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6. 填空：$(-3)^2 =$ ；$-4^2 =$ ；$-(-2)^2 =$ ；$(-2\ \frac{1}{3})^3 =$ ；$-\frac{3^2}{4} =$ ；$-2^4 =$ 。
答案
解：
$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$；
$-4^2 = -(4×4) = -16$；
$-(-2)^2 = -[(-2)×(-2)] = -4$；
$(-2\dfrac{1}{3})^3 = (-\dfrac{7}{3})^3 = (-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{7}{3}) = -\dfrac{343}{27}$；
$-\dfrac{3^2}{4} = -\dfrac{3×3}{4} = -\dfrac{9}{4}$；
$-2^4 = -(2×2×2×2) = -16$。
答案依次为：$\boldsymbol{9}$；$\boldsymbol{-16}$；$\boldsymbol{-4}$；$\boldsymbol{-\dfrac{343}{27}}$；$\boldsymbol{-\dfrac{9}{4}}$；$\boldsymbol{-16}$。
$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$；
$-4^2 = -(4×4) = -16$；
$-(-2)^2 = -[(-2)×(-2)] = -4$；
$(-2\dfrac{1}{3})^3 = (-\dfrac{7}{3})^3 = (-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{7}{3}) = -\dfrac{343}{27}$；
$-\dfrac{3^2}{4} = -\dfrac{3×3}{4} = -\dfrac{9}{4}$；
$-2^4 = -(2×2×2×2) = -16$。
答案依次为：$\boldsymbol{9}$；$\boldsymbol{-16}$；$\boldsymbol{-4}$；$\boldsymbol{-\dfrac{343}{27}}$；$\boldsymbol{-\dfrac{9}{4}}$；$\boldsymbol{-16}$。
解析
【分析】
解决这类有理数乘方问题的核心是先准确判定乘方的底数：①若负数带有括号，底数就是括号内整个带负号的数，乘方时符号和数值一同运算；②若负号在乘方运算外，底数仅为正的数字，需先计算乘方再添加负号；③遇到带分数的乘方，要先将带分数化为假分数，再按照乘方的定义计算。计算时遵循“先定底数、再算乘方、最后确定结果符号”的步骤即可。
【解析】
各算式计算过程如下：
1. $(-3)^2$的底数是$-3$，因此$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$；
2. $-4^2$的底数是$4$，负号在乘方外，因此$-4^2 = -(4×4) = -16$；
3. $-(-2)^2$先计算括号内的乘方，底数是$-2$，因此$-(-2)^2 = -[(-2)×(-2)] = -4$；
4. $(-2\dfrac{1}{3})^3$先将带分数化为假分数$-\dfrac{7}{3}$，底数是$-\dfrac{7}{3}$，因此$(-2\dfrac{1}{3})^3 = (-\dfrac{7}{3})^3 = (-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{7}{3}) = -\dfrac{343}{27}$；
5. $-\dfrac{3^2}{4}$先计算分子的乘方，底数是$3$，因此$-\dfrac{3^2}{4} = -\dfrac{3×3}{4} = -\dfrac{9}{4}$；
6. $-2^4$的底数是$2$，负号在乘方外，因此$-2^4 = -(2×2×2×2) = -16$。
【答案】
$9$；$-16$；$-4$；$-\dfrac{343}{27}$；$-\dfrac{9}{4}$；$-16$
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号法则，带分数乘方运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，重点考查乘方底数的判定和符号处理能力，计算时要注意区分“负数的乘方”和“乘方的相反数”的差异，计算带分数乘方时先化为假分数可有效降低出错率。
【难度系数】
0.75
解决这类有理数乘方问题的核心是先准确判定乘方的底数：①若负数带有括号，底数就是括号内整个带负号的数，乘方时符号和数值一同运算；②若负号在乘方运算外，底数仅为正的数字，需先计算乘方再添加负号；③遇到带分数的乘方，要先将带分数化为假分数，再按照乘方的定义计算。计算时遵循“先定底数、再算乘方、最后确定结果符号”的步骤即可。
【解析】
各算式计算过程如下：
1. $(-3)^2$的底数是$-3$，因此$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$；
2. $-4^2$的底数是$4$，负号在乘方外，因此$-4^2 = -(4×4) = -16$；
3. $-(-2)^2$先计算括号内的乘方，底数是$-2$，因此$-(-2)^2 = -[(-2)×(-2)] = -4$；
4. $(-2\dfrac{1}{3})^3$先将带分数化为假分数$-\dfrac{7}{3}$，底数是$-\dfrac{7}{3}$，因此$(-2\dfrac{1}{3})^3 = (-\dfrac{7}{3})^3 = (-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{7}{3}) = -\dfrac{343}{27}$；
5. $-\dfrac{3^2}{4}$先计算分子的乘方，底数是$3$，因此$-\dfrac{3^2}{4} = -\dfrac{3×3}{4} = -\dfrac{9}{4}$；
6. $-2^4$的底数是$2$，负号在乘方外，因此$-2^4 = -(2×2×2×2) = -16$。
【答案】
$9$；$-16$；$-4$；$-\dfrac{343}{27}$；$-\dfrac{9}{4}$；$-16$
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号法则，带分数乘方运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，重点考查乘方底数的判定和符号处理能力，计算时要注意区分“负数的乘方”和“乘方的相反数”的差异，计算带分数乘方时先化为假分数可有效降低出错率。
【难度系数】
0.75
7. 甲、乙、丙、丁4名同学学习了有理数的乘方之后，发表了以下见解，其中观点正确的有（）
①甲：$2^5$是2个5相加；②乙：$-(\dfrac{3}{4})^3$与$(-\dfrac{3}{4})^3$是不同的结果；③丙：$n^3 = n + n^2$；④丁：$n^4$是n个4相乘。
A.0个
B.2个
C.3个
D.4个
①甲：$2^5$是2个5相加；②乙：$-(\dfrac{3}{4})^3$与$(-\dfrac{3}{4})^3$是不同的结果；③丙：$n^3 = n + n^2$；④丁：$n^4$是n个4相乘。
A.0个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是先明确有理数乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘（n为正整数），再逐个辨析4名同学的观点是否正确，最后统计正确观点的数量即可选出答案。辨析时注意区分乘方的底数、指数，判断乘方符号时遵循“负数的奇次幂为负，偶次幂为正”的规则，判断代数等式是否成立可通过举反例验证。
【解析】
我们逐个分析4个观点：
1. 分析甲的观点：$2^5$表示5个2相乘，2个5相加是$5+5=10$，二者含义和结果均不同，甲的观点错误。
2. 分析乙的观点：计算得$-(\frac{3}{4})^3=-\frac{27}{64}$，$(-\frac{3}{4})^3=(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})=-\frac{27}{64}$，二者结果相同，乙的观点错误。
3. 分析丙的观点：可举反例验证，当$n=2$时，$n^3=2^3=8$，$n+n^2=2+4=6$，$8≠6$，等式不成立，丙的观点错误。
4. 分析丁的观点：$n^4$表示4个n相乘，n个4相乘是$4^n$，二者含义不同，丁的观点错误。
综上，4个观点全部错误，正确的有0个。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方定义，乘方符号运算
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对乘方定义的理解，容易出错的点是混淆乘方的底数和指数、误判乘方的运算符号，做概念辨析类题目时要紧扣定义，判断不成立的等式可通过举反例快速验证。
【难度系数】
0.6
解题的核心是先明确有理数乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘（n为正整数），再逐个辨析4名同学的观点是否正确，最后统计正确观点的数量即可选出答案。辨析时注意区分乘方的底数、指数，判断乘方符号时遵循“负数的奇次幂为负，偶次幂为正”的规则，判断代数等式是否成立可通过举反例验证。
【解析】
我们逐个分析4个观点：
1. 分析甲的观点：$2^5$表示5个2相乘，2个5相加是$5+5=10$，二者含义和结果均不同，甲的观点错误。
2. 分析乙的观点：计算得$-(\frac{3}{4})^3=-\frac{27}{64}$，$(-\frac{3}{4})^3=(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})=-\frac{27}{64}$，二者结果相同，乙的观点错误。
3. 分析丙的观点：可举反例验证，当$n=2$时，$n^3=2^3=8$，$n+n^2=2+4=6$，$8≠6$，等式不成立，丙的观点错误。
4. 分析丁的观点：$n^4$表示4个n相乘，n个4相乘是$4^n$，二者含义不同，丁的观点错误。
综上，4个观点全部错误，正确的有0个。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方定义，乘方符号运算
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对乘方定义的理解，容易出错的点是混淆乘方的底数和指数、误判乘方的运算符号，做概念辨析类题目时要紧扣定义，判断不成立的等式可通过举反例快速验证。
【难度系数】
0.6
8. 将一张长方形的纸对折,可得到1条折痕,继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,对折2次得到条折痕,对折5次得到条折痕。
答案
3；31
解析
【分析】
解决这类对折找规律的问题，我们可以先从次数较少的对折操作入手，分别计算每次对折后的折痕总数，观察数据和对折次数的关系，总结出通用规律，再代入所求的对折次数计算结果。首先枚举简单情况：对折1次得到1条折痕，对应$2^1-1$；对折2次新增2条折痕，总共有3条，对应$2^2-1$；对折3次新增4条折痕，总共有7条，对应$2^3-1$，可推出对折$n$次的总折痕数为$2^n-1$。
【解析】
我们先通过枚举前几次对折的结果推导规律：
1. 对折1次：折痕条数$=1=2^1-1$；
2. 对折2次：在上次1条折痕基础上新增2条，总条数$=1+2=3=2^2-1$；
3. 对折3次：在上次3条折痕基础上新增4条，总条数$=3+4=7=2^3-1$；
……
归纳得到通用规律：对折$n$次时，总折痕条数为$2^n-1$。
代入数值计算：
对折2次时，$n=2$，折痕数$=2^2-1=4-1=3$；
对折5次时，$n=5$，折痕数$=2^5-1=32-1=31$。
【答案】
3；31
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 规律归纳探究
【点评】
这道题结合生活中的对折操作，考查对乘方概念的理解和应用能力，解题的关键是通过简单情况归纳出折痕数与对折次数的通用规律，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
解决这类对折找规律的问题，我们可以先从次数较少的对折操作入手，分别计算每次对折后的折痕总数，观察数据和对折次数的关系，总结出通用规律，再代入所求的对折次数计算结果。首先枚举简单情况：对折1次得到1条折痕，对应$2^1-1$；对折2次新增2条折痕，总共有3条，对应$2^2-1$；对折3次新增4条折痕，总共有7条，对应$2^3-1$，可推出对折$n$次的总折痕数为$2^n-1$。
【解析】
我们先通过枚举前几次对折的结果推导规律：
1. 对折1次：折痕条数$=1=2^1-1$；
2. 对折2次：在上次1条折痕基础上新增2条，总条数$=1+2=3=2^2-1$；
3. 对折3次：在上次3条折痕基础上新增4条，总条数$=3+4=7=2^3-1$；
……
归纳得到通用规律：对折$n$次时，总折痕条数为$2^n-1$。
代入数值计算：
对折2次时，$n=2$，折痕数$=2^2-1=4-1=3$；
对折5次时，$n=5$，折痕数$=2^5-1=32-1=31$。
【答案】
3；31
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 规律归纳探究
【点评】
这道题结合生活中的对折操作，考查对乘方概念的理解和应用能力，解题的关键是通过简单情况归纳出折痕数与对折次数的通用规律，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
9. (1) 计算 $0.1^2, 1^2, 10^2, 100^2$。观察这些结果，当底数的小数点每向左、(右)移动一位时，平方数的小数点有什么移动规律？
(2) 计算 $0.1^3, 1^3, 10^3, 100^3$。观察这些结果，当底数的小数点每向左(右)移动一位时，立方数的小数点有什么移动规律？
(3) 计算 $0.1^4, 1^4, 10^4, 100^4$。观察这些结果，当底数的小数点每向左(右)移动一位时，四次方数的小数点有什么移动规律？
(2) 计算 $0.1^3, 1^3, 10^3, 100^3$。观察这些结果，当底数的小数点每向左(右)移动一位时，立方数的小数点有什么移动规律？
(3) 计算 $0.1^4, 1^4, 10^4, 100^4$。观察这些结果，当底数的小数点每向左(右)移动一位时，四次方数的小数点有什么移动规律？
答案
解：
(1)
$0.1^2 = 0.1 × 0.1 = 0.01$
$1^2 = 1 × 1 = 1$
$10^2 = 10 × 10 = 100$
$100^2 = 100 × 100 = 10000$
规律：当底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，平方数的小数点相应向左（或向右）移动两位。
(2)
$0.1^3 = 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.001$
$1^3 = 1 × 1 × 1 = 1$
$10^3 = 10 × 10 × 10 = 1000$
$100^3 = 100 × 100 × 100 = 1000000$
规律：当底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，立方数的小数点相应向左（或向右）移动三位。
(3)
$0.1^4 = 0.1 × 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.0001$
$1^4 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1$
$10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000$
$100^4 = 100 × 100 × 100 × 100 = 100000000$
规律：当底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，四次方数的小数点相应向左（或向右）移动四位。
(1)
$0.1^2 = 0.1 × 0.1 = 0.01$
$1^2 = 1 × 1 = 1$
$10^2 = 10 × 10 = 100$
$100^2 = 100 × 100 = 10000$
规律：当底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，平方数的小数点相应向左（或向右）移动两位。
(2)
$0.1^3 = 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.001$
$1^3 = 1 × 1 × 1 = 1$
$10^3 = 10 × 10 × 10 = 1000$
$100^3 = 100 × 100 × 100 = 1000000$
规律：当底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，立方数的小数点相应向左（或向右）移动三位。
(3)
$0.1^4 = 0.1 × 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.0001$
$1^4 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1$
$10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000$
$100^4 = 100 × 100 × 100 × 100 = 100000000$
规律：当底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，四次方数的小数点相应向左（或向右）移动四位。
解析
【分析】
本题是乘方相关的规律探究题，解题思路分为两步：①先根据乘方的定义（求几个相同因数乘积的运算），分别计算出每一问中各数的乘方结果；②对比相邻底数的小数点移动方向和位数，再对应观察其乘方结果的小数点移动情况，归纳出普遍规律即可。
【解析】
(1) 计算各数的平方：
$0.1^2 = 0.1 × 0.1 = 0.01$
$1^2 = 1 × 1 = 1$
$10^2 = 10 × 10 = 100$
$100^2 = 100 × 100 = 10000$
观察对比可得底数小数点移动与平方数小数点移动的对应规律。
(2) 计算各数的立方：
$0.1^3 = 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.001$
$1^3 = 1 × 1 × 1 = 1$
$10^3 = 10 × 10 × 10 = 1000$
$100^3 = 100 × 100 × 100 = 1000000$
观察对比可得底数小数点移动与立方数小数点移动的对应规律。
(3) 计算各数的四次方：
$0.1^4 = 0.1 × 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.0001$
$1^4 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1$
$10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000$
$100^4 = 100 × 100 × 100 × 100 = 100000000$
观察对比可得底数小数点移动与四次方数小数点移动的对应规律。
【答案】
(1) $0.1^2=0.01$，$1^2=1$，$10^2=100$，$100^2=10000$；规律：底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，平方数的小数点相应向左（或向右）移动两位。
(2) $0.1^3=0.001$，$1^3=1$，$10^3=1000$，$100^3=1000000$；规律：底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，立方数的小数点相应向左（或向右）移动三位。
(3) $0.1^4=0.0001$，$1^4=1$，$10^4=10000$，$100^4=100000000$；规律：底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，四次方数的小数点相应向左（或向右）移动四位。
【知识点】
有理数乘方运算；小数点移动规律；归纳推理
【点评】
本题依托基础的乘方计算，引导学生自主探究底数变化与幂的变化的对应关系，既巩固了乘方的基本运算规则，又培养了观察、归纳的逻辑思维能力，是乘方概念应用的典型基础题。
【难度系数】
0.85
本题是乘方相关的规律探究题，解题思路分为两步：①先根据乘方的定义（求几个相同因数乘积的运算），分别计算出每一问中各数的乘方结果；②对比相邻底数的小数点移动方向和位数，再对应观察其乘方结果的小数点移动情况，归纳出普遍规律即可。
【解析】
(1) 计算各数的平方：
$0.1^2 = 0.1 × 0.1 = 0.01$
$1^2 = 1 × 1 = 1$
$10^2 = 10 × 10 = 100$
$100^2 = 100 × 100 = 10000$
观察对比可得底数小数点移动与平方数小数点移动的对应规律。
(2) 计算各数的立方：
$0.1^3 = 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.001$
$1^3 = 1 × 1 × 1 = 1$
$10^3 = 10 × 10 × 10 = 1000$
$100^3 = 100 × 100 × 100 = 1000000$
观察对比可得底数小数点移动与立方数小数点移动的对应规律。
(3) 计算各数的四次方：
$0.1^4 = 0.1 × 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.0001$
$1^4 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1$
$10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000$
$100^4 = 100 × 100 × 100 × 100 = 100000000$
观察对比可得底数小数点移动与四次方数小数点移动的对应规律。
【答案】
(1) $0.1^2=0.01$，$1^2=1$，$10^2=100$，$100^2=10000$；规律：底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，平方数的小数点相应向左（或向右）移动两位。
(2) $0.1^3=0.001$，$1^3=1$，$10^3=1000$，$100^3=1000000$；规律：底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，立方数的小数点相应向左（或向右）移动三位。
(3) $0.1^4=0.0001$，$1^4=1$，$10^4=10000$，$100^4=100000000$；规律：底数的小数点每向左（或向右）移动一位时，四次方数的小数点相应向左（或向右）移动四位。
【知识点】
有理数乘方运算；小数点移动规律；归纳推理
【点评】
本题依托基础的乘方计算，引导学生自主探究底数变化与幂的变化的对应关系，既巩固了乘方的基本运算规则，又培养了观察、归纳的逻辑思维能力，是乘方概念应用的典型基础题。
【难度系数】
0.85
