10. 计算:
(1) $(\dfrac{3x}{y})^2 · \dfrac{1}{3x+y} - \dfrac{x}{y} ÷ \dfrac{y}{3}$;
(2) $(a - 1 - \dfrac{4a -1}{a+1}) ÷ \dfrac{a^2 -8a +16}{a+1}$.

解：
(1) 原式$=\dfrac{9x^2}{y^2}·\dfrac{1}{3x+y} - \dfrac{x}{y}·\dfrac{3}{y}$
$=\dfrac{9x^2}{y^2(3x+y)} - \dfrac{3x}{y^2}$
$=\dfrac{9x^2}{y^2(3x+y)} - \dfrac{3x(3x+y)}{y^2(3x+y)}$
$=\dfrac{9x^2 - 9x^2 - 3xy}{y^2(3x+y)}$
$=\dfrac{-3xy}{y^2(3x+y)}$
$=-\dfrac{3x}{y(3x+y)}$
(2) 原式$=[\dfrac{(a-1)(a+1)}{a+1} - \dfrac{4a-1}{a+1}] ÷ \dfrac{(a-4)^2}{a+1}$
$=\dfrac{a^2 -1 -4a +1}{a+1} · \dfrac{a+1}{(a-4)^2}$
$=\dfrac{a^2 -4a}{a+1} · \dfrac{a+1}{(a-4)^2}$
$=\dfrac{a(a-4)}{a+1} · \dfrac{a+1}{(a-4)^2}$
$=\dfrac{a}{a-4}$

【分析】
分式混合运算的运算顺序和整数混合运算一致：先算乘方，后算乘除，最后算加减，有括号先计算括号内的内容；除法运算要先转化为乘法运算，异分母分式加减要先通分转为同分母分式再计算，最终结果要化为最简分式。
(1)小题解题思路：先计算乘方$(\dfrac{3x}{y})^2$，再将后面的除法$\dfrac{x}{y} ÷ \dfrac{y}{3}$转化为乘法计算，得到两个分式后找最简公分母通分，做减法运算后合并分子的同类项，最后约去分子分母的公因式得到最简结果。
(2)小题解题思路：先处理括号内的减法，将$a-1$看作分母为1的分式，通分后和$\dfrac{4a-1}{a+1}$做减法，再将括号外的除法转化为乘法，同时对分子分母中可因式分解的多项式先因式分解，最后约去公因式得到最简结果，计算时注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{9x^2}{y^2}·\dfrac{1}{3x+y} - \dfrac{x}{y}·\dfrac{3}{y}$
$=\dfrac{9x^2}{y^2(3x+y)} - \dfrac{3x}{y^2}$
$=\dfrac{9x^2}{y^2(3x+y)} - \dfrac{3x(3x+y)}{y^2(3x+y)}$
$=\dfrac{9x^2 - 9x^2 - 3xy}{y^2(3x+y)}$
$=\dfrac{-3xy}{y^2(3x+y)}$
$=-\dfrac{3x}{y(3x+y)}$
(2) 原式$=[\dfrac{(a-1)(a+1)}{a+1} - \dfrac{4a-1}{a+1}] ÷ \dfrac{(a-4)^2}{a+1}$
$=\dfrac{a^2 -1 -4a +1}{a+1} · \dfrac{a+1}{(a-4)^2}$
$=\dfrac{a^2 -4a}{a+1} · \dfrac{a+1}{(a-4)^2}$
$=\dfrac{a(a-4)}{a+1} · \dfrac{a+1}{(a-4)^2}$
$=\dfrac{a}{a-4}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3x}{y(3x+y)}$；(2) $\dfrac{a}{a-4}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，考查对分式运算规则、通分、约分、因式分解的掌握程度，计算过程中要格外注意符号处理，通分要找准最简公分母，约分要确认公因式，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.7

11. 先化简$\frac{x^2 - 2x +1}{x^2 -1} ÷ ( \frac{x-1}{x+1} -1 )$，然后从$-2,-1,1$中选择一个合适的数代入求值.

解：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} ÷ ( \frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} )$
$=\frac{x-1}{x+1} ÷ \frac{x-1 - x -1}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1} ÷ \frac{-2}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1} · \frac{x+1}{-2}$
$=\frac{1-x}{2}$
由分式有意义的条件可知：$x^2-1≠0$，$x+1≠0$，即$x≠\pm1$，
因此只能选取$x=-2$代入求值。
当$x=-2$时，
原式$=\frac{1 - (-2)}{2}=\frac{3}{2}$

【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分为三步：①先遵循分式运算顺序，先计算括号内的减法，将1通分为与括号内分式同分母的形式，算出括号内的结果；②将分式的除法转化为乘法，同时对分子分母中能因式分解的部分先因式分解，再约分得到最简式子；③根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0），排除不符合要求的x的取值，选择合适的x代入最简式计算结果。
【解析】
解：先对原式因式分解、通分计算：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} ÷ ( \frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} )$
$=\frac{x-1}{x+1} ÷ \frac{x-1 - x -1}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1} ÷ \frac{-2}{x+1}$
将除法转化为乘法约分：
$=\frac{x-1}{x+1} · \frac{x+1}{-2}$
$=\frac{1-x}{2}$
再确定x的取值：要使分式有意义，则分母不为0，即$x^2-1≠0$且$x+1≠0$，解得$x≠\pm1$，因此只能选取$x=-2$代入。
将$x=-2$代入最简式：
原式$=\frac{1 - (-2)}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
化简结果为$\frac{1-x}{2}$，代入$x=-2$得值为$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题考查分式化简求值的综合应用，运算时要严格遵循分式运算顺序，通分、去括号时要注意符号变化，易错点是代入取值时忽略分式分母不能为0的要求，需先筛选合法的x值再代入计算。
【难度系数】
0.7

12. 阅读下列材料.
我们知道,假分数可以化为带分数.例如:
$\frac{8}{3}=2+\frac{2}{3}=2\frac{2}{3}$.在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.例如:$\frac{x-1}{x+1},\frac{x^2}{x-1}$这样的分式就是“假分式”;$\frac{3}{x+1},\frac{2x}{x^2+1}$这样的分式就是“真分式”.类似地,“假分式”也可以化为“带分式”,即整式与“真分式”和的形式.
例如:$\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1)-2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$;
$\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$.
(1)分式$\frac{2}{x}$是“分式”;(填“真”或“假”)
(2)将分式$\frac{x-1}{x+2}$化为“带分式”;
(3)若分式$\frac{2x-1}{x+1}$的值为整数,求$x$的整数值.

解：
(1) 分式$\frac{2}{x}$的分子次数为0，分母次数为1，分子次数小于分母次数，因此是真分式。
故填：真。
(2) $\frac{x-1}{x+2}$
$=\frac{(x+2)-3}{x+2}$
$=\frac{x+2}{x+2}-\frac{3}{x+2}$
$=1-\frac{3}{x+2}$
(3) $\frac{2x-1}{x+1}$
$=\frac{2(x+1)-3}{x+1}$
$=\frac{2(x+1)}{x+1}-\frac{3}{x+1}$
$=2-\frac{3}{x+1}$
∵分式$\frac{2x-1}{x+1}$的值为整数，且x为整数，
∴$\frac{3}{x+1}$为整数，
∴$x+1$是3的整数因数，即$x+1=\pm1,\pm3$，
当$x+1=1$时，$x=0$；
当$x+1=-1$时，$x=-2$；
当$x+1=3$时，$x=2$；
当$x+1=-3$时，$x=-4$。
∴x的整数值为0，-2，2，-4。

【分析】
(1) 首先根据材料给出的真、假分式定义判断：分式$\frac{2}{x}$的分子是常数，次数为0，分母是x，次数为1，分子次数小于分母次数，符合真分式的定义，即可得出结论。
(2) 仿照材料中假分式化带分式的方法，把分子$x-1$凑成含分母$x+2$的形式，即$(x+2)-3$，再将分式拆分为两个分式的差，化简后即可得到带分式。
(3) 先按照(2)的凑配方法把$\frac{2x-1}{x+1}$化为带分式，要使分式的值为整数且x为整数，则拆分后得到的真分式部分必须为整数，即分母$x+1$是分子3的整数因数，列出3的所有整数因数，分别求解x的值即可。
【解析】
(1) 分式$\frac{2}{x}$的分子次数为0，分母次数为1，分子次数小于分母次数，符合真分式的定义，因此是真分式。
(2) 对$\frac{x-1}{x+2}$变形：
$\frac{x-1}{x+2}$
$=\frac{(x+2)-3}{x+2}$
$=\frac{x+2}{x+2}-\frac{3}{x+2}$
$=1-\frac{3}{x+2}$
(3) 先化简分式$\frac{2x-1}{x+1}$：
$\frac{2x-1}{x+1}$
$=\frac{2(x+1)-3}{x+1}$
$=\frac{2(x+1)}{x+1}-\frac{3}{x+1}$
$=2-\frac{3}{x+1}$
∵分式$\frac{2x-1}{x+1}$的值为整数，且x为整数，
∴$\frac{3}{x+1}$为整数，即$x+1$是3的整数因数，
∴$x+1=\pm1,\pm3$，
当$x+1=1$时，$x=0$；
当$x+1=-1$时，$x=-2$；
当$x+1=3$时，$x=2$；
当$x+1=-3$时，$x=-4$。
【答案】
(1) 真；
(2) $1-\frac{3}{x+2}$；
(3) $x$的整数值为0、-2、2、-4。
【知识点】
1. 分式的分类
2. 分式的化简
3. 分式整数值求解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是读懂材料中的定义，掌握假分式转化为带分式的凑配技巧，求解分式整数值问题时注意不要遗漏负因数的情况，做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.7