登录
基础知识·预习
问题1 类比分数的加法与减法，如何进行分式的加减运算？
问题2 如何用式子表示分式的加减法法则？
问题1 类比分数的加法与减法，如何进行分式的加减运算？
问题2 如何用式子表示分式的加减法法则？
答案
解：
问题1：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再加减。
问题2：
同分母分式加减法法则：$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$
异分母分式加减法法则：$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd} = \frac{ad \pm bc}{bd}$
问题1：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再加减。
问题2：
同分母分式加减法法则：$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$
异分母分式加减法法则：$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd} = \frac{ad \pm bc}{bd}$
解析
【分析】
解决本题可运用类比思想，先回忆分数的加减法运算规则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分转化为同分母分数，再按同分母规则计算。由于分式和分数的结构一致，可直接将分数的运算规则类比迁移到分式运算中，先得到分式加减的文字表述法则，再将文字法则转化为含字母的代数表达式即可。
【解析】
问题1解答
类比分数的加减法运算规则，分式加减运算分为两类：
1. 同分母分式相加减：分母保持不变，将分子相加减；
2. 异分母分式相加减：先通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按照同分母分式的加减规则运算。
问题2解答
用字母表示分式加减法法则如下（分母均不为0）：
1. 同分母分式加减法法则：$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$
2. 异分母分式加减法法则：$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd} = \frac{ad \pm bc}{bd}$
【答案】
问题1：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再加减。
问题2：同分母分式加减法法则：$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$；异分母分式加减法法则：$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$
【知识点】
分式加减法法则、通分、类比思想
【点评】
本题是基础概念题，核心考察对分式加减法则的理解，通过类比旧知识学习新知识的方法，能帮助学生快速建立知识关联，本知识点是后续分式混合运算、分式方程学习的重要基础。
【难度系数】
0.8
解决本题可运用类比思想，先回忆分数的加减法运算规则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分转化为同分母分数，再按同分母规则计算。由于分式和分数的结构一致，可直接将分数的运算规则类比迁移到分式运算中，先得到分式加减的文字表述法则，再将文字法则转化为含字母的代数表达式即可。
【解析】
问题1解答
类比分数的加减法运算规则，分式加减运算分为两类：
1. 同分母分式相加减：分母保持不变，将分子相加减；
2. 异分母分式相加减：先通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按照同分母分式的加减规则运算。
问题2解答
用字母表示分式加减法法则如下（分母均不为0）：
1. 同分母分式加减法法则：$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$
2. 异分母分式加减法法则：$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd} = \frac{ad \pm bc}{bd}$
【答案】
问题1：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再加减。
问题2：同分母分式加减法法则：$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$；异分母分式加减法法则：$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$
【知识点】
分式加减法法则、通分、类比思想
【点评】
本题是基础概念题，核心考察对分式加减法则的理解，通过类比旧知识学习新知识的方法，能帮助学生快速建立知识关联，本知识点是后续分式混合运算、分式方程学习的重要基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】计算：
(1)$\frac{a^2 + b}{2ab} - \frac{a^2 - b}{2ab}$；
(2)$\frac{3a}{b - a} - \frac{b}{b - a} - \frac{a + b}{b - a}$。
【解】(1) 原式 $= \frac{a^2 + b - a^2 + b}{2ab} = \frac{2b}{2ab} = \frac{1}{a}$。
(2) 原式 $= \frac{3a - b - a - b}{b - a} = \frac{-2(b - a)}{b - a} = -2$。
(1)$\frac{a^2 + b}{2ab} - \frac{a^2 - b}{2ab}$；
(2)$\frac{3a}{b - a} - \frac{b}{b - a} - \frac{a + b}{b - a}$。
【解】(1) 原式 $= \frac{a^2 + b - a^2 + b}{2ab} = \frac{2b}{2ab} = \frac{1}{a}$。
(2) 原式 $= \frac{3a - b - a - b}{b - a} = \frac{-2(b - a)}{b - a} = -2$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{a^2 + b - (a^2 - b)}{2ab}$
$=\frac{a^2 + b - a^2 + b}{2ab}$
$=\frac{2b}{2ab}$
$=\frac{1}{a}$
(2) 原式$=\frac{3a - b - (a + b)}{b - a}$
$=\frac{3a - b - a - b}{b - a}$
$=\frac{2a - 2b}{b - a}$
$=\frac{-2(b - a)}{b - a}$
$=-2$
(1) 原式$=\frac{a^2 + b - (a^2 - b)}{2ab}$
$=\frac{a^2 + b - a^2 + b}{2ab}$
$=\frac{2b}{2ab}$
$=\frac{1}{a}$
(2) 原式$=\frac{3a - b - (a + b)}{b - a}$
$=\frac{3a - b - a - b}{b - a}$
$=\frac{2a - 2b}{b - a}$
$=\frac{-2(b - a)}{b - a}$
$=-2$
解析
【分析】
这两道题都是同分母分式的减法运算，解题思路如下：①依据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，注意若分子是多项式，要将分子看作整体添加括号再相减，避免出现符号错误；②对分子部分去括号、合并同类项；③将得到的分式约分化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 原式$=\frac{a^2 + b - (a^2 - b)}{2ab}$
$=\frac{a^2 + b - a^2 + b}{2ab}$
$=\frac{2b}{2ab}$
$=\frac{1}{a}$
(2) 原式$=\frac{3a - b - (a + b)}{b - a}$
$=\frac{3a - b - a - b}{b - a}$
$=\frac{2a - 2b}{b - a}$
$=\frac{-2(b - a)}{b - a}$
$=-2$
【答案】
(1)$\frac{1}{a}$；(2)$-2$
【知识点】
同分母分式加减法、去括号法则、分式约分
【点评】
本题是分式加减法的基础题型，核心考查运算过程中的符号处理能力，计算时要注意多项式分子需作为整体参与运算，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
这两道题都是同分母分式的减法运算，解题思路如下：①依据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，注意若分子是多项式，要将分子看作整体添加括号再相减，避免出现符号错误；②对分子部分去括号、合并同类项；③将得到的分式约分化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 原式$=\frac{a^2 + b - (a^2 - b)}{2ab}$
$=\frac{a^2 + b - a^2 + b}{2ab}$
$=\frac{2b}{2ab}$
$=\frac{1}{a}$
(2) 原式$=\frac{3a - b - (a + b)}{b - a}$
$=\frac{3a - b - a - b}{b - a}$
$=\frac{2a - 2b}{b - a}$
$=\frac{-2(b - a)}{b - a}$
$=-2$
【答案】
(1)$\frac{1}{a}$；(2)$-2$
【知识点】
同分母分式加减法、去括号法则、分式约分
【点评】
本题是分式加减法的基础题型，核心考查运算过程中的符号处理能力，计算时要注意多项式分子需作为整体参与运算，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
1. 计算：
(1) $\dfrac{3a^2 -5a}{a^2 +1} + \dfrac{2a^2 +4}{a^2 +1} - \dfrac{2a^2 -5a +1}{a^2 +1}$；
(2) $\dfrac{a -3b}{a -b} + \dfrac{a +b}{a -b}$。
(1) $\dfrac{3a^2 -5a}{a^2 +1} + \dfrac{2a^2 +4}{a^2 +1} - \dfrac{2a^2 -5a +1}{a^2 +1}$；
(2) $\dfrac{a -3b}{a -b} + \dfrac{a +b}{a -b}$。
答案
1.【解】(1)原式$=\frac{3a^2 +3}{a^2 +1}=3.$
(2)原式$=\frac{a -3b +a +b}{a -b}=\frac{2a -2b}{a -b}=2.$
(2)原式$=\frac{a -3b +a +b}{a -b}=\frac{2a -2b}{a -b}=2.$
解析
【分析】
这两道题均为同分母分式的加减运算，解题思路如下：首先观察分式的分母，确认是同分母后，回忆同分母分式加减法的运算规则：分母不变，分子相加减；其次处理分子时，若加减的是多项式，需要先给多项式带上括号再去括号，避免出现符号错误；之后对分子合并同类项，再将分子因式分解，约去分子分母的公因式，得到最简结果即可。
【解析】
(1) 三个分式的分母均为$a^2+1$，按照同分母分式加减法则计算：
原式$=\dfrac{(3a^2 -5a)+(2a^2 +4)-(2a^2 -5a +1)}{a^2 +1}$
去括号得：$\dfrac{3a^2 -5a +2a^2 +4 -2a^2 +5a -1}{a^2 +1}$
合并同类项得：$\dfrac{3a^2 +3}{a^2 +1}$
对分子因式分解得：$\dfrac{3(a^2 +1)}{a^2 +1}$
约分得：$3$
(2) 两个分式的分母均为$a-b$，按照同分母分式加减法则计算：
原式$=\dfrac{(a -3b)+(a +b)}{a -b}$
去括号合并同类项得：$\dfrac{2a -2b}{a -b}$
对分子因式分解得：$\dfrac{2(a -b)}{a -b}$
约分得：$2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，整式加减运算
【点评】
本题是同分母分式加减的基础题型，运算时要注意减去多项式时的符号问题，计算得到的结果要约分为最简分式或整式，熟练掌握运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9
这两道题均为同分母分式的加减运算，解题思路如下：首先观察分式的分母，确认是同分母后，回忆同分母分式加减法的运算规则：分母不变，分子相加减；其次处理分子时，若加减的是多项式，需要先给多项式带上括号再去括号，避免出现符号错误；之后对分子合并同类项，再将分子因式分解，约去分子分母的公因式，得到最简结果即可。
【解析】
(1) 三个分式的分母均为$a^2+1$，按照同分母分式加减法则计算：
原式$=\dfrac{(3a^2 -5a)+(2a^2 +4)-(2a^2 -5a +1)}{a^2 +1}$
去括号得：$\dfrac{3a^2 -5a +2a^2 +4 -2a^2 +5a -1}{a^2 +1}$
合并同类项得：$\dfrac{3a^2 +3}{a^2 +1}$
对分子因式分解得：$\dfrac{3(a^2 +1)}{a^2 +1}$
约分得：$3$
(2) 两个分式的分母均为$a-b$，按照同分母分式加减法则计算：
原式$=\dfrac{(a -3b)+(a +b)}{a -b}$
去括号合并同类项得：$\dfrac{2a -2b}{a -b}$
对分子因式分解得：$\dfrac{2(a -b)}{a -b}$
约分得：$2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，整式加减运算
【点评】
本题是同分母分式加减的基础题型，运算时要注意减去多项式时的符号问题，计算得到的结果要约分为最简分式或整式，熟练掌握运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9
