10. 阅读下列解题过程：
计算 $1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^9+3^{10}$ 的值。
解:设 $S=1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^9+3^{10}$①,
则 $3S=3×(1+3+3^2+3^3+···+3^9+3^{10})$,
$3S=3×1+3×3+3×3^2+3×3^3+···+3×3^9+3×3^{10}$,
$3S=3+3^2+3^3+3^4+···+3^{10}+3^{11}$②,
②-①得
$3S-S=(3+3^2+3^3+3^4+···+3^9+3^{10}+3^{11})-(1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^9+3^{10})$,
$2S=3^{11}-1,S=\frac{3^{11}-1}{2}$,即 $1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^9+3^{10}=\frac{3^{11}-1}{2}$。
通过阅读,你一定学到了一种解决问题的方法。
请用你学到的方法计算:$1+5+5^2+5^3+5^4+···+5^{24}+5^{25}$。

解：设$S=1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{24}+5^{25}$①，
则$5S=5×(1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25})$，
$5S=5×1 + 5×5 + 5×5^2 + 5×5^3 + \dots + 5×5^{24} + 5×5^{25}$，
$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{25}+5^{26}$②，
②-①得
$5S-S=(5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{25}+5^{26})-(1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{24}+5^{25})$，
$4S=5^{26}-1$，
$S=\frac{5^{26}-1}{4}$，
即$1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{24}+5^{25}=\frac{5^{26}-1}{4}$。

【分析】
观察所求算式，从第二项起每一项都是前一项的5倍，可借鉴题目给出的错位相减法求解：①先设所求算式的总和为S；②将等式两边同时乘以公比5，得到新的等式，此时新等式的各项除首末项外，与原等式的各项恰好错位对应；③用新等式减去原等式，中间重复的项会相互抵消，仅剩首尾两项的差；④最后整理等式求出S的值即可。
【解析】
设$S=1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{24}+5^{25}$ ①，
则$5S=5×(1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25})$，
化简得$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{25}+5^{26}$ ②，
用②减去①可得：
$5S-S=(5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{25}+5^{26})-(1+5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{24}+5^{25})$，
合并同类项后得$4S=5^{26}-1$，
两边同时除以4，得$S=\frac{5^{26}-1}{4}$。
【答案】
$\frac{5^{26}-1}{4}$
【知识点】
错位相减法，有理数乘方，规律型运算
【点评】
本题属于材料阅读类计算题型，核心考查对新方法的迁移应用能力，只要掌握错位相减法中“乘公比、错项、相减消元”的核心步骤就能轻松求解，是有理数运算中非常实用的一类技巧。
【难度系数】
0.7