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2. 计算$\frac{a^2x}{b^2y} ÷ \frac{bx}{ay} · \frac{by}{ax}$的结果为
$\frac{a^2y}{b^2x}$
。答案
$\frac{a^2y}{b^2x}$
解析
【分析】
分式乘除属于同级运算，解题时先按照“除以一个不为0的分式等于乘以这个分式的倒数”的规则，将除法运算全部转化为乘法运算，再把所有分子的乘积作为结果的分子，所有分母的乘积作为结果的分母，最后通过约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式即可。
【解析】
解：先将分式除法统一为乘法运算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2x}{b^2y} × \frac{ay}{bx} × \frac{by}{ax}\\&=\frac{a^2x · ay · by}{b^2y · bx · ax}\\&=\frac{a^3 b x y^2}{a b^3 x^2 y}\\&=\frac{a^2 y}{b^2 x}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{a^2y}{b^2x}$
【知识点】
分式乘除混合运算；分式约分；分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，解题核心是先将除法转化为乘法，再依据分式乘法法则计算，约分时要注意对应字母的指数运算，避免漏约或者多约公因式。
【难度系数】
0.8
分式乘除属于同级运算，解题时先按照“除以一个不为0的分式等于乘以这个分式的倒数”的规则，将除法运算全部转化为乘法运算，再把所有分子的乘积作为结果的分子，所有分母的乘积作为结果的分母，最后通过约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式即可。
【解析】
解：先将分式除法统一为乘法运算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2x}{b^2y} × \frac{ay}{bx} × \frac{by}{ax}\\&=\frac{a^2x · ay · by}{b^2y · bx · ax}\\&=\frac{a^3 b x y^2}{a b^3 x^2 y}\\&=\frac{a^2 y}{b^2 x}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{a^2y}{b^2x}$
【知识点】
分式乘除混合运算；分式约分；分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，解题核心是先将除法转化为乘法，再依据分式乘法法则计算，约分时要注意对应字母的指数运算，避免漏约或者多约公因式。
【难度系数】
0.8
重难点二 分式的乘方
【典型例题2】计算：
(1)$(\dfrac{-nc^3}{3m})^2$；
(2)$(\dfrac{c}{ab})^2 · (-\dfrac{b}{ac})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})^4$。
【解】(1)$(\dfrac{-nc^3}{3m})^2 = \dfrac{(-nc^3)^2}{(3m)^2} = \dfrac{n^2c^6}{9m^2}$。
(2)$(\dfrac{c}{ab})^2 · (-\dfrac{b}{ac})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})^4$
$= -\dfrac{c^2}{a^2b^2} · \dfrac{b^3}{a^3c^3} · \dfrac{a^4}{b^4}$
$= -\dfrac{1}{ab^3c}$。
规律方法 1. 进行分式的乘方运算时，一般先确定乘方结果的符号，正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数。
2. 分式的分子或分母是多项式时，应把多项式看作一个整体乘方。
【典型例题2】计算：
(1)$(\dfrac{-nc^3}{3m})^2$；
(2)$(\dfrac{c}{ab})^2 · (-\dfrac{b}{ac})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})^4$。
【解】(1)$(\dfrac{-nc^3}{3m})^2 = \dfrac{(-nc^3)^2}{(3m)^2} = \dfrac{n^2c^6}{9m^2}$。
(2)$(\dfrac{c}{ab})^2 · (-\dfrac{b}{ac})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})^4$
$= -\dfrac{c^2}{a^2b^2} · \dfrac{b^3}{a^3c^3} · \dfrac{a^4}{b^4}$
$= -\dfrac{1}{ab^3c}$。
规律方法 1. 进行分式的乘方运算时，一般先确定乘方结果的符号，正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数。
2. 分式的分子或分母是多项式时，应把多项式看作一个整体乘方。
答案
解：
(1) 原式$=\dfrac{(-nc^3)^2}{(3m)^2}$
$=\dfrac{n^2c^6}{9m^2}$
(2) 原式$=\dfrac{c^2}{a^2b^2} · (-\dfrac{b^3}{a^3c^3}) ÷ \dfrac{b^4}{a^4}$
$=-\dfrac{c^2}{a^2b^2} · \dfrac{b^3}{a^3c^3} · \dfrac{a^4}{b^4}$
$=-\dfrac{1}{ab^3c}$
(1) 原式$=\dfrac{(-nc^3)^2}{(3m)^2}$
$=\dfrac{n^2c^6}{9m^2}$
(2) 原式$=\dfrac{c^2}{a^2b^2} · (-\dfrac{b^3}{a^3c^3}) ÷ \dfrac{b^4}{a^4}$
$=-\dfrac{c^2}{a^2b^2} · \dfrac{b^3}{a^3c^3} · \dfrac{a^4}{b^4}$
$=-\dfrac{1}{ab^3c}$
解析
【分析】
(1) 本题是分式的乘方运算，解题时先依据分式乘方法则：分式乘方需要把分子、分母分别乘方。本题乘方次数为2（偶数），因此分子的负号经偶次乘方后变为正，再结合幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）分别计算分子、分母各因式的乘方结果即可。
(2) 本题是分式乘方与乘除的混合运算，运算顺序为先算乘方，再算乘除。首先计算每个分式的乘方，计算时先根据指数奇偶性确定符号：偶次幂结果为正，奇次幂结果为负；再将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），最后通过约分、同底数幂的乘除运算法则化简得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{(-nc^3)^2}{(3m)^2}$
$=\dfrac{n^2c^6}{9m^2}$
(2) 原式$=\dfrac{c^2}{a^2b^2} · (-\dfrac{b^3}{a^3c^3}) ÷ \dfrac{b^4}{a^4}$
$=-\dfrac{c^2}{a^2b^2} · \dfrac{b^3}{a^3c^3} · \dfrac{a^4}{b^4}$
$=-\dfrac{1}{ab^3c}$
【答案】
(1) $\dfrac{n^2c^6}{9m^2}$；(2) $-\dfrac{1}{ab^3c}$
【知识点】
1. 分式乘方法则
2. 分式乘除混合运算
3. 幂的运算性质
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，解题的关键是严格遵循运算顺序，优先计算乘方再处理乘除，运算过程中要注意符号的正确判定，约分和幂的运算时需仔细核对指数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是分式的乘方运算，解题时先依据分式乘方法则：分式乘方需要把分子、分母分别乘方。本题乘方次数为2（偶数），因此分子的负号经偶次乘方后变为正，再结合幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）分别计算分子、分母各因式的乘方结果即可。
(2) 本题是分式乘方与乘除的混合运算，运算顺序为先算乘方，再算乘除。首先计算每个分式的乘方，计算时先根据指数奇偶性确定符号：偶次幂结果为正，奇次幂结果为负；再将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），最后通过约分、同底数幂的乘除运算法则化简得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{(-nc^3)^2}{(3m)^2}$
$=\dfrac{n^2c^6}{9m^2}$
(2) 原式$=\dfrac{c^2}{a^2b^2} · (-\dfrac{b^3}{a^3c^3}) ÷ \dfrac{b^4}{a^4}$
$=-\dfrac{c^2}{a^2b^2} · \dfrac{b^3}{a^3c^3} · \dfrac{a^4}{b^4}$
$=-\dfrac{1}{ab^3c}$
【答案】
(1) $\dfrac{n^2c^6}{9m^2}$；(2) $-\dfrac{1}{ab^3c}$
【知识点】
1. 分式乘方法则
2. 分式乘除混合运算
3. 幂的运算性质
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，解题的关键是严格遵循运算顺序，优先计算乘方再处理乘除，运算过程中要注意符号的正确判定，约分和幂的运算时需仔细核对指数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 计算：
(1)$(-\dfrac{n}{m})^3 · (-\dfrac{m}{n})^2$；
(2)$(\dfrac{2x}{3y})^2 · (-\dfrac{3y}{4x})^3 ÷ (\dfrac{1}{4}xy)$。
(1)$(-\dfrac{n}{m})^3 · (-\dfrac{m}{n})^2$；
(2)$(\dfrac{2x}{3y})^2 · (-\dfrac{3y}{4x})^3 ÷ (\dfrac{1}{4}xy)$。
答案
(1)$(-\frac{n}{m})^3 · (-\frac{m}{n})^2 = -\frac{n^3}{m^3} · \frac{m^2}{n^2} = -\frac{n}{m}.$
(2)$(\frac{2x}{3y})^2 · (-\frac{3y}{4x})^3 ÷ (\frac{1}{4}xy) = \frac{4x^2}{9y^2} · (-\frac{27y^3}{64x^3}) · \frac{4}{xy} = -\frac{3}{4x^2}.$
(2)$(\frac{2x}{3y})^2 · (-\frac{3y}{4x})^3 ÷ (\frac{1}{4}xy) = \frac{4x^2}{9y^2} · (-\frac{27y^3}{64x^3}) · \frac{4}{xy} = -\frac{3}{4x^2}.$
解析
【分析】
解决这两道分式运算题，要遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序：
1. 处理乘方时，牢记分式乘方法则：分子、分母分别乘方，同时先判断符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，避免符号出错。
2. 乘除运算属于同级运算，从左到右计算，遇到除法要转化为乘以除数的倒数，再通过约分简化计算，约分可分别对系数、同底数幂分别计算，最后合并结果。
【解析】
(1) 先计算分式的乘方，再做乘法约分：
先算乘方：$(-\dfrac{n}{m})^3$中指数3是奇次幂，保留负号，分子分母分别乘方得$-\dfrac{n^3}{m^3}$；$(-\dfrac{m}{n})^2$中指数2是偶次幂，负号消去，分子分母分别乘方得$\dfrac{m^2}{n^2}$；
再做乘法约分：$-\dfrac{n^3}{m^3} · \dfrac{m^2}{n^2}$，约去公因式$m^2n^2$，得到结果$-\dfrac{n}{m}$。
(2) 先算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分计算：
先算乘方：$(\dfrac{2x}{3y})^2 = \dfrac{4x^2}{9y^2}$，$(-\dfrac{3y}{4x})^3$中指数3是奇次幂，保留负号，分子分母分别乘方得$-\dfrac{27y^3}{64x^3}$；
再将除法转化为乘法：除以$\dfrac{1}{4}xy$等价于乘以$\dfrac{4}{xy}$；
最后约分计算：先算系数部分$\dfrac{4×(-27)×4}{9×64} = -\dfrac{3}{4}$，再算字母部分$\dfrac{x^2·y^3}{y^2·x^3·x·y} = \dfrac{1}{x^2}$，合并得到结果$-\dfrac{3}{4x^2}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{n}{m}$；(2)$-\dfrac{3}{4x^2}$
【知识点】
分式的乘方运算；分式乘除混合运算；幂的运算性质
【点评】
本题重点考查分式运算的运算顺序和运算法则，解题时要注意先判断乘方的符号，再按法则计算，约分过程中要找准分子分母的公因式，避免系数或字母幂次计算错误。
【难度系数】
0.7
解决这两道分式运算题，要遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序：
1. 处理乘方时，牢记分式乘方法则：分子、分母分别乘方，同时先判断符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，避免符号出错。
2. 乘除运算属于同级运算，从左到右计算，遇到除法要转化为乘以除数的倒数，再通过约分简化计算，约分可分别对系数、同底数幂分别计算，最后合并结果。
【解析】
(1) 先计算分式的乘方，再做乘法约分：
先算乘方：$(-\dfrac{n}{m})^3$中指数3是奇次幂，保留负号，分子分母分别乘方得$-\dfrac{n^3}{m^3}$；$(-\dfrac{m}{n})^2$中指数2是偶次幂，负号消去，分子分母分别乘方得$\dfrac{m^2}{n^2}$；
再做乘法约分：$-\dfrac{n^3}{m^3} · \dfrac{m^2}{n^2}$，约去公因式$m^2n^2$，得到结果$-\dfrac{n}{m}$。
(2) 先算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分计算：
先算乘方：$(\dfrac{2x}{3y})^2 = \dfrac{4x^2}{9y^2}$，$(-\dfrac{3y}{4x})^3$中指数3是奇次幂，保留负号，分子分母分别乘方得$-\dfrac{27y^3}{64x^3}$；
再将除法转化为乘法：除以$\dfrac{1}{4}xy$等价于乘以$\dfrac{4}{xy}$；
最后约分计算：先算系数部分$\dfrac{4×(-27)×4}{9×64} = -\dfrac{3}{4}$，再算字母部分$\dfrac{x^2·y^3}{y^2·x^3·x·y} = \dfrac{1}{x^2}$，合并得到结果$-\dfrac{3}{4x^2}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{n}{m}$；(2)$-\dfrac{3}{4x^2}$
【知识点】
分式的乘方运算；分式乘除混合运算；幂的运算性质
【点评】
本题重点考查分式运算的运算顺序和运算法则，解题时要注意先判断乘方的符号，再按法则计算，约分过程中要找准分子分母的公因式，避免系数或字母幂次计算错误。
【难度系数】
0.7
1. 计算$-\dfrac{n}{m^2}÷\dfrac{n^2}{m^3}·\dfrac{n}{m^2}$的结果是（
A.$\dfrac{m^2}{n^2}$
B.$-\dfrac{1}{m}$
C.$-\dfrac{n}{m^4}$
D.$-n$
B
）A.$\dfrac{m^2}{n^2}$
B.$-\dfrac{1}{m}$
C.$-\dfrac{n}{m^4}$
D.$-n$
答案
1.B
解析
【分析】
这是分式乘除混合运算类题目，解题思路如下：首先明确分式乘除属于同级运算，需遵循从左到右的运算顺序；其次根据分式除法法则，先把所有除法运算转化为乘法运算，同时先判断最终结果的符号；最后对分子、分母的公因式进行约分，化简得到最简结果，计算时注意不要遗漏原式的负号。
【解析】
解：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，将原式转化为乘法运算：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{n}{m^2} × \dfrac{m^3}{n^2} × \dfrac{n}{m^2}\\&=-\dfrac{n · m^3 · n}{m^2 · n^2 · m^2}\\&=-\dfrac{m^3n^2}{m^4n^2}\\&=-\dfrac{1}{m}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘除混合运算，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式乘除的运算法则和运算顺序，解题的关键是先将除法转化为乘法再计算，同时要注意运算符号的判断，避免因粗心搞错符号或运算顺序失分。
【难度系数】
0.8
这是分式乘除混合运算类题目，解题思路如下：首先明确分式乘除属于同级运算，需遵循从左到右的运算顺序；其次根据分式除法法则，先把所有除法运算转化为乘法运算，同时先判断最终结果的符号；最后对分子、分母的公因式进行约分，化简得到最简结果，计算时注意不要遗漏原式的负号。
【解析】
解：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，将原式转化为乘法运算：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{n}{m^2} × \dfrac{m^3}{n^2} × \dfrac{n}{m^2}\\&=-\dfrac{n · m^3 · n}{m^2 · n^2 · m^2}\\&=-\dfrac{m^3n^2}{m^4n^2}\\&=-\dfrac{1}{m}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘除混合运算，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式乘除的运算法则和运算顺序，解题的关键是先将除法转化为乘法再计算，同时要注意运算符号的判断，避免因粗心搞错符号或运算顺序失分。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$(a-2)· \frac{a^2 -4}{a^2 -4a +4} ÷ (a^2 +2a) = \_\_\_\_\_\_.$
答案
$\frac{1}{a}$
解析
【分析】
这是分式乘除混合运算题，解题思路如下：第一步先把除法运算转化为乘法运算，统一运算形式；第二步对式子中的各个多项式分别用提公因式法、公式法因式分解；第三步约去分子分母的公因式，得到最简结果即可。解题的关键是因式分解要准确，这是后续正确约分的前提。
【解析】
解：按照分式乘除混合运算规则逐步计算：
1. 将除法转化为乘法：
原式=$(a-2)·\frac{a^2-4}{a^2-4a+4}·\frac{1}{a^2+2a}$
2. 对各多项式因式分解：
由平方差公式得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，
由完全平方公式得$a^2-4a+4=(a-2)^2$，
提公因式得$a^2+2a=a(a+2)$，
代入原式得：
=$(a-2)·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2}·\frac{1}{a(a+2)}$
3. 约去分子分母的公因式$(a-2)^2$、$(a+2)$，得：
=$\frac{1}{a}$
【答案】
$\frac{1}{a}$
【知识点】
分式乘除混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式乘除的运算规则，只要掌握好因式分解的方法和约分的规则，就能顺利算出结果，计算时要注意因式分解不要出错，避免后续约分失误。
【难度系数】
0.7
这是分式乘除混合运算题，解题思路如下：第一步先把除法运算转化为乘法运算，统一运算形式；第二步对式子中的各个多项式分别用提公因式法、公式法因式分解；第三步约去分子分母的公因式，得到最简结果即可。解题的关键是因式分解要准确，这是后续正确约分的前提。
【解析】
解：按照分式乘除混合运算规则逐步计算：
1. 将除法转化为乘法：
原式=$(a-2)·\frac{a^2-4}{a^2-4a+4}·\frac{1}{a^2+2a}$
2. 对各多项式因式分解：
由平方差公式得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，
由完全平方公式得$a^2-4a+4=(a-2)^2$，
提公因式得$a^2+2a=a(a+2)$，
代入原式得：
=$(a-2)·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2}·\frac{1}{a(a+2)}$
3. 约去分子分母的公因式$(a-2)^2$、$(a+2)$，得：
=$\frac{1}{a}$
【答案】
$\frac{1}{a}$
【知识点】
分式乘除混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式乘除的运算规则，只要掌握好因式分解的方法和约分的规则，就能顺利算出结果，计算时要注意因式分解不要出错，避免后续约分失误。
【难度系数】
0.7
3. 化简：$\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · ( \dfrac{-a}{b-a} )^3 ÷ \dfrac{1}{a^2 - b^2} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
$\frac{a^2+ab}{b^2}$
解析
【分析】
这是分式乘除、乘方混合运算题，解题需遵循运算顺序：先算乘方，再将除法转化为乘法，对可因式分解的多项式因式分解，处理互为相反数的因式的符号后约分即可。具体思考步骤：①先计算$(\dfrac{-a}{b-a})^3$，注意分子分母分别乘方和符号处理；②将除以$\dfrac{1}{a^2-b^2}$转化为乘以$a^2-b^2$，同时把$a^2-b^2$分解为$(a-b)(a+b)$；③利用$(b-a)^3=-(a-b)^3$统一因式形式，再约分得到最简结果。
【解析】
1. 先计算乘方，同时将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{(-a)^3}{(b-a)^3} · (a^2-b^2)$
2. 处理符号并因式分解：
$(-a)^3=-a^3$，$(b-a)^3=-(a-b)^3$，$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，代入得：
$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{-(a-b)^3} · (a-b)(a+b)$
3. 抵消负号后约分：
负负得正，整理得：
$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{a^3}{(a-b)^3} · (a-b)(a+b)$
分子的$(a-b)^2·(a-b)=(a-b)^3$，与分母的$(a-b)^3$约掉；分子的$a^3$与分母的$a^2$约掉后剩余$a$，因此：
$=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
【答案】
$\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的乘方、因式分解
【点评】
本题重点考查分式乘除乘方的混合运算，运算时要严格遵循先乘方后乘除的顺序，尤其要注意互为相反数的因式的符号转换，避免因符号错误或约分失误失分。
【难度系数】
0.7
这是分式乘除、乘方混合运算题，解题需遵循运算顺序：先算乘方，再将除法转化为乘法，对可因式分解的多项式因式分解，处理互为相反数的因式的符号后约分即可。具体思考步骤：①先计算$(\dfrac{-a}{b-a})^3$，注意分子分母分别乘方和符号处理；②将除以$\dfrac{1}{a^2-b^2}$转化为乘以$a^2-b^2$，同时把$a^2-b^2$分解为$(a-b)(a+b)$；③利用$(b-a)^3=-(a-b)^3$统一因式形式，再约分得到最简结果。
【解析】
1. 先计算乘方，同时将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{(-a)^3}{(b-a)^3} · (a^2-b^2)$
2. 处理符号并因式分解：
$(-a)^3=-a^3$，$(b-a)^3=-(a-b)^3$，$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，代入得：
$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{-(a-b)^3} · (a-b)(a+b)$
3. 抵消负号后约分：
负负得正，整理得：
$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{a^3}{(a-b)^3} · (a-b)(a+b)$
分子的$(a-b)^2·(a-b)=(a-b)^3$，与分母的$(a-b)^3$约掉；分子的$a^3$与分母的$a^2$约掉后剩余$a$，因此：
$=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
【答案】
$\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的乘方、因式分解
【点评】
本题重点考查分式乘除乘方的混合运算，运算时要严格遵循先乘方后乘除的顺序，尤其要注意互为相反数的因式的符号转换，避免因符号错误或约分失误失分。
【难度系数】
0.7
4. 下面是小明计算$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{x-1} · \frac{1-x}{1+x}$的过程.
$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{x-1} · \frac{1-x}{1+x} = \frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ (-1) ①$
$=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} ÷ (-1) ②$
$=\frac{x+1}{1-x}. ③$
(1)小明的解答是________(填“正确”或“错误”)的,如有错误,错在第________步;
(2)给出正确的解答.
$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{x-1} · \frac{1-x}{1+x} = \frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ (-1) ①$
$=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} ÷ (-1) ②$
$=\frac{x+1}{1-x}. ③$
(1)小明的解答是________(填“正确”或“错误”)的,如有错误,错在第________步;
(2)给出正确的解答.
答案
(1)错误 ①
(2)正确的解答如下：
原式$=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x}$
$=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x} =\frac{1-x}{x+1}.$
(2)正确的解答如下：
原式$=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x}$
$=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x} =\frac{1-x}{x+1}.$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确分式乘除混合运算的规则：乘除属于同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算，且计算时要先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再对分子分母因式分解后约分。小明的错误是违反了运算顺序，未先将除法转化为乘法，就先计算了后两个分式的乘积，所以错在第①步。正确解题时先把除法转化为乘法，再因式分解、约分即可得到结果。
【解析】
(1) 分式乘除是同级运算，应遵循从左到右的顺序计算，且需先将除法转化为乘法再运算。小明未将除法转化为乘法，直接先计算后两个分式的运算，违反了运算顺序，因此解答错误，错在第①步。
(2) 正确计算过程：
第一步，将除法转化为乘法：除以$\frac{x+1}{x-1}$等于乘它的倒数$\frac{x-1}{x+1}$，因此原式变形为：
$\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x}$
第二步，对分式的分子分母因式分解：
分子$x^2-1$利用平方差公式分解为$(x-1)(x+1)$，分母$x^2-2x+1$利用完全平方公式分解为$(x-1)^2$，代入得：
$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x}$
第三步，约分计算：约去分子分母的公因式$(x+1)$和$(x-1)^2$，最终得到结果$\frac{1-x}{x+1}$。
【答案】
(1)错误 ①
(2)原式$=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x}$
$=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x} =\frac{1-x}{x+1}$
【知识点】
分式乘除混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题易因混淆运算顺序出错，需牢记分式乘除混合运算要先将除法统一为乘法，再按从左到右的顺序计算，因式分解后约分即可得到最简结果。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确分式乘除混合运算的规则：乘除属于同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算，且计算时要先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再对分子分母因式分解后约分。小明的错误是违反了运算顺序，未先将除法转化为乘法，就先计算了后两个分式的乘积，所以错在第①步。正确解题时先把除法转化为乘法，再因式分解、约分即可得到结果。
【解析】
(1) 分式乘除是同级运算，应遵循从左到右的顺序计算，且需先将除法转化为乘法再运算。小明未将除法转化为乘法，直接先计算后两个分式的运算，违反了运算顺序，因此解答错误，错在第①步。
(2) 正确计算过程：
第一步，将除法转化为乘法：除以$\frac{x+1}{x-1}$等于乘它的倒数$\frac{x-1}{x+1}$，因此原式变形为：
$\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x}$
第二步，对分式的分子分母因式分解：
分子$x^2-1$利用平方差公式分解为$(x-1)(x+1)$，分母$x^2-2x+1$利用完全平方公式分解为$(x-1)^2$，代入得：
$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x}$
第三步，约分计算：约去分子分母的公因式$(x+1)$和$(x-1)^2$，最终得到结果$\frac{1-x}{x+1}$。
【答案】
(1)错误 ①
(2)原式$=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x}$
$=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1} · \frac{1-x}{1+x} =\frac{1-x}{x+1}$
【知识点】
分式乘除混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题易因混淆运算顺序出错，需牢记分式乘除混合运算要先将除法统一为乘法，再按从左到右的顺序计算，因式分解后约分即可得到最简结果。
【难度系数】
0.7
