，但$a=1＜b=2$，所以该逆命题是假命题；
B. 原命题逆命题：如果$ab=0$，那么$a=b=0$。反例：$a=0$，$b=3$，此时$ab=0$，但$b≠0$，所以该逆命题是假命题；
C. 原命题逆命题：如果$a^2＞b^2$，那么$a＞b$。反例：$a=-2$，$b=1$，此时$a^2=4＞1=b^2$，但$a=-2＜1=b$，所以该逆命题是假命题；
D. 原命题逆命题：如果$a=b$，那么$|a|=|b|$。两个相等的数的绝对值一定相等，该命题始终成立，是真命题。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的概念；真假命题判断；绝对值的性质
【点评】
本题考查逆命题的改写和真假命题的判定，解题核心是正确互换原命题的条件和结论，判断假命题时只需举出一个反例即可，判断真命题需要结合所学性质、定理验证其恒成立。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先要明确逆命题的定义：将原命题的条件和结论互换位置，得到的新命题就是原命题的逆命题。解题时先依次写出每个选项中原命题的逆命题，再逐一判断逆命题是否成立，能举出反例证明不成立的是假命题，始终成立的是真命题，最后选出逆命题为真命题的选项即可。
【解析】
原命题的结构为“如果+条件，那么+结论”，逆命题只需将条件和结论互换，再判断真假：
A. 原命题逆命题：如果$ac＞bc$，那么$a＞b$。当$c＜0$时，不等式两边同时除以负数，不等号方向要改变，比如$c=-1$，$a=1$，$b=2$，此时$ac=-1＞-2=bc$，但$a=1＜b=2$，所以该逆命题是假命题；
B. 原命题逆命题：如果$ab=0$，那么$a=b=0$。反例：$a=0$，$b=3$，此时$ab=0$，但$b≠0$，所以该逆命题是假命题；
C. 原命题逆命题：如果$a^2＞b^2$，那么$a＞b$。反例：$a=-2$，$b=1$，此时$a^2=4＞1=b^2$，但$a=-2＜1=b$，所以该逆命题是假命题；
D. 原命题逆命题：如果$a=b$，那么$|a|=|b|$。两个相等的数的绝对值一定相等，该命题始终成立，是真命题。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的概念；真假命题判断；绝对值的性质
【点评】
本题考查逆命题的改写和真假命题的判定，解题核心是正确互换原命题的条件和结论，判断假命题时只需举出一个反例即可，判断真命题需要结合所学性质、定理验证其恒成立。
【难度系数】
0.75
1. 如图，$AC=AD$，$BC=BD$，则下列判断正确的是 （
A.AB 垂直平分 CD
B.CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分$∠ ACB$
（第1题图）
（第2题图）
A
）A.AB 垂直平分 CD
B.CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分$∠ ACB$
（第1题图）
（第2题图）
答案
A
解析
【分析】
首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。由题中条件AC=AD，可知点A到线段CD两端点C、D的距离相等，因此点A在CD的垂直平分线上；同理BC=BD，可知点B到线段CD两端点C、D的距离相等，因此点B也在CD的垂直平分线上。再结合“两点确定一条直线”的性质，即可推出AB是CD的垂直平分线，据此判断选项即可。
【解析】
解：根据线段垂直平分线的判定定理推导：
∵ $AC=AD$，
∴ 点A在线段CD的垂直平分线上，
∵ $BC=BD$，
∴ 点B在线段CD的垂直平分线上，
又
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。
对选项逐一判断：
A选项符合推导结论，正确；
B选项：题干未给出$AC=BC$、$AD=BD$等条件，无法证明CD垂直平分AB，错误；
C选项：无法证明CD平分AB，因此不满足互相垂直平分，错误；
D选项：只有当$AC=BC$时CD才平分$∠ ACB$，题干无此条件，错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定，两点确定一条直线
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考查线段垂直平分线判定规则的应用，解题关键是牢记“到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上”，结合直线的基本性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。由题中条件AC=AD，可知点A到线段CD两端点C、D的距离相等，因此点A在CD的垂直平分线上；同理BC=BD，可知点B到线段CD两端点C、D的距离相等，因此点B也在CD的垂直平分线上。再结合“两点确定一条直线”的性质，即可推出AB是CD的垂直平分线，据此判断选项即可。
【解析】
解：根据线段垂直平分线的判定定理推导：
∵ $AC=AD$，
∴ 点A在线段CD的垂直平分线上，
∵ $BC=BD$，
∴ 点B在线段CD的垂直平分线上，
又
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。
对选项逐一判断：
A选项符合推导结论，正确；
B选项：题干未给出$AC=BC$、$AD=BD$等条件，无法证明CD垂直平分AB，错误；
C选项：无法证明CD平分AB，因此不满足互相垂直平分，错误；
D选项：只有当$AC=BC$时CD才平分$∠ ACB$，题干无此条件，错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定，两点确定一条直线
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考查线段垂直平分线判定规则的应用，解题关键是牢记“到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上”，结合直线的基本性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ ABC$ 的边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，连接 BD。若 $AC=8$，$CD=5$，则 BD 的长度为
3
。答案
3
解析
【分析】
解题时首先结合题干条件观察图形，已知存在AB的垂直平分线，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。由此可知点D在AB的垂直平分线上，因此BD与AD长度相等。接下来只需根据已知的AC、CD长度求出AD的长度，即可得到BD的长度。
【解析】
首先计算AD的长度：
已知AC=8，CD=5，点D在线段AC上，因此$AD = AC - CD = 8 - 5 = 3$。
又因为点D在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得$BD = AD$。
因此$BD=3$。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的直接应用，解题关键是利用性质将待求线段转化为可直接计算的线段，计算量小。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合题干条件观察图形，已知存在AB的垂直平分线，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。由此可知点D在AB的垂直平分线上，因此BD与AD长度相等。接下来只需根据已知的AC、CD长度求出AD的长度，即可得到BD的长度。
【解析】
首先计算AD的长度：
已知AC=8，CD=5，点D在线段AC上，因此$AD = AC - CD = 8 - 5 = 3$。
又因为点D在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得$BD = AD$。
因此$BD=3$。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的直接应用，解题关键是利用性质将待求线段转化为可直接计算的线段，计算量小。
【难度系数】
0.9
3. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)如果两个实数都是负数,那么它们的和是负数;
(2)如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.
(1)如果两个实数都是负数,那么它们的和是负数;
(2)如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.
答案
【解】(1)如果两个实数的和是负数,那么这两个实数都是负数,此命题不成立.
(2)如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等,此命题不成立.
(2)如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等,此命题不成立.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确逆命题的改写规则：对于“如果……那么……”形式的命题，“如果”后面的内容是题设（条件），“那么”后面的内容是结论，逆命题就是将原命题的题设和结论互换位置。改写完成后判断逆命题是否成立，只要能举出一个符合逆命题题设、但不符合逆命题结论的反例，就能证明该逆命题不成立。解题时先拆分每道小题原命题的题设和结论，互换得到逆命题后，再通过反例判断真假即可。
【解析】
(1) 拆分原命题：题设为“两个实数都是负数”，结论为“它们的和是负数”，将题设和结论互换得到逆命题：如果两个实数的和是负数，那么这两个实数都是负数。
判断是否成立：举反例，比如-3和1的和为-2（是负数），但1是正数，不符合“两个实数都是负数”的结论，因此该逆命题不成立。
(2) 拆分原命题：题设为“两个三角形全等”，结论为“这两个三角形的面积相等”，将题设和结论互换得到逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等。
判断是否成立：举反例，底为4、高为3的三角形和底为6、高为2的三角形，面积都为6，但两个三角形形状不同，不全等，因此该逆命题不成立。
【答案】
(1)如果两个实数的和是负数,那么这两个实数都是负数,此命题不成立.
(2)如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等,此命题不成立.
【知识点】
逆命题改写、真假命题判断、全等三角形的性质
【点评】
本题是命题相关的基础题型，重点考查逆命题的改写方法和假命题的判断逻辑，改写时要注意准确区分原命题的条件和结论，判断假命题只需举出一个反例即可，不需要严格证明，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确逆命题的改写规则：对于“如果……那么……”形式的命题，“如果”后面的内容是题设（条件），“那么”后面的内容是结论，逆命题就是将原命题的题设和结论互换位置。改写完成后判断逆命题是否成立，只要能举出一个符合逆命题题设、但不符合逆命题结论的反例，就能证明该逆命题不成立。解题时先拆分每道小题原命题的题设和结论，互换得到逆命题后，再通过反例判断真假即可。
【解析】
(1) 拆分原命题：题设为“两个实数都是负数”，结论为“它们的和是负数”，将题设和结论互换得到逆命题：如果两个实数的和是负数，那么这两个实数都是负数。
判断是否成立：举反例，比如-3和1的和为-2（是负数），但1是正数，不符合“两个实数都是负数”的结论，因此该逆命题不成立。
(2) 拆分原命题：题设为“两个三角形全等”，结论为“这两个三角形的面积相等”，将题设和结论互换得到逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等。
判断是否成立：举反例，底为4、高为3的三角形和底为6、高为2的三角形，面积都为6，但两个三角形形状不同，不全等，因此该逆命题不成立。
【答案】
(1)如果两个实数的和是负数,那么这两个实数都是负数,此命题不成立.
(2)如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等,此命题不成立.
【知识点】
逆命题改写、真假命题判断、全等三角形的性质
【点评】
本题是命题相关的基础题型，重点考查逆命题的改写方法和假命题的判断逻辑，改写时要注意准确区分原命题的条件和结论，判断假命题只需举出一个反例即可，不需要严格证明，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
