引入 请用配方法解方程:$ax^2 + bx + c = 0(a≠0).$
解:二次项系数化为1,得.
把常数项移到等号的右边,得.
配方,得 $x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 =$,即$(x + \frac{b}{2a})^2 =$.
若$b^2 -4ac≥0$,则$x + \frac{b}{2a} = ±\frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$,即$x =$.
当$b^2 -4ac ＜0$时,$(x + \frac{b}{2a})^2 ＜0,∴$此时方程无实数根.

引入 解:二次项系数化为1,得$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$。把常数项移到等号的右边,得$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$。配方,得 $x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$,即$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}$。若$b^2 -4ac≥0$,则$x + \frac{b}{2a} = ±\frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$,即$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$。当$b^2 -4ac ＜0$时,$(x + \frac{b}{2a})^2 ＜0,∴$此时方程无实数根。

【分析】
本题是用配方法推导一元二次方程求根公式的基础题，需按配方法的固定步骤思考：第一步，由于配方法需要二次项系数为1，且已知$a≠0$，因此可将方程两边同时除以$a$，完成二次项系数化1；第二步，根据等式的性质，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第三步，依据完全平方公式的结构，在等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并化简；第四步，根据平方根的定义，只有当右侧的被开方数非负时才能开平方，进而整理得到$x$的表达式，若被开方数为负则方程无实数根。
【解析】
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以非零实数$a$，得$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$；
2. 移项：将常数项$\frac{c}{a}$移到等号右侧，得$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$；
3. 配方：等式两边同时加一次项系数$\frac{b}{a}$的一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$，左侧整理为完全平方式，右侧通分合并，得$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}$；
4. 开方求解：当$b^2 -4ac≥0$时，两边同时开平方得$x + \frac{b}{2a} = ±\frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$，移项整理得$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$；若$b^2 -4ac ＜0$，等号右侧为负数，无实数平方根，因此方程无实数根。
【答案】
依次为：$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$；$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$；$-\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$；$\frac{b^2 -4ac}{4a^2}$；$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，完全平方公式
【点评】
本题完整呈现了一元二次方程求根公式的推导逻辑，核心考查配方法的操作步骤，掌握该推导过程能帮助理解求根公式的由来，为后续用公式法解一元二次方程打下坚实基础。
【难度系数】
0.75

归纳 (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$,当$b^2 -4ac≥0$时,方程的实数根可写为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$的形式.这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
(2)解一个具体的一元二次方程时,把各系数代入求根公式,可以直接得出方程的根,这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
(3)由求根公式可知,一元二次方程最多有个实数根.

(3) 两

【分析】
要确定一元二次方程最多的实数根个数，可结合求根公式的结构和判别式的取值情况分析：首先明确求根公式中“±”的含义，再分别讨论判别式$b^2-4ac$大于0、等于0、小于0三种情况下的实根数量，即可得出最多的实根个数。
【解析】
已知一元二次方程求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$（仅当$b^2-4ac≥0$时有实数根）：
1. 当$b^2-4ac＞0$时，$\sqrt{b^2-4ac}$为正实数，结合公式里的“±”符号，可得到两个不相等的实数根；
2. 当$b^2-4ac=0$时，$\sqrt{b^2-4ac}=0$，此时两个根相等，即有两个相等的实数根；
3. 当$b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。
综上可知，一元二次方程最多有2个实数根。
【答案】
两
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程根的个数判断
【点评】
本题考查对一元二次方程求根公式及根的情况的理解，属于基础概念类题目，只要掌握求根公式的结构和判别式不同取值对应的根的情况，即可快速作答。
【难度系数】
0.9

1.【例1】用公式法解下列一元二次方程：
(1) ($b^2 -4ac ＞0$ 型) $x^2 -7x -18 =0$；
解:这里 $a=$ ,$b=$ ,$c=$ .
$\because b^2 -4ac =$ $=$ $＞0$,
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} =$ $=$ ,
即 $x_1 =$ ,$x_2 =$ .
(2) ($b^2 -4ac =0$ 型) $x^2 +1 = -2x$；
(3) ($b^2 -4ac ＜0$ 型) $5x^2 +1 = -2x$.
2. 用公式法解下列一元二次方程：
(1) $x^2 -3x =4$；
(2) $\frac{1}{2}x^2 +1 = \sqrt{2}x$；
(3) $2x(x -1) +1 =0$.

1. (1) 1 -7 -18 $(-7)^2 -4×1×(-18)$ 121 $\frac{7 \pm \sqrt{121}}{2×1}$ $\frac{7 \pm 11}{2}$ 9 -2
(2) 解:方程化为 $x^2 +2x +1 =0$.
这里 $a=1,b=2,c=1$.
$\because b^2 -4ac =2^2 -4×1×1 =0$,
$\therefore x_1 =x_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2×1} = -1$.
(3) 解:方程化为 $5x^2 +2x +1 =0$.
这里 $a=5,b=2,c=1$.
$\because b^2 -4ac =2^2 -4×5×1 = -16 ＜0$,
$\therefore$ 方程无实数根.
2. (1) 解:方程化为 $x^2 -3x -4 =0$.
这里 $a=1,b=-3,c=-4$.
$\because b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-4) =25 ＞0$,
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2×1} = \frac{3 \pm 5}{2}$,
即 $x_1 =4,x_2 = -1$.
(2) 解:方程化为 $x^2 -2\sqrt{2}x +2 =0$.
这里 $a=1,b=-2\sqrt{2},c=2$.
$\because b^2 -4ac = (-2\sqrt{2})^2 -4×1×2 =0$,
$\therefore x_1 =x_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2\sqrt{2}}{2×1} =\sqrt{2}$.
(3) 解:方程化为 $2x^2 -2x +1 =0$.
这里 $a=2,b=-2,c=1$.
$\because b^2 -4ac = (-2)^2 -4×2×1 = -4 ＜0$,$\therefore$ 方程无实数根.

【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定逻辑步骤：①首先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，移项注意变号，准确写出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，不要漏带符号；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号提前判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不等实根，$\Delta=0$时方程有两个相等实根，$\Delta＜0$时方程无实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根即可，若$\Delta＜0$可直接判定无实根，避免无效计算。
【解析】
1. (1) 方程$x^2 -7x -18 =0$已是一般形式，对应系数$a=1$，$b=-7$，$c=-18$；
判别式$b^2 -4ac =(-7)^2 -4×1×(-18)=49+72=121＞0$，代入求根公式得：
$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{121}}{2×1} = \frac{7 \pm 11}{2}$，即$x_1=\frac{7+11}{2}=9$，$x_2=\frac{7-11}{2}=-2$。
(2) 移项整理得一般形式：$x^2 +2x +1 =0$，这里$a=1,b=2,c=1$；
$\because b^2 -4ac =2^2 -4×1×1 =0$，$\therefore x_1 =x_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2×1} = -1$。
(3) 移项整理得一般形式：$5x^2 +2x +1 =0$，这里$a=5,b=2,c=1$；
$\because b^2 -4ac =2^2 -4×5×1 = -16 ＜0$，$\therefore$方程无实数根。
2. (1) 移项整理得一般形式：$x^2 -3x -4 =0$，这里$a=1,b=-3,c=-4$；
$\because b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-4) =25 ＞0$，
$\therefore x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2×1} = \frac{3 \pm 5}{2}$，即$x_1 =4,x_2 = -1$。
(2) 两边同乘2后移项整理得一般形式：$x^2 -2\sqrt{2}x +2 =0$，这里$a=1,b=-2\sqrt{2},c=2$；
$\because b^2 -4ac = (-2\sqrt{2})^2 -4×1×2 =0$，
$\therefore x_1 =x_2 = -\frac{-2\sqrt{2}}{2×1} =\sqrt{2}$。
(3) 去括号移项整理得一般形式：$2x^2 -2x +1 =0$，这里$a=2,b=-2,c=1$；
$\because b^2 -4ac = (-2)^2 -4×2×1 = -4 ＜0$，$\therefore$方程无实数根。
【答案】
1. (1) 1；-7；-18；$(-7)^2 -4×1×(-18)$；121；$\frac{7 \pm \sqrt{121}}{2×1}$；$\frac{7 \pm 11}{2}$；9；-2
(2) $x_1=x_2=-1$
(3) 方程无实数根
2. (1) $x_1=4,x_2=-1$
(2) $x_1=x_2=\sqrt{2}$
(3) 方程无实数根
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 根的判别式
3. 公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练，解题易错点为移项时符号错误、确定系数时漏带负号、判别式计算失误。牢记“先化一般式、再算判别式、最后代公式”的固定步骤，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.75