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1. 下列计算中,正确的是().
A.$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{2m}$
B.$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x-y}=1$
C.$\frac{a}{y}·\frac{y}{a^2}=a$
D.$4xy^2÷\frac{2y^2}{x}=2x$
A.$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{2m}$
B.$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x-y}=1$
C.$\frac{a}{y}·\frac{y}{a^2}=a$
D.$4xy^2÷\frac{2y^2}{x}=2x$
答案
B
解析
【分析】
本题考查分式的四则运算，解题思路是逐一根据分式运算法则验证每个选项：同分母分式加减时，分母不变，分子相加减；分式乘法要分子乘分子、分母乘分母后约分；分式除法要先转化为乘以除数的倒数再计算，最终选出运算正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：同分母分式相加，分母不变分子相加，$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$，而非$\frac{a+b}{2m}$，故A错误；
B选项：同分母分式相减，分母不变分子相减，$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x-y}=\frac{x-y}{x-y}=1$（分式有意义时$x≠ y$），故B正确；
C选项：分式乘法运算，约分后得$\frac{a}{y}·\frac{y}{a^2}=\frac{1}{a}$，而非$a$，故C错误；
D选项：分式除法先转乘法再计算，$4xy^2÷\frac{2y^2}{x}=4xy^2×\frac{x}{2y^2}=2x^2$，而非$2x$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减，分式乘除运算，分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对分式四则运算法则的掌握，计算时要注意运算顺序和约分规则，避免因粗心导致运算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的四则运算，解题思路是逐一根据分式运算法则验证每个选项：同分母分式加减时，分母不变，分子相加减；分式乘法要分子乘分子、分母乘分母后约分；分式除法要先转化为乘以除数的倒数再计算，最终选出运算正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：同分母分式相加，分母不变分子相加，$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$，而非$\frac{a+b}{2m}$，故A错误；
B选项：同分母分式相减，分母不变分子相减，$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x-y}=\frac{x-y}{x-y}=1$（分式有意义时$x≠ y$），故B正确；
C选项：分式乘法运算，约分后得$\frac{a}{y}·\frac{y}{a^2}=\frac{1}{a}$，而非$a$，故C错误；
D选项：分式除法先转乘法再计算，$4xy^2÷\frac{2y^2}{x}=4xy^2×\frac{x}{2y^2}=2x^2$，而非$2x$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减，分式乘除运算，分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对分式四则运算法则的掌握，计算时要注意运算顺序和约分规则，避免因粗心导致运算错误。
【难度系数】
0.7
2. 化简$(1+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{x}{x^2-1}$，结果是（）。
A.$x-1$
B.$x+1$
C.$1-x$
D.$\dfrac{x+1}{x}$
A.$x-1$
B.$x+1$
C.$1-x$
D.$\dfrac{x+1}{x}$
答案
B
解析
【分析】
本题是分式的混合运算题，解题思路遵循分式运算的顺序：第一步先计算括号内的分式加法，通分后合并；第二步将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第三步对可因式分解的多项式因式分解，再通过约分化简得到最终结果。
【解析】
解：先计算括号内的加法，对1通分，将1写成分母为$x-1$的分式：
$1+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1+1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}$
再将除法转化为乘法，同时对$x^2-1$用平方差公式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，则：
原式$=\dfrac{x}{x-1}÷\dfrac{x}{x^2-1}=\dfrac{x}{x-1}×\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}$
约分，约掉分子分母的公因式$x$和$x-1$，可得：
原式$=x+1$
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，解题时需严格遵循分式运算的规则，注意通分、因式分解、约分的正确应用，除法转化为乘法是降低运算出错率的关键。
【难度系数】
0.8
本题是分式的混合运算题，解题思路遵循分式运算的顺序：第一步先计算括号内的分式加法，通分后合并；第二步将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第三步对可因式分解的多项式因式分解，再通过约分化简得到最终结果。
【解析】
解：先计算括号内的加法，对1通分，将1写成分母为$x-1$的分式：
$1+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1+1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}$
再将除法转化为乘法，同时对$x^2-1$用平方差公式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，则：
原式$=\dfrac{x}{x-1}÷\dfrac{x}{x^2-1}=\dfrac{x}{x-1}×\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}$
约分，约掉分子分母的公因式$x$和$x-1$，可得：
原式$=x+1$
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，解题时需严格遵循分式运算的规则，注意通分、因式分解、约分的正确应用，除法转化为乘法是降低运算出错率的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如果$m+n=1$，那么代数式$(1-\dfrac{m}{m-n})·\dfrac{m^2-n^2}{n}$的值为（）.
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
A
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路为：不需要单独求解m、n的取值，先按照分式混合运算的顺序，先计算括号内的分式减法，再对括号外分式的分子利用平方差公式因式分解，之后进行约分，将代数式化简为仅含m+n的最简形式，最后代入已知条件m+n=1计算即可得到结果。
【解析】
解：先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&(1-\frac{m}{m-n})·\frac{m^2-n^2}{n}\\=&(\frac{m-n}{m-n}-\frac{m}{m-n})·\frac{(m+n)(m-n)}{n}&\mathrm{（括号内通分，分子用平方差公式因式分解）}\\=&\frac{m-n - m}{m-n}·\frac{(m+n)(m-n)}{n}&\mathrm{（计算括号内的分式减法）}\\=&\frac{-n}{m-n}·\frac{(m+n)(m-n)}{n}&\mathrm{（合并分子同类项）}\\=&-(m+n)&\mathrm{（约分，约去公因式}m-n\mathrm{和}n\mathrm{）}\end{aligned}$
将$m+n=1$代入化简后的式子，得原式$=-1$。
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、整体代入求值
【点评】
本题考查分式运算的基础应用，运算时要遵守分式混合运算的顺序，优先化简后代入求值可以简化计算过程，运算中要注意符号的处理，约分要准确找准公因式，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题思路为：不需要单独求解m、n的取值，先按照分式混合运算的顺序，先计算括号内的分式减法，再对括号外分式的分子利用平方差公式因式分解，之后进行约分，将代数式化简为仅含m+n的最简形式，最后代入已知条件m+n=1计算即可得到结果。
【解析】
解：先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&(1-\frac{m}{m-n})·\frac{m^2-n^2}{n}\\=&(\frac{m-n}{m-n}-\frac{m}{m-n})·\frac{(m+n)(m-n)}{n}&\mathrm{（括号内通分，分子用平方差公式因式分解）}\\=&\frac{m-n - m}{m-n}·\frac{(m+n)(m-n)}{n}&\mathrm{（计算括号内的分式减法）}\\=&\frac{-n}{m-n}·\frac{(m+n)(m-n)}{n}&\mathrm{（合并分子同类项）}\\=&-(m+n)&\mathrm{（约分，约去公因式}m-n\mathrm{和}n\mathrm{）}\end{aligned}$
将$m+n=1$代入化简后的式子，得原式$=-1$。
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、整体代入求值
【点评】
本题考查分式运算的基础应用，运算时要遵守分式混合运算的顺序，优先化简后代入求值可以简化计算过程，运算中要注意符号的处理，约分要准确找准公因式，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
4. 当$|a|=5$时，代数式$(2-\dfrac{1}{a-2})÷\dfrac{a-5}{a^2-4}$的值为________。
答案
解：
先化简代数式：
$\begin{aligned}(2-\frac{1}{a-2})÷\frac{a-5}{a^2-4}&=\frac{2(a-2)-1}{a-2}·\frac{a^2-4}{a-5}\\&=\frac{2a-5}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-5}\\&=\frac{(2a-5)(a+2)}{a-5}\end{aligned}$
由$|a|=5$，得$a=5$或$a=-5$。
要使原式有意义，需满足$a-2≠0$，$a^2-4≠0$，$a-5≠0$，即$a≠\pm2$且$a≠5$，因此$a=-5$。
将$a=-5$代入化简后的式子：
$\frac{[2×(-5)-5]×(-5+2)}{-5-5}=\frac{(-15)×(-3)}{-10}=-\frac{9}{2}$
最终答案为$\boldsymbol{-\dfrac{9}{2}}$。
先化简代数式：
$\begin{aligned}(2-\frac{1}{a-2})÷\frac{a-5}{a^2-4}&=\frac{2(a-2)-1}{a-2}·\frac{a^2-4}{a-5}\\&=\frac{2a-5}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-5}\\&=\frac{(2a-5)(a+2)}{a-5}\end{aligned}$
由$|a|=5$，得$a=5$或$a=-5$。
要使原式有意义，需满足$a-2≠0$，$a^2-4≠0$，$a-5≠0$，即$a≠\pm2$且$a≠5$，因此$a=-5$。
将$a=-5$代入化简后的式子：
$\frac{[2×(-5)-5]×(-5+2)}{-5-5}=\frac{(-15)×(-3)}{-10}=-\frac{9}{2}$
最终答案为$\boldsymbol{-\dfrac{9}{2}}$。
解析
【分析】
解决本题可按三步思考：第一步先化简代数式，分式混合运算先计算括号内的减法，通分后将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简形式；第二步根据绝对值的性质求出a的所有可能取值，再结合分式有意义的条件（分母、除式均不为0）筛选出符合要求的a值；第三步将符合条件的a代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}(2-\frac{1}{a-2})÷\frac{a-5}{a^2-4}&=\frac{2(a-2)-1}{a-2}·\frac{a^2-4}{a-5}\\&=\frac{2a-5}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-5}\\&=\frac{(2a-5)(a+2)}{a-5}\end{aligned}$
由$|a|=5$，得$a=5$或$a=-5$。
要使原式有意义，需满足$a-2≠0$，$a^2-4≠0$，$a-5≠0$，即$a≠\pm2$且$a≠5$，因此$a=-5$。
将$a=-5$代入化简后的式子：
$\frac{[2×(-5)-5]×(-5+2)}{-5-5}=\frac{(-15)×(-3)}{-10}=-\frac{9}{2}$
【答案】
$-\dfrac{9}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，绝对值的性质
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，解题时要注意先化简再代入计算，切勿忽略分式有意义的条件，需对字母的取值进行筛选，避免直接代入$a=5$导致错误。
【难度系数】
0.6
解决本题可按三步思考：第一步先化简代数式，分式混合运算先计算括号内的减法，通分后将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简形式；第二步根据绝对值的性质求出a的所有可能取值，再结合分式有意义的条件（分母、除式均不为0）筛选出符合要求的a值；第三步将符合条件的a代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}(2-\frac{1}{a-2})÷\frac{a-5}{a^2-4}&=\frac{2(a-2)-1}{a-2}·\frac{a^2-4}{a-5}\\&=\frac{2a-5}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a-5}\\&=\frac{(2a-5)(a+2)}{a-5}\end{aligned}$
由$|a|=5$，得$a=5$或$a=-5$。
要使原式有意义，需满足$a-2≠0$，$a^2-4≠0$，$a-5≠0$，即$a≠\pm2$且$a≠5$，因此$a=-5$。
将$a=-5$代入化简后的式子：
$\frac{[2×(-5)-5]×(-5+2)}{-5-5}=\frac{(-15)×(-3)}{-10}=-\frac{9}{2}$
【答案】
$-\dfrac{9}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，绝对值的性质
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，解题时要注意先化简再代入计算，切勿忽略分式有意义的条件，需对字母的取值进行筛选，避免直接代入$a=5$导致错误。
【难度系数】
0.6
5. 先化简,再求值:$\frac{x+1}{x^2 -2x +1} ÷ (1 + \frac{2}{x-1})$,其中$x=4$.
答案
解：
先对原式变形化简：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$
$1+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}$
原式$=\frac{x+1}{(x-1)^2} ÷ \frac{x+1}{x-1}$
$=\frac{x+1}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1}$
$=\frac{1}{x-1}$
将$x=4$代入化简后的式子：
$\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}$
先对原式变形化简：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$
$1+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}$
原式$=\frac{x+1}{(x-1)^2} ÷ \frac{x+1}{x-1}$
$=\frac{x+1}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1}$
$=\frac{1}{x-1}$
将$x=4$代入化简后的式子：
$\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，遵循先化简再代值的思路求解：第一步先对多项式因式分解，原式中分母$x^2-2x+1$是完全平方式，可分解为$(x-1)^2$；第二步计算括号内的分式加法，将整数1通分为分母为$x-1$的分式，和$\frac{2}{x-1}$同分母相加得到括号内的结果；第三步将分式除法转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数），再约去分子分母的公因式得到最简分式；最后代入$x=4$计算数值即可，运算时注意要保证所有分母不为0。
【解析】
解：先对原式变形化简：
1. 因式分解分母：$x^2-2x+1=(x-1)^2$
2. 计算括号内的加法：$1+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}$
3. 转换除法为乘法并约分：
原式$=\frac{x+1}{(x-1)^2} ÷ \frac{x+1}{x-1}$
$=\frac{x+1}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1}$
$=\frac{1}{x-1}$
4. 代入$x=4$求值：
将$x=4$代入化简后的式子得：$\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的混合运算、完全平方公式、分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题型，重点考察分式通分、约分、因式分解的掌握程度，运算时需遵循先括号内后括号外的顺序，除法转化为乘法后再约分，代入数值前要注意验证原分式的分母不为0。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，遵循先化简再代值的思路求解：第一步先对多项式因式分解，原式中分母$x^2-2x+1$是完全平方式，可分解为$(x-1)^2$；第二步计算括号内的分式加法，将整数1通分为分母为$x-1$的分式，和$\frac{2}{x-1}$同分母相加得到括号内的结果；第三步将分式除法转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数），再约去分子分母的公因式得到最简分式；最后代入$x=4$计算数值即可，运算时注意要保证所有分母不为0。
【解析】
解：先对原式变形化简：
1. 因式分解分母：$x^2-2x+1=(x-1)^2$
2. 计算括号内的加法：$1+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}$
3. 转换除法为乘法并约分：
原式$=\frac{x+1}{(x-1)^2} ÷ \frac{x+1}{x-1}$
$=\frac{x+1}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x+1}$
$=\frac{1}{x-1}$
4. 代入$x=4$求值：
将$x=4$代入化简后的式子得：$\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的混合运算、完全平方公式、分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题型，重点考察分式通分、约分、因式分解的掌握程度，运算时需遵循先括号内后括号外的顺序，除法转化为乘法后再约分，代入数值前要注意验证原分式的分母不为0。
【难度系数】
0.8
1. 计算 $1-\frac{3a}{2b}-\frac{3a}{2b}·\frac{2b}{2a}$，结果是（）。
A.$\frac{a-b}{a}$
B.$\frac{b-a}{b}$
C.$\frac{3a-2b}{3a}$
D.$\frac{-b-3a}{2b}$
A.$\frac{a-b}{a}$
B.$\frac{b-a}{b}$
C.$\frac{3a-2b}{3a}$
D.$\frac{-b-3a}{2b}$
答案
D
解析
【分析】
这是分式混合运算类题目，解题需遵循分式混合运算“先乘除，后加减”的运算规则：第一步先计算乘法项，对两个相乘的分式先约分再计算得到最简结果；第二步将剩余的常数项和分式通分，转化为同分母分式的加减运算，最后化简结果和选项比对即可。
【解析】
解：按照分式混合运算顺序计算：
1. 先算乘法：$\frac{3a}{2b}·\frac{2b}{2a}$，分子分母的公因式$2b$、$a$约分后，得$\frac{3}{2}$；
2. 代入原式化简：
$1-\frac{3a}{2b}-\frac{3}{2}$
$=(1-\frac{3}{2})-\frac{3a}{2b}$
$=-\frac{1}{2}-\frac{3a}{2b}$
3. 通分计算：将$-\frac{1}{2}$化为分母为$2b$的分式，即$-\frac{1}{2}=-\frac{b}{2b}$，代入得：
$-\frac{b}{2b}-\frac{3a}{2b}=\frac{-b-3a}{2b}$
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算；分式约分；分式加减运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考点是运算顺序的掌握，解题时需注意不要因忽略“先乘除后加减”的规则先计算减法项导致错误，约分、通分时要注意分子分母的变形正确性。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算类题目，解题需遵循分式混合运算“先乘除，后加减”的运算规则：第一步先计算乘法项，对两个相乘的分式先约分再计算得到最简结果；第二步将剩余的常数项和分式通分，转化为同分母分式的加减运算，最后化简结果和选项比对即可。
【解析】
解：按照分式混合运算顺序计算：
1. 先算乘法：$\frac{3a}{2b}·\frac{2b}{2a}$，分子分母的公因式$2b$、$a$约分后，得$\frac{3}{2}$；
2. 代入原式化简：
$1-\frac{3a}{2b}-\frac{3}{2}$
$=(1-\frac{3}{2})-\frac{3a}{2b}$
$=-\frac{1}{2}-\frac{3a}{2b}$
3. 通分计算：将$-\frac{1}{2}$化为分母为$2b$的分式，即$-\frac{1}{2}=-\frac{b}{2b}$，代入得：
$-\frac{b}{2b}-\frac{3a}{2b}=\frac{-b-3a}{2b}$
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算；分式约分；分式加减运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考点是运算顺序的掌握，解题时需注意不要因忽略“先乘除后加减”的规则先计算减法项导致错误，约分、通分时要注意分子分母的变形正确性。
【难度系数】
0.7
2. 计算$(\dfrac{y}{2x})^2 · \dfrac{4x}{y} - \dfrac{x}{y} ÷ \dfrac{x^2}{2y}$，结果为________。
答案
解：
原式$=\frac{y^2}{4x^2} · \frac{4x}{y} - \frac{x}{y} · \frac{2y}{x^2}$
$=\frac{y}{x} - \frac{2}{x}$
$=\frac{y-2}{x}$
原式$=\frac{y^2}{4x^2} · \frac{4x}{y} - \frac{x}{y} · \frac{2y}{x^2}$
$=\frac{y}{x} - \frac{2}{x}$
$=\frac{y-2}{x}$
解析
【分析】
解决本题需遵循分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。第一步先根据分式乘方法则计算$(\dfrac{y}{2x})^2$；第二步将分式除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），再分别计算两个乘除运算，计算过程中注意约分简化；最后对得到的两个同分母分式做减法运算，分母不变，分子相减即可得到结果。
【解析】
按照分式混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方，同时将除法转化为乘法：
原式$=\frac{y^2}{4x^2} · \frac{4x}{y} - \frac{x}{y} · \frac{2y}{x^2}$
2. 分别对两个乘除项约分计算：
$=\frac{y}{x} - \frac{2}{x}$
3. 同分母分式相减，分母不变分子相减：
$=\frac{y-2}{x}$
【答案】
$\dfrac{y-2}{x}$
【知识点】
分式乘方运算；分式乘除运算；分式加减运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式混合运算的顺序和运算法则，计算时提前约分可简化运算过程，运算中要注意除法转乘法时倒数的正确转换，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解决本题需遵循分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。第一步先根据分式乘方法则计算$(\dfrac{y}{2x})^2$；第二步将分式除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），再分别计算两个乘除运算，计算过程中注意约分简化；最后对得到的两个同分母分式做减法运算，分母不变，分子相减即可得到结果。
【解析】
按照分式混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方，同时将除法转化为乘法：
原式$=\frac{y^2}{4x^2} · \frac{4x}{y} - \frac{x}{y} · \frac{2y}{x^2}$
2. 分别对两个乘除项约分计算：
$=\frac{y}{x} - \frac{2}{x}$
3. 同分母分式相减，分母不变分子相减：
$=\frac{y-2}{x}$
【答案】
$\dfrac{y-2}{x}$
【知识点】
分式乘方运算；分式乘除运算；分式加减运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式混合运算的顺序和运算法则，计算时提前约分可简化运算过程，运算中要注意除法转乘法时倒数的正确转换，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
3. 计算:
(1) $\frac{a^2 + 2a}{a} · \frac{a}{a^2 - 4} - \frac{2}{a - 2}$;
(2) $(1 + \frac{1}{x}) ÷ \frac{x^2 + x}{x}$;
(3) $\frac{a^2 - b^2}{a} ÷ (a + \frac{b^2 - 2ab}{a})$.
(1) $\frac{a^2 + 2a}{a} · \frac{a}{a^2 - 4} - \frac{2}{a - 2}$;
(2) $(1 + \frac{1}{x}) ÷ \frac{x^2 + x}{x}$;
(3) $\frac{a^2 - b^2}{a} ÷ (a + \frac{b^2 - 2ab}{a})$.
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}原式&=\frac{a(a+2)}{a}·\frac{a}{(a+2)(a-2)}-\frac{2}{a-2}\\&=\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a-2}\\&=\frac{a-2}{a-2}\\&=1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+1}{x}÷\frac{x(x+1)}{x}\\&=\frac{x+1}{x}·\frac{x}{x(x+1)}\\&=\frac{1}{x}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+b)(a-b)}{a}÷\frac{a^2+b^2-2ab}{a}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{a}·\frac{a}{(a-b)^2}\\&=\frac{a+b}{a-b}\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}原式&=\frac{a(a+2)}{a}·\frac{a}{(a+2)(a-2)}-\frac{2}{a-2}\\&=\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a-2}\\&=\frac{a-2}{a-2}\\&=1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+1}{x}÷\frac{x(x+1)}{x}\\&=\frac{x+1}{x}·\frac{x}{x(x+1)}\\&=\frac{1}{x}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+b)(a-b)}{a}÷\frac{a^2+b^2-2ab}{a}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{a}·\frac{a}{(a-b)^2}\\&=\frac{a+b}{a-b}\end{aligned}$
解析
【分析】
分式混合运算需遵循运算规则：①运算顺序：有括号先算括号内，无括号时先乘除后加减；②运算前先对分子、分母中的多项式进行因式分解，方便后续约分简化；③乘除运算时，除法先转化为乘法，再交叉约分；加减运算时，异分母先通分化为同分母分式，再将分子相加减，最终结果要化为最简分式或整式。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=\frac{a(a+2)}{a}·\frac{a}{(a+2)(a-2)}-\frac{2}{a-2}\\&=\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a-2}\\&=\frac{a-2}{a-2}\\&=1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+1}{x}÷\frac{x(x+1)}{x}\\&=\frac{x+1}{x}·\frac{x}{x(x+1)}\\&=\frac{1}{x}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+b)(a-b)}{a}÷\frac{a^2+b^2-2ab}{a}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{a}·\frac{a}{(a-b)^2}\\&=\frac{a+b}{a-b}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{x}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{a+b}{a-b}}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分通分
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，侧重考察分式运算规则和因式分解的应用，熟练掌握因式分解方法、严格遵循运算顺序计算即可正确求解，能有效巩固分式运算的基础能力。
【难度系数】
0.8
分式混合运算需遵循运算规则：①运算顺序：有括号先算括号内，无括号时先乘除后加减；②运算前先对分子、分母中的多项式进行因式分解，方便后续约分简化；③乘除运算时，除法先转化为乘法，再交叉约分；加减运算时，异分母先通分化为同分母分式，再将分子相加减，最终结果要化为最简分式或整式。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=\frac{a(a+2)}{a}·\frac{a}{(a+2)(a-2)}-\frac{2}{a-2}\\&=\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a-2}\\&=\frac{a-2}{a-2}\\&=1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+1}{x}÷\frac{x(x+1)}{x}\\&=\frac{x+1}{x}·\frac{x}{x(x+1)}\\&=\frac{1}{x}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+b)(a-b)}{a}÷\frac{a^2+b^2-2ab}{a}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{a}·\frac{a}{(a-b)^2}\\&=\frac{a+b}{a-b}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{x}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{a+b}{a-b}}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分通分
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，侧重考察分式运算规则和因式分解的应用，熟练掌握因式分解方法、严格遵循运算顺序计算即可正确求解，能有效巩固分式运算的基础能力。
【难度系数】
0.8
