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基础知识·预习
问题1 分式的乘除混合运算可以统一成什么运算？
问题2 举例说明分式的乘方的法则。
问题3 说一说分式的混合运算顺序。
问题1 分式的乘除混合运算可以统一成什么运算？
问题2 举例说明分式的乘方的法则。
问题3 说一说分式的混合运算顺序。
答案
解：
问题1：分式的乘除混合运算可以统一成乘法运算，将所有除法转化为乘以除式的倒数后，再按照分式乘法的法则进行计算。
问题2：分式的乘方法则：将分式的分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除，即$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$（n为正整数，$b≠0$）。
举例：计算$(\frac{3x}{y^2})^2$，根据法则可得$(\frac{3x}{y^2})^2=\frac{(3x)^2}{(y^2)^2}=\frac{9x^2}{y^4}$。
问题3：分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先计算括号内的部分；同级运算按照从左到右的顺序依次进行。
问题1：分式的乘除混合运算可以统一成乘法运算，将所有除法转化为乘以除式的倒数后，再按照分式乘法的法则进行计算。
问题2：分式的乘方法则：将分式的分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除，即$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$（n为正整数，$b≠0$）。
举例：计算$(\frac{3x}{y^2})^2$，根据法则可得$(\frac{3x}{y^2})^2=\frac{(3x)^2}{(y^2)^2}=\frac{9x^2}{y^4}$。
问题3：分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先计算括号内的部分；同级运算按照从左到右的顺序依次进行。
解析
【分析】
本题考查分式运算的基础规则类知识，思考路径如下：1. 针对问题1，根据除法运算的规则，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，因此分式乘除混合运算中的所有除法都可以转化为乘法，即可统一运算类型；2. 针对问题2，结合乘方的定义（n个相同因式相乘），可推导得出分式乘方时分子、分母分别乘方的法则，再选取简单的分式乘方案例按法则计算即可；3. 针对问题3，类比有理数的混合运算顺序，迁移到分式运算场景，即可梳理出对应的运算顺序。
【解析】
我们分别对三个问题进行解答：
问题1：根据除法与乘法的互逆关系，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，因此分式的乘除混合运算可以统一成乘法运算，将所有除法转化为乘以除式的倒数后，再按照分式乘法的法则进行计算。
问题2：分式的乘方法则为：将分式的分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除，用式子表示为$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$（n为正整数，$b≠0$）。
举例：计算$(\frac{3x}{y^2})^2$，根据法则可得$(\frac{3x}{y^2})^2=\frac{(3x)^2}{(y^2)^2}=\frac{9x^2}{y^4}$。
问题3：分式的混合运算顺序和有理数混合运算顺序一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先计算括号内的部分；同级运算按照从左到右的顺序依次进行。
【答案】
问题1：分式的乘除混合运算可以统一成乘法运算，将所有除法转化为乘以除式的倒数后，再按照分式乘法的法则进行计算。
问题2：分式的乘方法则：将分式的分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除，即$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$（n为正整数，$b≠0$）。
举例：计算$(\frac{3x}{y^2})^2$，根据法则可得$(\frac{3x}{y^2})^2=\frac{(3x)^2}{(y^2)^2}=\frac{9x^2}{y^4}$。
问题3：分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先计算括号内的部分；同级运算按照从左到右的顺序依次进行。
【知识点】
1. 分式乘除混合运算规则
2. 分式乘方法则
3. 分式混合运算顺序
【点评】
本题属于分式运算的基础概念考查题，所涉及的规则是开展复杂分式运算的核心依据，需要准确识记并能结合运算场景灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题考查分式运算的基础规则类知识，思考路径如下：1. 针对问题1，根据除法运算的规则，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，因此分式乘除混合运算中的所有除法都可以转化为乘法，即可统一运算类型；2. 针对问题2，结合乘方的定义（n个相同因式相乘），可推导得出分式乘方时分子、分母分别乘方的法则，再选取简单的分式乘方案例按法则计算即可；3. 针对问题3，类比有理数的混合运算顺序，迁移到分式运算场景，即可梳理出对应的运算顺序。
【解析】
我们分别对三个问题进行解答：
问题1：根据除法与乘法的互逆关系，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，因此分式的乘除混合运算可以统一成乘法运算，将所有除法转化为乘以除式的倒数后，再按照分式乘法的法则进行计算。
问题2：分式的乘方法则为：将分式的分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除，用式子表示为$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$（n为正整数，$b≠0$）。
举例：计算$(\frac{3x}{y^2})^2$，根据法则可得$(\frac{3x}{y^2})^2=\frac{(3x)^2}{(y^2)^2}=\frac{9x^2}{y^4}$。
问题3：分式的混合运算顺序和有理数混合运算顺序一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先计算括号内的部分；同级运算按照从左到右的顺序依次进行。
【答案】
问题1：分式的乘除混合运算可以统一成乘法运算，将所有除法转化为乘以除式的倒数后，再按照分式乘法的法则进行计算。
问题2：分式的乘方法则：将分式的分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除，即$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$（n为正整数，$b≠0$）。
举例：计算$(\frac{3x}{y^2})^2$，根据法则可得$(\frac{3x}{y^2})^2=\frac{(3x)^2}{(y^2)^2}=\frac{9x^2}{y^4}$。
问题3：分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先计算括号内的部分；同级运算按照从左到右的顺序依次进行。
【知识点】
1. 分式乘除混合运算规则
2. 分式乘方法则
3. 分式混合运算顺序
【点评】
本题属于分式运算的基础概念考查题，所涉及的规则是开展复杂分式运算的核心依据，需要准确识记并能结合运算场景灵活运用。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】计算：
(1)$8x^2y^4 · (-\dfrac{3x}{4y^3}) ÷ (-\dfrac{x^2y}{2})$；
(2)$-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2-y^2}{x^2+4xy+4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$。
思路导引 分式的乘除混合运算，可以按照从左到右的顺序进行，也可以统一成乘法运算。
【解】(1)$8x^2y^4 · (-\dfrac{3x}{4y^3}) ÷ (-\dfrac{x^2y}{2})$
$=8x^2y^4 · (-\dfrac{3x}{4y^3}) · (-\dfrac{2}{x^2y})$
$=12x$。
$=-\dfrac{x-y}{x+y}$。
规律方法 在进行分式的乘除混合运算时，应将分式的乘除混合运算统一化成乘法运算，这样可以运用乘法交换律和乘法结合律，从而使运算简便。若有多项式参与运算，应先将多项式分解因式，再约分，从而简化运算。
(1)$8x^2y^4 · (-\dfrac{3x}{4y^3}) ÷ (-\dfrac{x^2y}{2})$；
(2)$-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2-y^2}{x^2+4xy+4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$。
思路导引 分式的乘除混合运算，可以按照从左到右的顺序进行，也可以统一成乘法运算。
【解】(1)$8x^2y^4 · (-\dfrac{3x}{4y^3}) ÷ (-\dfrac{x^2y}{2})$
$=8x^2y^4 · (-\dfrac{3x}{4y^3}) · (-\dfrac{2}{x^2y})$
$=12x$。
$=-\dfrac{x-y}{x+y}$。
规律方法 在进行分式的乘除混合运算时，应将分式的乘除混合运算统一化成乘法运算，这样可以运用乘法交换律和乘法结合律，从而使运算简便。若有多项式参与运算，应先将多项式分解因式，再约分，从而简化运算。
答案
解：
(1) 原式$=8x^2y^4 · (-\dfrac{3x}{4y^3}) · (-\dfrac{2}{x^2y})$
$=\dfrac{8x^2y^4 · 3x · 2}{4y^3 · x^2y}$
$=12x$
(2) 原式$=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
$=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
$=-\dfrac{(x-y)· (x+2y)^2 · (x-y)}{(x+2y)· (x+y)(x-y)· (x+2y)}$
$=-\dfrac{x-y}{x+y}$
(1) 原式$=8x^2y^4 · (-\dfrac{3x}{4y^3}) · (-\dfrac{2}{x^2y})$
$=\dfrac{8x^2y^4 · 3x · 2}{4y^3 · x^2y}$
$=12x$
(2) 原式$=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
$=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
$=-\dfrac{(x-y)· (x+2y)^2 · (x-y)}{(x+2y)· (x+y)(x-y)· (x+2y)}$
$=-\dfrac{x-y}{x+y}$
解析
【分析】
分式乘除属于同级运算，计算时遵循以下思路：1. 先将所有除法运算转化为乘法运算，同时确定结果的符号；2. 若运算中只有单项式，直接对系数、相同字母分别约分计算即可；3. 若运算中含多项式，先利用乘法公式对多项式因式分解，再统一为乘法运算后约去公因式，最终化简得到结果。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，负负得正后约分计算：
原式$=8x^2y^4 · (-\dfrac{3x}{4y^3}) · (-\dfrac{2}{x^2y})$
$=\dfrac{8x^2y^4 · 3x · 2}{4y^3 · x^2y}$
$=12x$
(2) 先把除法转为乘法，再对多项式因式分解：$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，再约去公因式化简：
原式$=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
$=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
$=-\dfrac{(x-y)· (x+2y)^2 · (x-y)}{(x+2y)· (x+y)(x-y)· (x+2y)}$
$=-\dfrac{x-y}{x+y}$
【答案】
(1) $\boxed{12x}$
(2) $\boxed{-\dfrac{x-y}{x+y}}$
【知识点】
分式乘除混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查分式乘除混合运算的处理规则，解题的关键是先将除法统一为乘法，遇到多项式先因式分解再约分，能有效简化计算、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
分式乘除属于同级运算，计算时遵循以下思路：1. 先将所有除法运算转化为乘法运算，同时确定结果的符号；2. 若运算中只有单项式，直接对系数、相同字母分别约分计算即可；3. 若运算中含多项式，先利用乘法公式对多项式因式分解，再统一为乘法运算后约去公因式，最终化简得到结果。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，负负得正后约分计算：
原式$=8x^2y^4 · (-\dfrac{3x}{4y^3}) · (-\dfrac{2}{x^2y})$
$=\dfrac{8x^2y^4 · 3x · 2}{4y^3 · x^2y}$
$=12x$
(2) 先把除法转为乘法，再对多项式因式分解：$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，再约去公因式化简：
原式$=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
$=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}$
$=-\dfrac{(x-y)· (x+2y)^2 · (x-y)}{(x+2y)· (x+y)(x-y)· (x+2y)}$
$=-\dfrac{x-y}{x+y}$
【答案】
(1) $\boxed{12x}$
(2) $\boxed{-\dfrac{x-y}{x+y}}$
【知识点】
分式乘除混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查分式乘除混合运算的处理规则，解题的关键是先将除法统一为乘法，遇到多项式先因式分解再约分，能有效简化计算、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
1. 计算：$\frac{m}{3m + 9} · \frac{6}{9 - m^2} ÷ \frac{2m}{m - 3} = ( )$
A.$\frac{1}{(m + 3)^2}$
B.$-\frac{1}{(m + 3)^2}$
C.$\frac{1}{(m - 3)^2}$
D.$-\frac{1}{m^2 + 9}$
A.$\frac{1}{(m + 3)^2}$
B.$-\frac{1}{(m + 3)^2}$
C.$\frac{1}{(m - 3)^2}$
D.$-\frac{1}{m^2 + 9}$
答案
1.B
解析
【分析】
解决分式乘除混合运算问题，思路分为三步：1. 先将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数），统一为乘法运算；2. 对所有分子、分母中的多项式进行因式分解，方便后续约分；3. 先确定运算结果的符号，再约去分子分母的公因式，最终化简得到最简结果，过程中要特别注意互为相反数的因式约分后会产生负号。
【解析】
第一步：将除法转化为乘法，原式变形为：
$\frac{m}{3m + 9} · \frac{6}{9 - m^2} · \frac{m - 3}{2m}$
第二步：对分子分母的多项式因式分解：
$3m+9=3(m+3)$，$9-m^2=(3-m)(3+m)=-(m-3)(m+3)$，代入得：
$=\frac{m}{3(m+3)} · \frac{6}{-(m-3)(m+3)} · \frac{m-3}{2m}$
第三步：约分计算：
系数部分：$\frac{6}{3×2}=1$；
因式部分：分子的$m$与分母的$m$约掉，分子的$(m-3)$与分母的$(m-3)$约掉，剩余部分为：
$=-\frac{1}{(m+3)(m+3)}=-\frac{1}{(m+3)^2}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘除混合运算，因式分解，平方差公式
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，易错点是对$9-m^2$因式分解时的符号处理，以及除法变倒数时容易错写分子分母位置，解题时要注意先处理符号再约分，保证约分彻底。
【难度系数】
0.7
解决分式乘除混合运算问题，思路分为三步：1. 先将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数），统一为乘法运算；2. 对所有分子、分母中的多项式进行因式分解，方便后续约分；3. 先确定运算结果的符号，再约去分子分母的公因式，最终化简得到最简结果，过程中要特别注意互为相反数的因式约分后会产生负号。
【解析】
第一步：将除法转化为乘法，原式变形为：
$\frac{m}{3m + 9} · \frac{6}{9 - m^2} · \frac{m - 3}{2m}$
第二步：对分子分母的多项式因式分解：
$3m+9=3(m+3)$，$9-m^2=(3-m)(3+m)=-(m-3)(m+3)$，代入得：
$=\frac{m}{3(m+3)} · \frac{6}{-(m-3)(m+3)} · \frac{m-3}{2m}$
第三步：约分计算：
系数部分：$\frac{6}{3×2}=1$；
因式部分：分子的$m$与分母的$m$约掉，分子的$(m-3)$与分母的$(m-3)$约掉，剩余部分为：
$=-\frac{1}{(m+3)(m+3)}=-\frac{1}{(m+3)^2}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘除混合运算，因式分解，平方差公式
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，易错点是对$9-m^2$因式分解时的符号处理，以及除法变倒数时容易错写分子分母位置，解题时要注意先处理符号再约分，保证约分彻底。
【难度系数】
0.7
