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5. 计算:
(1) $\dfrac{a^2 - 3a}{a^2 + a} ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 - 1} · \dfrac{a + 1}{a - 1}$;
(2) $\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} · \dfrac{x + 1}{x^2 - x} ÷ ( \dfrac{1}{x} )^3$;
(3) $( -\dfrac{x}{y} )^2 · ( -\dfrac{y^2}{x} )^3 ÷ (-xy^4)$.
(1) $\dfrac{a^2 - 3a}{a^2 + a} ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 - 1} · \dfrac{a + 1}{a - 1}$;
(2) $\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} · \dfrac{x + 1}{x^2 - x} ÷ ( \dfrac{1}{x} )^3$;
(3) $( -\dfrac{x}{y} )^2 · ( -\dfrac{y^2}{x} )^3 ÷ (-xy^4)$.
答案
(1)$\frac{a^2-3a}{a^2+a}÷\frac{a-3}{a^2-1}·\frac{a+1}{a-1}$
$=\frac{a(a-3)}{a(a+1)}·\frac{(a+1)(a-1)}{a-3}·\frac{a+1}{a-1}=a+1.$
(2) $\frac{x^2-2x+1}{x^2-1} · \frac{x+1}{x^2-x} ÷ ( \frac{1}{x} )^3 = \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x(x-1)} · x^3 = x^2.$
(3)$(-\frac{x}{y})^2 · (-\frac{y^2}{x})^3 ÷ (-xy^4)$
$=\frac{x^2}{y^2} · (-\frac{y^6}{x^3}) · (-\frac{1}{xy^4}) =\frac{1}{x^2}.$
$=\frac{a(a-3)}{a(a+1)}·\frac{(a+1)(a-1)}{a-3}·\frac{a+1}{a-1}=a+1.$
(2) $\frac{x^2-2x+1}{x^2-1} · \frac{x+1}{x^2-x} ÷ ( \frac{1}{x} )^3 = \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x(x-1)} · x^3 = x^2.$
(3)$(-\frac{x}{y})^2 · (-\frac{y^2}{x})^3 ÷ (-xy^4)$
$=\frac{x^2}{y^2} · (-\frac{y^6}{x^3}) · (-\frac{1}{xy^4}) =\frac{1}{x^2}.$
解析
【分析】
分式乘除（含乘方）混合运算的核心解题思路如下：1. 运算顺序：有乘方先算乘方，再将所有除法统一转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），乘除是同级运算，按从左到右的顺序计算；2. 因式分解：将每个分式的分子、分母中的多项式分解因式，方便后续约分；3. 约分计算：约掉分子分母的公因式，最后化简得到最简结果，运算过程中注意负号的处理，避免符号出错。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再对各分子分母因式分解后约分：
$\dfrac{a^2 - 3a}{a^2 + a} ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 - 1} · \dfrac{a + 1}{a - 1}$
$=\dfrac{a(a-3)}{a(a+1)} · \dfrac{(a+1)(a-1)}{a-3} · \dfrac{a+1}{a-1}$
约掉公因式$a、a-3、a+1、a-1$，即可得到化简结果。
(2) 先算乘方，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} · \dfrac{x + 1}{x^2 - x} ÷ ( \dfrac{1}{x} )^3$
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{x(x-1)} ÷ \dfrac{1}{x^3}$
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{x(x-1)} · x^3$
约掉公因式$x-1、x+1、x$，即可得到化简结果。
(3) 先算乘方，再将除法转化为乘法，处理符号后约分：
$( -\dfrac{x}{y} )^2 · ( -\dfrac{y^2}{x} )^3 ÷ (-xy^4)$
$=\dfrac{x^2}{y^2} · (-\dfrac{y^6}{x^3}) · (-\dfrac{1}{xy^4})$
负号共2个，乘积为正，约掉公因式$x^2、y^2、y^6$，即可得到化简结果。
【答案】
(1)$a+1$；(2)$x^2$；(3)$\dfrac{1}{x^2}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式乘方运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察运算顺序、因式分解和约分的掌握程度，运算时注意先统一运算形式、先分解再约分，同时关注符号的正误，是巩固分式运算法则的典型习题。
【难度系数】
0.8
分式乘除（含乘方）混合运算的核心解题思路如下：1. 运算顺序：有乘方先算乘方，再将所有除法统一转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），乘除是同级运算，按从左到右的顺序计算；2. 因式分解：将每个分式的分子、分母中的多项式分解因式，方便后续约分；3. 约分计算：约掉分子分母的公因式，最后化简得到最简结果，运算过程中注意负号的处理，避免符号出错。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再对各分子分母因式分解后约分：
$\dfrac{a^2 - 3a}{a^2 + a} ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 - 1} · \dfrac{a + 1}{a - 1}$
$=\dfrac{a(a-3)}{a(a+1)} · \dfrac{(a+1)(a-1)}{a-3} · \dfrac{a+1}{a-1}$
约掉公因式$a、a-3、a+1、a-1$，即可得到化简结果。
(2) 先算乘方，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} · \dfrac{x + 1}{x^2 - x} ÷ ( \dfrac{1}{x} )^3$
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{x(x-1)} ÷ \dfrac{1}{x^3}$
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{x(x-1)} · x^3$
约掉公因式$x-1、x+1、x$，即可得到化简结果。
(3) 先算乘方，再将除法转化为乘法，处理符号后约分：
$( -\dfrac{x}{y} )^2 · ( -\dfrac{y^2}{x} )^3 ÷ (-xy^4)$
$=\dfrac{x^2}{y^2} · (-\dfrac{y^6}{x^3}) · (-\dfrac{1}{xy^4})$
负号共2个，乘积为正，约掉公因式$x^2、y^2、y^6$，即可得到化简结果。
【答案】
(1)$a+1$；(2)$x^2$；(3)$\dfrac{1}{x^2}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式乘方运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察运算顺序、因式分解和约分的掌握程度，运算时注意先统一运算形式、先分解再约分，同时关注符号的正误，是巩固分式运算法则的典型习题。
【难度系数】
0.8
6.若$2x=3y$，则$(\dfrac{x}{y})^3 ÷ (-\dfrac{3x}{y})^2 · \dfrac{6x}{y}$的值等于（
A.$1$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$-1$
C
）A.$1$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$-1$
答案
6.C
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，从已知条件2x=3y出发，因为原式中分母含有y，可知y≠0，因此可直接求出x与y的比值$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$；第二步，先根据分式运算顺序（先算乘方，再从左到右计算乘除）化简原式，再将$\dfrac{x}{y}$的比值整体代入计算即可得到结果，用整体代入的方法可以避免分别求x、y的值，简化计算。
【解析】
解：
∵2x=3y，且原式分母含有y，故y≠0，
∴可得$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$。
先化简原式：
首先计算乘方：$(-\dfrac{3x}{y})^2=\dfrac{9x^2}{y^2}=9·(\dfrac{x}{y})^2$，
设$t=\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$，则原式可转化为：
$t^3 ÷ 9t^2 · 6t$
按照从左到右的顺序计算乘除：
$=\dfrac{t^3}{9t^2} · 6t$
$=\dfrac{t}{9} · 6t$
$=\dfrac{6t^2}{9}=\dfrac{2t^2}{3}$
将$t=\dfrac{3}{2}$代入得：
$\dfrac{2}{3} × (\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{2}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘除混合运算；分式的乘方；代数式求值
【点评】
本题重点考查分式的运算规则，解题时要注意运算顺序，先算乘方再算乘除，合理运用整体代入的思想可以简化计算过程，避免不必要的运算错误。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，从已知条件2x=3y出发，因为原式中分母含有y，可知y≠0，因此可直接求出x与y的比值$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$；第二步，先根据分式运算顺序（先算乘方，再从左到右计算乘除）化简原式，再将$\dfrac{x}{y}$的比值整体代入计算即可得到结果，用整体代入的方法可以避免分别求x、y的值，简化计算。
【解析】
解：
∵2x=3y，且原式分母含有y，故y≠0，
∴可得$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$。
先化简原式：
首先计算乘方：$(-\dfrac{3x}{y})^2=\dfrac{9x^2}{y^2}=9·(\dfrac{x}{y})^2$，
设$t=\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$，则原式可转化为：
$t^3 ÷ 9t^2 · 6t$
按照从左到右的顺序计算乘除：
$=\dfrac{t^3}{9t^2} · 6t$
$=\dfrac{t}{9} · 6t$
$=\dfrac{6t^2}{9}=\dfrac{2t^2}{3}$
将$t=\dfrac{3}{2}$代入得：
$\dfrac{2}{3} × (\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{2}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘除混合运算；分式的乘方；代数式求值
【点评】
本题重点考查分式的运算规则，解题时要注意运算顺序，先算乘方再算乘除，合理运用整体代入的思想可以简化计算过程，避免不必要的运算错误。
【难度系数】
0.7
7. 计算$(\dfrac{-ab^3c^2}{2d})^2 ÷ \dfrac{8d^3b^6}{ab^5c} · (\dfrac{4d^2}{-ac^2})^3$的结果是（
A.$-\dfrac{2b^5d}{c}$
B.$\dfrac{2b^5d}{c}$
C.$-\dfrac{c}{2b^5d}$
D.$-\dfrac{3b^4d}{8}$
A
）A.$-\dfrac{2b^5d}{c}$
B.$\dfrac{2b^5d}{c}$
C.$-\dfrac{c}{2b^5d}$
D.$-\dfrac{3b^4d}{8}$
答案
7.A
解析
【分析】
解决分式的乘除与乘方混合运算题，首先要明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序计算。第一步先分别计算每个分式的乘方，计算乘方时要注意负数的幂的符号（偶次幂为正，奇次幂为负），同时分子、分母的每一项都要分别乘方；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第三步把所有分式的分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母，最后约去分子分母的公因式，化简得到结果即可。
【解析】
按照运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方运算：
$(\dfrac{-ab^3c^2}{2d})^2=\dfrac{(-ab^3c^2)^2}{(2d)^2}=\dfrac{a^2b^6c^4}{4d^2}$
$(\dfrac{4d^2}{-ac^2})^3=\dfrac{(4d^2)^3}{(-ac^2)^3}=\dfrac{64d^6}{-a^3c^6}=-\dfrac{64d^6}{a^3c^6}$
2. 将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{a^2b^6c^4}{4d^2} × \dfrac{ab^5c}{8d^3b^6} × (-\dfrac{64d^6}{a^3c^6})$
3. 先确定符号：式子中只有1个负因式，所以最终结果为负；再对分子、分母分别约分计算：
分子部分总乘积：$a^2×a×b^6×b^5×c^4×c×64d^6=64a^3b^{11}c^5d^6$
分母部分总乘积：$4×8×d^2×d^3×b^6×a^3×c^6=32a^3b^6c^6d^5$
约分后得：$-\dfrac{64}{32} × \dfrac{a^3}{a^3} × \dfrac{b^{11}}{b^6} × \dfrac{c^5}{c^6} × \dfrac{d^6}{d^5} = -\dfrac{2b^5d}{c}$
【答案】
A
【知识点】
分式乘方法则；分式乘除运算；幂的运算性质
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题的关键是牢记运算顺序，注意乘方运算中符号和系数的计算，约分时要找准分子分母的公因式，避免因粗心导致符号错误或者约分错误。
【难度系数】
0.7
解决分式的乘除与乘方混合运算题，首先要明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序计算。第一步先分别计算每个分式的乘方，计算乘方时要注意负数的幂的符号（偶次幂为正，奇次幂为负），同时分子、分母的每一项都要分别乘方；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第三步把所有分式的分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母，最后约去分子分母的公因式，化简得到结果即可。
【解析】
按照运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方运算：
$(\dfrac{-ab^3c^2}{2d})^2=\dfrac{(-ab^3c^2)^2}{(2d)^2}=\dfrac{a^2b^6c^4}{4d^2}$
$(\dfrac{4d^2}{-ac^2})^3=\dfrac{(4d^2)^3}{(-ac^2)^3}=\dfrac{64d^6}{-a^3c^6}=-\dfrac{64d^6}{a^3c^6}$
2. 将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{a^2b^6c^4}{4d^2} × \dfrac{ab^5c}{8d^3b^6} × (-\dfrac{64d^6}{a^3c^6})$
3. 先确定符号：式子中只有1个负因式，所以最终结果为负；再对分子、分母分别约分计算：
分子部分总乘积：$a^2×a×b^6×b^5×c^4×c×64d^6=64a^3b^{11}c^5d^6$
分母部分总乘积：$4×8×d^2×d^3×b^6×a^3×c^6=32a^3b^6c^6d^5$
约分后得：$-\dfrac{64}{32} × \dfrac{a^3}{a^3} × \dfrac{b^{11}}{b^6} × \dfrac{c^5}{c^6} × \dfrac{d^6}{d^5} = -\dfrac{2b^5d}{c}$
【答案】
A
【知识点】
分式乘方法则；分式乘除运算；幂的运算性质
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题的关键是牢记运算顺序，注意乘方运算中符号和系数的计算，约分时要找准分子分母的公因式，避免因粗心导致符号错误或者约分错误。
【难度系数】
0.7
8. 计算:
(1)$\frac{x^3 y}{z} · (-\frac{a^2}{b^3})^2 ÷ (-\frac{xz}{y}) · \frac{y}{x^2 z};$
(2)$\frac{a^2 - 2ab}{-ab + b^2} ÷ ( \frac{a^2}{a - b} ÷ \frac{2ab}{2b - a} ).$
(1)$\frac{x^3 y}{z} · (-\frac{a^2}{b^3})^2 ÷ (-\frac{xz}{y}) · \frac{y}{x^2 z};$
(2)$\frac{a^2 - 2ab}{-ab + b^2} ÷ ( \frac{a^2}{a - b} ÷ \frac{2ab}{2b - a} ).$
答案
(1)$\frac{x^3 y}{z} · (-\frac{a^2}{b^3})^2 ÷ (-\frac{xz}{y}) · \frac{y}{x^2 z} =\frac{x^3 y}{z} · \frac{a^4}{b^6} · (-\frac{y}{xz}) · \frac{y}{x^2 z} = -\frac{y^3 a^4}{z^3 b^6}.$
(2) $\frac{a^2-2ab}{-ab+b^2} ÷ ( \frac{a^2}{a-b} ÷ \frac{2ab}{2b-a} ) = \frac{a(a-2b)}{-b(a-b)} ÷ ( \frac{a^2}{a-b} · \frac{2b-a}{2ab} ) = \frac{a(a-2b)}{-b(a-b)} · \frac{2b(a-b)}{a(2b-a)}=2.$
(2) $\frac{a^2-2ab}{-ab+b^2} ÷ ( \frac{a^2}{a-b} ÷ \frac{2ab}{2b-a} ) = \frac{a(a-2b)}{-b(a-b)} ÷ ( \frac{a^2}{a-b} · \frac{2b-a}{2ab} ) = \frac{a(a-2b)}{-b(a-b)} · \frac{2b(a-b)}{a(2b-a)}=2.$
解析
【分析】
(1) 本题属于分式乘方、乘除混合运算，按“先乘方、再乘除”的顺序解题：第一步先计算乘方项$(-\frac{a^2}{b^3})^2$，根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，负号偶次幂得正；第二步将所有除法转化为乘法运算（除以分式等于乘它的倒数）；第三步把所有分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，约去公因式即可，全程注意符号的正误。
(2) 本题是含括号的分式乘除混合运算，按“先括号内、后括号外”的顺序解题：第一步先对括号外分式的分子、分母因式分解，方便后续约分；第二步把括号内的除法转化为乘法，先约分简化括号内的运算；第三步将括号外的除法也转化为乘法，注意$a-2b$和$2b-a$互为相反数，约分时要调整符号，最终计算得结果。
【解析】
(1) 先算乘方，再统一为乘法运算后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^3 y}{z} · \frac{a^4}{b^6} ÷ (-\frac{xz}{y}) · \frac{y}{x^2 z}\\&=\frac{x^3 y}{z} · \frac{a^4}{b^6} · (-\frac{y}{xz}) · \frac{y}{x^2 z}\\&=-\frac{x^3 y · a^4 · y · y}{z · b^6 · xz · x^2 z}\\&=-\frac{a^4 y^3}{b^6 z^3}\end{aligned}$
(2) 先因式分解，再算括号内，最后算括号外：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a(a-2b)}{-b(a-b)} ÷ ( \frac{a^2}{a-b} · \frac{2b-a}{2ab} )\\&=\frac{a(a-2b)}{-b(a-b)} ÷ \frac{a(2b-a)}{2b(a-b)}\\&=\frac{a(a-2b)}{-b(a-b)} · \frac{2b(a-b)}{a(2b-a)}\\&=\frac{a·[-(2b-a)]}{-b(a-b)} · \frac{2b(a-b)}{a(2b-a)}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{a^4 y^3}{b^6 z^3}$；(2) $2$
【知识点】
分式乘方运算；分式乘除混合运算；分式约分
【点评】
本题重点考查分式混合运算的规则，解题时要严格遵守运算顺序，优先算乘方、有括号先算括号内。运算中要熟练运用因式分解简化计算，尤其注意互为相反数的因式约分时的符号变化，养成先约分再计算的习惯可大幅降低出错率。
【难度系数】
0.6
(1) 本题属于分式乘方、乘除混合运算，按“先乘方、再乘除”的顺序解题：第一步先计算乘方项$(-\frac{a^2}{b^3})^2$，根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，负号偶次幂得正；第二步将所有除法转化为乘法运算（除以分式等于乘它的倒数）；第三步把所有分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，约去公因式即可，全程注意符号的正误。
(2) 本题是含括号的分式乘除混合运算，按“先括号内、后括号外”的顺序解题：第一步先对括号外分式的分子、分母因式分解，方便后续约分；第二步把括号内的除法转化为乘法，先约分简化括号内的运算；第三步将括号外的除法也转化为乘法，注意$a-2b$和$2b-a$互为相反数，约分时要调整符号，最终计算得结果。
【解析】
(1) 先算乘方，再统一为乘法运算后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^3 y}{z} · \frac{a^4}{b^6} ÷ (-\frac{xz}{y}) · \frac{y}{x^2 z}\\&=\frac{x^3 y}{z} · \frac{a^4}{b^6} · (-\frac{y}{xz}) · \frac{y}{x^2 z}\\&=-\frac{x^3 y · a^4 · y · y}{z · b^6 · xz · x^2 z}\\&=-\frac{a^4 y^3}{b^6 z^3}\end{aligned}$
(2) 先因式分解，再算括号内，最后算括号外：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a(a-2b)}{-b(a-b)} ÷ ( \frac{a^2}{a-b} · \frac{2b-a}{2ab} )\\&=\frac{a(a-2b)}{-b(a-b)} ÷ \frac{a(2b-a)}{2b(a-b)}\\&=\frac{a(a-2b)}{-b(a-b)} · \frac{2b(a-b)}{a(2b-a)}\\&=\frac{a·[-(2b-a)]}{-b(a-b)} · \frac{2b(a-b)}{a(2b-a)}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{a^4 y^3}{b^6 z^3}$；(2) $2$
【知识点】
分式乘方运算；分式乘除混合运算；分式约分
【点评】
本题重点考查分式混合运算的规则，解题时要严格遵守运算顺序，优先算乘方、有括号先算括号内。运算中要熟练运用因式分解简化计算，尤其注意互为相反数的因式约分时的符号变化，养成先约分再计算的习惯可大幅降低出错率。
【难度系数】
0.6
9. 先化简,再求值:$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \frac{1}{a^2 -1}$,其中$a$满足$a^2 -a=0$.
答案
$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2-4}{a^2-2a+1} ÷ \frac{1}{a^2-1} = \frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)=(a-2)(a+1)=a^2-a-2.$
当$a^2-a=0$时,原式$=0-2=-2.$
当$a^2-a=0$时,原式$=0-2=-2.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：1. 先将分式的除法运算转化为乘法运算，统一为乘法运算后方便约分；2. 对式子中出现的多项式分别进行因式分解，再约去分子、分母的公因式，得到最简结果；3. 结合已知条件，可直接整体代入求值，也可先确定符合分式有意义的a的取值后代入，两种方法都能得到最终结果。
【解析】
解：先化简原式：
首先将除法转化为乘法：
$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \frac{1}{a^2 -1} = \frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} · (a^2 -1)$
对各多项式因式分解：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入得：
原式$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a+2$、$(a-1)^2$，得：
原式$=(a-2)(a+1)=a^2 -a -2$
结合已知$a^2 -a=0$，代入最简式：
原式$=0-2=-2$
注：要保证原分式有意义，则分母不为0，即$a+2≠0$，$a-1≠0$，$a+1≠0$，得$a≠-2,1,-1$；由$a^2-a=0$解得$a=0$或$a=1$，故符合条件的$a=0$，代入最简式也可得结果为$-2$，与整体代入结果一致。
【答案】
-2
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题时先将除法转化为乘法，再通过因式分解约分简化计算，代入求值前要注意验证所取的a的值要使原分式所有分母不为0，本题运用整体代入的方法可省略求a值的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：1. 先将分式的除法运算转化为乘法运算，统一为乘法运算后方便约分；2. 对式子中出现的多项式分别进行因式分解，再约去分子、分母的公因式，得到最简结果；3. 结合已知条件，可直接整体代入求值，也可先确定符合分式有意义的a的取值后代入，两种方法都能得到最终结果。
【解析】
解：先化简原式：
首先将除法转化为乘法：
$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \frac{1}{a^2 -1} = \frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} · (a^2 -1)$
对各多项式因式分解：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入得：
原式$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a+2$、$(a-1)^2$，得：
原式$=(a-2)(a+1)=a^2 -a -2$
结合已知$a^2 -a=0$，代入最简式：
原式$=0-2=-2$
注：要保证原分式有意义，则分母不为0，即$a+2≠0$，$a-1≠0$，$a+1≠0$，得$a≠-2,1,-1$；由$a^2-a=0$解得$a=0$或$a=1$，故符合条件的$a=0$，代入最简式也可得结果为$-2$，与整体代入结果一致。
【答案】
-2
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题时先将除法转化为乘法，再通过因式分解约分简化计算，代入求值前要注意验证所取的a的值要使原分式所有分母不为0，本题运用整体代入的方法可省略求a值的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
