3. 我们把$b^2 - 4ac$叫作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=。
一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的根有三种情况：
(1)当Δ＞0时，方程有两个的实数根；
(2)当Δ=0时，方程有两个的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程实数根。

3. $b^2 -4ac$ (1) 不相等 (2) 相等 (3) 没有

【分析】
本题属于基础概念识记类题目，考查一元二次方程根的判别式的定义，以及判别式取值和方程根的情况的对应关系。解题时只需回忆课本相关基础结论，对应空缺位置直接填写即可：首先根据题干给出的判别式定义，直接写出Δ的表达式；再分别对应Δ＞0、Δ=0、Δ＜0三种情况，填写对应的根的情况。
【解析】
根据题干给出的定义，一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$；
根据判别式与根的对应关系：
(1) 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【答案】
$b^2 -4ac$；(1)不相等；(2)相等；(3)没有
【知识点】
根的判别式定义；判别式与根的关系
【点评】
本题是基础概念考察题，难度较低，主要考查对根的判别式相关基础结论的记忆，熟练掌握相关定义和对应关系即可快速完成作答。
【难度系数】
0.9

4.【例2】不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1)$x^2 - x + 2 = 0$;
.
(2)$x^2 - 2x + 1 = 0$;
.
(3)$3y^2 + \sqrt{2}y - 2 = 0$.
.

4. (1) 没有实数根 (2) 有两个相等的实数根 (3) 有两个不相等的实数根

【分析】
判断一元二次方程根的情况，可借助根的判别式Δ=b²-4ac求解，解题步骤如下：第一步先明确每个方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，注意要带上系数的符号；第二步将a、b、c代入判别式公式计算Δ的结果；第三步对照判别式的意义判断根的情况：Δ＞0对应方程有两个不相等的实数根，Δ=0对应方程有两个相等的实数根，Δ＜0对应方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
(1) 方程$x^2 - x + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=2$
代入得$\Delta = (-1)^2 - 4×1×2 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$，因此方程没有实数根；
(2) 方程$x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$
代入得$\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$，因此方程有两个相等的实数根；
(3) 方程$3y^2 + \sqrt{2}y - 2 = 0$中，$a=3$，$b=\sqrt{2}$，$c=-2$
代入得$\Delta = (\sqrt{2})^2 - 4×3×(-2) = 2 + 24 = 26 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 没有实数根 (2) 有两个相等的实数根 (3) 有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题时要注意准确识别方程各项的系数（尤其注意符号），牢记判别式的取值与方程根的情况的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.【例3】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x + m=0$.
（1）根的判别式$\Delta = b^2 -4ac =$;
（2）当$m$时，方程有两个不相等的实数根；
（3）当$m$时，方程有两个相等的实数根；
（4）当$m$时，方程无实数根.

6. (1) $16-4m$ (2) $＜4$ (3) $=4$ (4) $＞4$

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的相关知识，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，且判别式的符号和方程根的个数有对应关系：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。第一步先确定给定方程中$a,b,c$的取值，代入公式算出判别式；后面三问分别根据对应根的情况列不等式或等式，求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
首先确定一元二次方程$x^2 -4x + m=0$中各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=m$。
（1）将系数代入判别式公式：$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 -4×1× m = 16-4m$；
（2）方程有两个不相等的实数根，需满足$\Delta＞0$，即$16-4m＞0$，解不等式：
移项得$-4m＞-16$，两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$m＜4$；
（3）方程有两个相等的实数根，需满足$\Delta=0$，即$16-4m=0$，解得$m=4$；
（4）方程无实数根，需满足$\Delta＜0$，即$16-4m＜0$，解不等式：
移项得$-4m＜-16$，两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$m＞4$。
【答案】
(1) $16-4m$ (2) $＜4$ (3) $=4$ (4) $＞4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的个数关系
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根的判别式相关规则的记忆和简单应用，掌握判别式的计算公式以及不同取值对应的根的情况即可快速解题，是一元二次方程章节的核心基础考点。
【难度系数】
0.9

8.【例4】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx -6=0$.求证:不论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.

8. 证明:$\because a=1,b=m,c=-6$,
$\therefore \Delta =m^2 -4×1×(-6) =m^2 +24$.
$\because m^2 ≥0$,$\therefore m^2 +24 ＞0$,即$\Delta ＞0$.
$\therefore$ 不论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.

【分析】
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需结合一元二次方程根的判别式的性质求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的取值，再代入公式计算判别式$\Delta$，最后结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出结论。
【解析】
证明：$\because a=1,b=m,c=-6$,
$\therefore \Delta =m^2 -4×1×(-6) =m^2 +24$.
$\because m^2 ≥0$,$\therefore m^2 +24 ＞0$,即$\Delta ＞0$.
$\therefore$ 不论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
【答案】
不论$m$取何值，方程$x^2 + mx -6=0$总有两个不相等的实数根，证明过程见解析。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方的非负性
【点评】
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题核心是准确计算判别式，结合非负数的性质判断判别式的正负，属于根的判别式的基础应用题型。
【难度系数】
0.9

5. 关于x的方程$x^2 + mx - 2 = 0$根的情况是
()

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

解：在方程$x^2 + mx - 2 = 0$中，$a=1$，$b=m$，$c=-2$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(-2) = m^2 + 8$。∵ 对任意实数$m$，都有$m^2 ≥ 0$，∴ $m^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$。∴ 该方程有两个不相等的实数根。
@@5. A

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解，思考步骤如下：第一步先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步代入公式计算判别式的表达式；第三步结合平方的非负性判断判别式的正负；最后对照判别式与根的对应关系得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$，可得$a=1$，$b=m$，$c=-2$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(-2) = m^2 + 8$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2 ≥0$
∴ $m^2 + 8 ≥ 8 ＞0$，即$\Delta ＞0$
根据判别式的意义：$\Delta ＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，熟练掌握判别式和根的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9

7. 若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 +2x +1=0$有实数根,则实数$a$的取值范围是 ()

A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
9. 已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 + (2k +1)x +$

7. C

【分析】
要解决这道题，首先明确题目给出的是一元二次方程，首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0；其次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0，我们只需要分别列出这两个条件对应的不等式，求解后取公共部分就能得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵方程$(a-1)x^2 +2x +1=0$是一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵该一元二次方程有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为2，常数项为1
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
计算化简：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
$4 -4a +4 ≥0$
$8 -4a ≥0$
移项解得$a ≤2$
综上，a的取值范围是$a≤2$且$a≠1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的常考基础题，解题时需注意题干中“一元二次方程”的前提，很容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，只通过判别式求解得到错误结果。
【难度系数】
0.7

k=0. 求证:方程总有两个实数根.

9. 证明:$\because a=2,b=2k+1,c=k$,
$\therefore \Delta =(2k+1)^2 -8k =4k^2 +4k +1 -8k =(2k-1)^2$.
$\because (2k-1)^2 ≥0$,$\therefore$ 方程总有两个实数根.

【分析】
要证明一元二次方程总有两个实数根，需利用根的判别式判断：当Δ≥0时，方程总有两个实数根。解题时第一步先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步代入判别式公式Δ=b²-4ac计算；第三步将计算结果化简，结合平方的非负性判断Δ的取值范围即可完成证明。
【解析】
由题意知该一元二次方程为$2x^2+(2k+1)x+k=0$，
首先确定各项系数：$a=2$，$b=2k+1$，$c=k$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac = (2k+1)^2 - 4×2× k$
$=4k^2 +4k +1 -8k$
$=4k^2 -4k +1$
$=(2k-1)^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(2k-1)^2 ≥ 0$，
∴ $\Delta ≥ 0$，即该方程总有两个实数根。
【答案】
证明:$\because a=2,b=2k+1,c=k$,
$\therefore \Delta =(2k+1)^2 -8k =4k^2 +4k +1 -8k =(2k-1)^2$.
$\because (2k-1)^2 ≥0$,$\therefore$ 方程总有两个实数根.
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.完全平方公式 3.非负数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用，核心是掌握判别式与方程根的个数的对应关系，解题时需准确识别方程各项系数，正确化简判别式即可快速求解。
【难度系数】
0.8