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4.某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，$a$天用水$m$ t，现改用喷灌方式，原来$a$天使用的水现在可使用$2a$天，现在比原来每天节约用水t(用含$a,m$的代数式表示).
答案
$\boldsymbol{\frac{m}{2a}}$
解析
【分析】
要计算现在比原来每天节约用水的量，首先明确核心数量关系：每天节约用水量=原来每天用水量-现在每天用水量。第一步根据“日均用水量=总用水量÷用水总天数”，分别求出漫灌方式的日均用水量和喷灌方式的日均用水量，再将两个分式作差化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算原来漫灌方式的日均用水量：
已知$a$天共用水$m$ t，根据日均用水量计算公式，原来每天用水量为 $\frac{m}{a}$ t。
2. 计算现在喷灌方式的日均用水量：
总水量仍为$m$ t，现在可使用$2a$天，因此现在每天用水量为 $\frac{m}{2a}$ t。
3. 计算日均节约用水量：
用原来日均用水量减去现在日均用水量，再通分化简：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{2a} = \frac{2m}{2a} - \frac{m}{2a} = \frac{m}{2a}$（t）
【答案】
$\frac{m}{2a}$
【知识点】
列代数式；分式的加减运算
【点评】
本题结合生活实际考查数量关系梳理和分式基础运算，解题关键是准确表示两种灌溉方式的日均用水量，再作差计算，运算时注意先通分再计算同分母分式的减法，整体逻辑清晰，不易出错。
【难度系数】
0.8
要计算现在比原来每天节约用水的量，首先明确核心数量关系：每天节约用水量=原来每天用水量-现在每天用水量。第一步根据“日均用水量=总用水量÷用水总天数”，分别求出漫灌方式的日均用水量和喷灌方式的日均用水量，再将两个分式作差化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算原来漫灌方式的日均用水量：
已知$a$天共用水$m$ t，根据日均用水量计算公式，原来每天用水量为 $\frac{m}{a}$ t。
2. 计算现在喷灌方式的日均用水量：
总水量仍为$m$ t，现在可使用$2a$天，因此现在每天用水量为 $\frac{m}{2a}$ t。
3. 计算日均节约用水量：
用原来日均用水量减去现在日均用水量，再通分化简：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{2a} = \frac{2m}{2a} - \frac{m}{2a} = \frac{m}{2a}$（t）
【答案】
$\frac{m}{2a}$
【知识点】
列代数式；分式的加减运算
【点评】
本题结合生活实际考查数量关系梳理和分式基础运算，解题关键是准确表示两种灌溉方式的日均用水量，再作差计算，运算时注意先通分再计算同分母分式的减法，整体逻辑清晰，不易出错。
【难度系数】
0.8
5. 甲厂决定租一辆车送员工返乡过年,租金为3000元.出发时,又增加3名同乡员工也随车返乡,总人数达到x名.如果租车的租金不变,那么甲厂为每名员工平均支付的车费可比原来少元.
答案
解：
原来乘车的甲厂员工人数为$(x-3)$名，
原来甲厂为每名员工平均支付的车费为$\dfrac{3000}{x-3}$元，
增加3名同乡员工后，总人数为$x$名，此时人均分摊的车费为$\dfrac{3000}{x}$元。
计算车费的差值：
$\begin{aligned}\dfrac{3000}{x-3} - \dfrac{3000}{x} &= \dfrac{3000x - 3000(x-3)}{x(x-3)} \\&= \dfrac{3000x - 3000x + 9000}{x(x-3)} \\&= \dfrac{9000}{x^2 - 3x}\end{aligned}$
最终答案为$\boldsymbol{\dfrac{9000}{x^2-3x}}$（或$\dfrac{9000}{x(x-3)}$）。
原来乘车的甲厂员工人数为$(x-3)$名，
原来甲厂为每名员工平均支付的车费为$\dfrac{3000}{x-3}$元，
增加3名同乡员工后，总人数为$x$名，此时人均分摊的车费为$\dfrac{3000}{x}$元。
计算车费的差值：
$\begin{aligned}\dfrac{3000}{x-3} - \dfrac{3000}{x} &= \dfrac{3000x - 3000(x-3)}{x(x-3)} \\&= \dfrac{3000x - 3000x + 9000}{x(x-3)} \\&= \dfrac{9000}{x^2 - 3x}\end{aligned}$
最终答案为$\boldsymbol{\dfrac{9000}{x^2-3x}}$（或$\dfrac{9000}{x(x-3)}$）。
解析
【分析】
解题时首先要明确所求为原来人均车费和现在人均车费的差值。第一步先确定原来的乘车人数：出发时新增3人后总人数为x，因此原来的人数为$(x-3)$名；第二步分别用总租金除以对应人数，得到原来和现在的人均车费；第三步用原来的人均车费减去现在的人均车费，再通过分式通分化简即可得到结果。
【解析】
原来乘车的员工人数为$(x-3)$名，
原来甲厂为每名员工平均支付的车费为$\dfrac{3000}{x-3}$元，
增加3名员工后总人数为$x$名，此时人均支付的车费为$\dfrac{3000}{x}$元。
则每人平均可比原来少付的金额为：
$\begin{aligned}\dfrac{3000}{x-3} - \dfrac{3000}{x} &= \dfrac{3000x - 3000(x-3)}{x(x-3)} \\&= \dfrac{3000x - 3000x + 9000}{x(x-3)} \\&= \dfrac{9000}{x(x-3)}=\dfrac{9000}{x^2-3x}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{9000}{x^2-3x}}$（或$\dfrac{9000}{x(x-3)}$）
【知识点】
分式的实际应用；分式的加减运算
【点评】
本题结合生活中的租车付费场景命题，解题的核心是准确表示出不同人数下的人均车费，再通过分式减法运算求解，计算过程中要注意通分的正确性，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确所求为原来人均车费和现在人均车费的差值。第一步先确定原来的乘车人数：出发时新增3人后总人数为x，因此原来的人数为$(x-3)$名；第二步分别用总租金除以对应人数，得到原来和现在的人均车费；第三步用原来的人均车费减去现在的人均车费，再通过分式通分化简即可得到结果。
【解析】
原来乘车的员工人数为$(x-3)$名，
原来甲厂为每名员工平均支付的车费为$\dfrac{3000}{x-3}$元，
增加3名员工后总人数为$x$名，此时人均支付的车费为$\dfrac{3000}{x}$元。
则每人平均可比原来少付的金额为：
$\begin{aligned}\dfrac{3000}{x-3} - \dfrac{3000}{x} &= \dfrac{3000x - 3000(x-3)}{x(x-3)} \\&= \dfrac{3000x - 3000x + 9000}{x(x-3)} \\&= \dfrac{9000}{x(x-3)}=\dfrac{9000}{x^2-3x}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{9000}{x^2-3x}}$（或$\dfrac{9000}{x(x-3)}$）
【知识点】
分式的实际应用；分式的加减运算
【点评】
本题结合生活中的租车付费场景命题，解题的核心是准确表示出不同人数下的人均车费，再通过分式减法运算求解，计算过程中要注意通分的正确性，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.7
6. 从火车上下来的两名旅客,他们沿着同一方向到同一地点去,甲旅客一半路程以速度$a$行走,另一半路程以速度$b$行走;乙旅客一半的时间以速度$a$行走,另一半时间以速度$b$行走,哪名旅客先到达目的地?(速度单位都相同,且速度$a≠b$)
答案
解：设总路程为$s$，甲旅客走完全程的时间为$t_甲$，乙旅客走完全程的时间为$t_乙$。
计算甲的总时间：
$t_甲 = \frac{\frac{s}{2}}{a} + \frac{\frac{s}{2}}{b} = \frac{s}{2a} + \frac{s}{2b} = \frac{s(a+b)}{2ab}$
计算乙的总时间：
由题意得 $\frac{t_乙}{2} · a + \frac{t_乙}{2} · b = s$，
整理得 $t_乙(a+b) = 2s$，
因此 $t_乙 = \frac{2s}{a+b}$。
作差比较两者时间：
$\begin{aligned}t_甲 - t_乙 &= \frac{s(a+b)}{2ab} - \frac{2s}{a+b} \\&= \frac{s(a+b)^2 - 4abs}{2ab(a+b)} \\&= \frac{s(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab)}{2ab(a+b)} \\&= \frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}\end{aligned}$
由题意可知$s＞0$，$a＞0$，$b＞0$，$a≠ b$，因此$(a-b)^2＞0$，分母$2ab(a+b)＞0$，
所以 $t_甲 - t_乙 ＞ 0$，即 $t_甲 ＞ t_乙$。
答：乙旅客先到达目的地。
计算甲的总时间：
$t_甲 = \frac{\frac{s}{2}}{a} + \frac{\frac{s}{2}}{b} = \frac{s}{2a} + \frac{s}{2b} = \frac{s(a+b)}{2ab}$
计算乙的总时间：
由题意得 $\frac{t_乙}{2} · a + \frac{t_乙}{2} · b = s$，
整理得 $t_乙(a+b) = 2s$，
因此 $t_乙 = \frac{2s}{a+b}$。
作差比较两者时间：
$\begin{aligned}t_甲 - t_乙 &= \frac{s(a+b)}{2ab} - \frac{2s}{a+b} \\&= \frac{s(a+b)^2 - 4abs}{2ab(a+b)} \\&= \frac{s(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab)}{2ab(a+b)} \\&= \frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}\end{aligned}$
由题意可知$s＞0$，$a＞0$，$b＞0$，$a≠ b$，因此$(a-b)^2＞0$，分母$2ab(a+b)＞0$，
所以 $t_甲 - t_乙 ＞ 0$，即 $t_甲 ＞ t_乙$。
答：乙旅客先到达目的地。
解析
【分析】
要判断哪名旅客先到达，本质是比较两人走完全程的总时长，总时长短的旅客先到。解题思路如下：第一步，设总路程、甲乙的总时间为未知参数；第二步，根据甲“一半路程用速度a、一半路程用速度b”的规则，利用“时间=路程÷速度”推导甲的总时间表达式；第三步，根据乙“一半时间用速度a、一半时间用速度b”的规则，利用“总路程=两段路程之和”推导乙的总时间表达式；第四步，用作差法计算两个时间的差值，通过分式混合运算化简差值，结合路程、速度均为正数且a≠b的条件判断差值的正负，即可得到两个时间的大小关系，得出结论。
【解析】
设总路程为$s$，甲旅客走完全程的时间为$t_甲$，乙旅客走完全程的时间为$t_乙$。
1. 计算甲的总时间：
甲前一半路程的耗时为$\frac{\frac{s}{2}}{a}$，后一半路程的耗时为$\frac{\frac{s}{2}}{b}$，因此：
$t_甲 = \frac{\frac{s}{2}}{a} + \frac{\frac{s}{2}}{b} = \frac{s}{2a} + \frac{s}{2b} = \frac{s(a+b)}{2ab}$
2. 计算乙的总时间：
乙一半时间行走的路程为$\frac{t_乙}{2}·a$，另一半时间行走的路程为$\frac{t_乙}{2}·b$，两段路程和为总路程$s$，因此：
$\frac{t_乙}{2} · a + \frac{t_乙}{2} · b = s$
提取公因式整理得 $t_乙(a+b) = 2s$，因此 $t_乙 = \frac{2s}{a+b}$。
3. 作差比较时间大小：
$\begin{aligned}t_甲 - t_乙 &= \frac{s(a+b)}{2ab} - \frac{2s}{a+b} \\&= \frac{s(a+b)^2 - 4abs}{2ab(a+b)} \\&= \frac{s(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab)}{2ab(a+b)} \\&= \frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}\end{aligned}$
由题意可知$s＞0$，$a＞0$，$b＞0$，且$a≠b$，因此$(a-b)^2＞0$，分母$2ab(a+b)＞0$，可得$t_甲 - t_乙 ＞ 0$，即$t_甲 ＞ t_乙$。
【答案】
乙旅客先到达目的地
【知识点】
分式的混合运算，作差法比较大小，行程问题数量关系
【点评】
本题是分式运算在实际问题中的典型应用，解题核心是合理设参数，准确根据两人的行走规则推导总时间的表达式，再通过作差法结合完全平方公式判断时间的大小关系，解题时要注意利用速度、路程均为正数的隐含条件判断差值的符号。
【难度系数】
0.6
要判断哪名旅客先到达，本质是比较两人走完全程的总时长，总时长短的旅客先到。解题思路如下：第一步，设总路程、甲乙的总时间为未知参数；第二步，根据甲“一半路程用速度a、一半路程用速度b”的规则，利用“时间=路程÷速度”推导甲的总时间表达式；第三步，根据乙“一半时间用速度a、一半时间用速度b”的规则，利用“总路程=两段路程之和”推导乙的总时间表达式；第四步，用作差法计算两个时间的差值，通过分式混合运算化简差值，结合路程、速度均为正数且a≠b的条件判断差值的正负，即可得到两个时间的大小关系，得出结论。
【解析】
设总路程为$s$，甲旅客走完全程的时间为$t_甲$，乙旅客走完全程的时间为$t_乙$。
1. 计算甲的总时间：
甲前一半路程的耗时为$\frac{\frac{s}{2}}{a}$，后一半路程的耗时为$\frac{\frac{s}{2}}{b}$，因此：
$t_甲 = \frac{\frac{s}{2}}{a} + \frac{\frac{s}{2}}{b} = \frac{s}{2a} + \frac{s}{2b} = \frac{s(a+b)}{2ab}$
2. 计算乙的总时间：
乙一半时间行走的路程为$\frac{t_乙}{2}·a$，另一半时间行走的路程为$\frac{t_乙}{2}·b$，两段路程和为总路程$s$，因此：
$\frac{t_乙}{2} · a + \frac{t_乙}{2} · b = s$
提取公因式整理得 $t_乙(a+b) = 2s$，因此 $t_乙 = \frac{2s}{a+b}$。
3. 作差比较时间大小：
$\begin{aligned}t_甲 - t_乙 &= \frac{s(a+b)}{2ab} - \frac{2s}{a+b} \\&= \frac{s(a+b)^2 - 4abs}{2ab(a+b)} \\&= \frac{s(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab)}{2ab(a+b)} \\&= \frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}\end{aligned}$
由题意可知$s＞0$，$a＞0$，$b＞0$，且$a≠b$，因此$(a-b)^2＞0$，分母$2ab(a+b)＞0$，可得$t_甲 - t_乙 ＞ 0$，即$t_甲 ＞ t_乙$。
【答案】
乙旅客先到达目的地
【知识点】
分式的混合运算，作差法比较大小，行程问题数量关系
【点评】
本题是分式运算在实际问题中的典型应用，解题核心是合理设参数，准确根据两人的行走规则推导总时间的表达式，再通过作差法结合完全平方公式判断时间的大小关系，解题时要注意利用速度、路程均为正数的隐含条件判断差值的符号。
【难度系数】
0.6
7. 已知代数式$\dfrac{x-2}{x^2 -4x +4} ÷ \dfrac{1}{x+6}$（$x$取整数），则该代数式的整数值有（）。
A.0个
B.7个
C.8个
D.无数个
A.0个
B.7个
C.8个
D.无数个
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先需将分式代数式化简为最简形式，再结合分式有意义的条件确定x的取值限制，最后根据代数式为整数的要求找出符合条件的整数x的个数。解题步骤为：第一步利用分式除法法则将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分化简；第二步明确分式有意义时x不能取的值；第三步根据最简式为整数的条件，找出所有符合要求的整数x，排除无意义的取值后统计个数即可。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&\dfrac{x-2}{x^2 -4x +4} ÷ \dfrac{1}{x+6}\\=&\dfrac{x-2}{(x-2)^2} · (x+6) \quad \mathrm{（完全平方公式因式分解，除法变乘法）}\\=&\dfrac{x+6}{x-2} \quad \mathrm{（约分，此处需满足}x≠2\mathrm{）}\\=&\dfrac{(x-2)+8}{x-2}\\=&1+\dfrac{8}{x-2}\end{aligned}$
首先确定分式有意义的条件：
1. 分母$x^2-4x+4=(x-2)^2≠0$，得$x≠2$；
2. 除数$\dfrac{1}{x+6}$有意义，得$x+6≠0$，即$x≠-6$。
要使代数式的值为整数，则$\dfrac{8}{x-2}$必须为整数，即$x-2$是8的整数约数。
8的整数约数有$\pm1,\pm2,\pm4,\pm8$，共8个，对应x的值为：
$x-2=1⇒ x=3$；$x-2=-1⇒ x=1$；
$x-2=2⇒ x=4$；$x-2=-2⇒ x=0$；
$x-2=4⇒ x=6$；$x-2=-4⇒ x=-2$；
$x-2=8⇒ x=10$；$x-2=-8⇒ x=-6$。
其中$x=-6$不符合分式有意义的条件，需排除，因此符合条件的x共有7个。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算，分式有意义的条件，整数约数
【点评】
本题是分式运算的综合题，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，直接认为8的8个约数对应8个符合条件的x，误选C，解题时要养成先确定自变量取值范围再计算的习惯。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需将分式代数式化简为最简形式，再结合分式有意义的条件确定x的取值限制，最后根据代数式为整数的要求找出符合条件的整数x的个数。解题步骤为：第一步利用分式除法法则将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分化简；第二步明确分式有意义时x不能取的值；第三步根据最简式为整数的条件，找出所有符合要求的整数x，排除无意义的取值后统计个数即可。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&\dfrac{x-2}{x^2 -4x +4} ÷ \dfrac{1}{x+6}\\=&\dfrac{x-2}{(x-2)^2} · (x+6) \quad \mathrm{（完全平方公式因式分解，除法变乘法）}\\=&\dfrac{x+6}{x-2} \quad \mathrm{（约分，此处需满足}x≠2\mathrm{）}\\=&\dfrac{(x-2)+8}{x-2}\\=&1+\dfrac{8}{x-2}\end{aligned}$
首先确定分式有意义的条件：
1. 分母$x^2-4x+4=(x-2)^2≠0$，得$x≠2$；
2. 除数$\dfrac{1}{x+6}$有意义，得$x+6≠0$，即$x≠-6$。
要使代数式的值为整数，则$\dfrac{8}{x-2}$必须为整数，即$x-2$是8的整数约数。
8的整数约数有$\pm1,\pm2,\pm4,\pm8$，共8个，对应x的值为：
$x-2=1⇒ x=3$；$x-2=-1⇒ x=1$；
$x-2=2⇒ x=4$；$x-2=-2⇒ x=0$；
$x-2=4⇒ x=6$；$x-2=-4⇒ x=-2$；
$x-2=8⇒ x=10$；$x-2=-8⇒ x=-6$。
其中$x=-6$不符合分式有意义的条件，需排除，因此符合条件的x共有7个。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算，分式有意义的条件，整数约数
【点评】
本题是分式运算的综合题，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，直接认为8的8个约数对应8个符合条件的x，误选C，解题时要养成先确定自变量取值范围再计算的习惯。
【难度系数】
0.6
8. 小敏在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污损，即$( \frac{a^2 - 2a}{a^2 - 1} - 1 ) ÷ *$，通过查看答案得知，正确答案为$\frac{1}{1 - a}$，则被污损的代数式*为().
A.$\frac{2a + 1}{a + 1}$
B.$\frac{a + 1}{2a - 1}$
C.$\frac{2a - 1}{a + 1}$
D.$\frac{a + 1}{2a - 2}$
A.$\frac{2a + 1}{a + 1}$
B.$\frac{a + 1}{2a - 1}$
C.$\frac{2a - 1}{a + 1}$
D.$\frac{a + 1}{2a - 2}$
答案
C
解析
【分析】
本题要求被污损的除式，首先根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系确定解题方向：第一步先化简括号内的分式减法运算，得到被除数的最简形式；第二步用化简后的被除数除以已知的商，通过分式的乘除运算求出被污损的代数式，计算过程中要注意分式通分、约分的规则和符号处理。
【解析】
首先化简括号内的被除数：
$\begin{aligned}\frac{a^2 - 2a}{a^2 - 1} - 1 &= \frac{a^2 - 2a}{(a-1)(a+1)} - \frac{a^2 - 1}{(a-1)(a+1)} \\&= \frac{a^2 - 2a - (a^2 - 1)}{(a-1)(a+1)} \\&= \frac{a^2 - 2a - a^2 + 1}{(a-1)(a+1)} \\&= \frac{-2a + 1}{(a-1)(a+1)} \\&= \frac{-(2a - 1)}{(a-1)(a+1)}\end{aligned}$
根据“除数=被除数÷商”，可得被污损的代数式*为：
$\begin{aligned}* &= ( \frac{-(2a - 1)}{(a-1)(a+1)} ) ÷ \frac{1}{1 - a} \\&= \frac{-(2a - 1)}{(a-1)(a+1)} × (1 - a) \\&= \frac{-(2a - 1)}{(a-1)(a+1)} × [-(a - 1)] \\&= \frac{(2a - 1)(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)} \\&= \frac{2a - 1}{a + 1}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1.分式的混合运算
2.分式的通分与约分
3.平方差公式
【点评】
本题是分式运算的逆向应用类题目，解题核心是明确除法运算各部分的关系，计算时要注意通分的正确性、去括号的符号变化，以及约分时相同因式的处理，避免因符号或约分失误出错。
【难度系数】
0.7
本题要求被污损的除式，首先根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系确定解题方向：第一步先化简括号内的分式减法运算，得到被除数的最简形式；第二步用化简后的被除数除以已知的商，通过分式的乘除运算求出被污损的代数式，计算过程中要注意分式通分、约分的规则和符号处理。
【解析】
首先化简括号内的被除数：
$\begin{aligned}\frac{a^2 - 2a}{a^2 - 1} - 1 &= \frac{a^2 - 2a}{(a-1)(a+1)} - \frac{a^2 - 1}{(a-1)(a+1)} \\&= \frac{a^2 - 2a - (a^2 - 1)}{(a-1)(a+1)} \\&= \frac{a^2 - 2a - a^2 + 1}{(a-1)(a+1)} \\&= \frac{-2a + 1}{(a-1)(a+1)} \\&= \frac{-(2a - 1)}{(a-1)(a+1)}\end{aligned}$
根据“除数=被除数÷商”，可得被污损的代数式*为：
$\begin{aligned}* &= ( \frac{-(2a - 1)}{(a-1)(a+1)} ) ÷ \frac{1}{1 - a} \\&= \frac{-(2a - 1)}{(a-1)(a+1)} × (1 - a) \\&= \frac{-(2a - 1)}{(a-1)(a+1)} × [-(a - 1)] \\&= \frac{(2a - 1)(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)} \\&= \frac{2a - 1}{a + 1}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1.分式的混合运算
2.分式的通分与约分
3.平方差公式
【点评】
本题是分式运算的逆向应用类题目，解题核心是明确除法运算各部分的关系，计算时要注意通分的正确性、去括号的符号变化，以及约分时相同因式的处理，避免因符号或约分失误出错。
【难度系数】
0.7
9.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验田都收获了b kg的小麦。设“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量分别为P kg/m²和Q kg/m²。用含a,b的式子进行填空。
(1)$P=$ kg/m²，$Q=$ kg/m²；
(2)$P$是$Q$的倍。
(1)$P=$ kg/m²，$Q=$ kg/m²；
(2)$P$是$Q$的倍。
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{b}{a^2-1}}$，$\boldsymbol{\frac{b}{(a-1)^2}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{a-1}{a+1}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{a-1}{a+1}}$
解析
【分析】
解题时先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。首先分别计算两块试验田的种植面积，再结合总产量b分别表示出P和Q；求P是Q的几倍，只需用P除以Q，按照分式除法的运算法则计算，结合因式分解约分得到最终结果即可。
【解析】
(1) 先计算两块试验田的面积：
“丰收1号”试验田面积为边长为a m的正方形面积减去边长为1m的正方形面积，即$S_1=a^2-1^2=a^2-1 \ \mathrm{m}^2$，
已知总产量为b kg，因此单位面积产量$P=\frac{\mathrm{总产量}}{\mathrm{面积}}=\frac{b}{a^2-1}\ \mathrm{kg/m}^2$；
“丰收2号”试验田是边长为$(a-1)\mathrm{m}$的正方形，面积为$S_2=(a-1)^2 \ \mathrm{m}^2$，
同理可得单位面积产量$Q=\frac{b}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m}^2$。
(2) 求P是Q的几倍，即计算$P÷ Q$：
将P、Q代入得：
$\begin{aligned}P÷ Q&=\frac{b}{a^2-1}÷\frac{b}{(a-1)^2}\\&=\frac{b}{a^2-1}×\frac{(a-1)^2}{b}\\&=\frac{b}{(a+1)(a-1)}×\frac{(a-1)^2}{b}\\&=\frac{a-1}{a+1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{b}{a^2-1}}$，$\boldsymbol{\frac{b}{(a-1)^2}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{a-1}{a+1}}$
【知识点】
列分式、分式运算、因式分解
【点评】
本题结合实际场景考查分式的应用，解题的核心是先正确求出两块试验田的面积，再结合单位产量的数量关系列出分式，运算过程中要注意先对多项式因式分解再约分，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
解题时先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。首先分别计算两块试验田的种植面积，再结合总产量b分别表示出P和Q；求P是Q的几倍，只需用P除以Q，按照分式除法的运算法则计算，结合因式分解约分得到最终结果即可。
【解析】
(1) 先计算两块试验田的面积：
“丰收1号”试验田面积为边长为a m的正方形面积减去边长为1m的正方形面积，即$S_1=a^2-1^2=a^2-1 \ \mathrm{m}^2$，
已知总产量为b kg，因此单位面积产量$P=\frac{\mathrm{总产量}}{\mathrm{面积}}=\frac{b}{a^2-1}\ \mathrm{kg/m}^2$；
“丰收2号”试验田是边长为$(a-1)\mathrm{m}$的正方形，面积为$S_2=(a-1)^2 \ \mathrm{m}^2$，
同理可得单位面积产量$Q=\frac{b}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m}^2$。
(2) 求P是Q的几倍，即计算$P÷ Q$：
将P、Q代入得：
$\begin{aligned}P÷ Q&=\frac{b}{a^2-1}÷\frac{b}{(a-1)^2}\\&=\frac{b}{a^2-1}×\frac{(a-1)^2}{b}\\&=\frac{b}{(a+1)(a-1)}×\frac{(a-1)^2}{b}\\&=\frac{a-1}{a+1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{b}{a^2-1}}$，$\boldsymbol{\frac{b}{(a-1)^2}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{a-1}{a+1}}$
【知识点】
列分式、分式运算、因式分解
【点评】
本题结合实际场景考查分式的应用，解题的核心是先正确求出两块试验田的面积，再结合单位产量的数量关系列出分式，运算过程中要注意先对多项式因式分解再约分，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
