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4. 反比例函数 $y=\dfrac{3m-4}{x}$ 的图象上有两点 $P(3, y_1)$，$Q(2, y_2)$，且 $y_1 ＜ y_2$，则 $m$ 的取值范围是
$m＞\frac{4}{3}$
。答案
4. $m＞\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时首先观察两点的横坐标都为正数，可知两点位于同一象限（第一象限）；再结合x的大小关系3＞2与对应的函数值大小关系y₁＜y₂，可判断出该反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小；根据反比例函数的增减性与比例系数k的关系，得到k=3m-4＞0，最后解不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
解：
∵点P(3,y₁)、Q(2,y₂)的横坐标均为正数，
∴两点都在反比例函数图象的第一象限分支上，
已知3＞2，且y₁＜y₂，说明在第一象限内，y随x的增大而减小，
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＞0$时，每个象限内y随x的增大而减小，
因此可得$3m-4＞0$，
解这个不等式：
$3m＞4$，
$m＞\dfrac{4}{3}$。
【答案】
$m＞\dfrac{4}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先确定两点所在的象限，再结合函数值的大小关系判断比例系数的符号，要注意反比例函数的增减性需要在同一象限内讨论。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察两点的横坐标都为正数，可知两点位于同一象限（第一象限）；再结合x的大小关系3＞2与对应的函数值大小关系y₁＜y₂，可判断出该反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小；根据反比例函数的增减性与比例系数k的关系，得到k=3m-4＞0，最后解不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
解：
∵点P(3,y₁)、Q(2,y₂)的横坐标均为正数，
∴两点都在反比例函数图象的第一象限分支上，
已知3＞2，且y₁＜y₂，说明在第一象限内，y随x的增大而减小，
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＞0$时，每个象限内y随x的增大而减小，
因此可得$3m-4＞0$，
解这个不等式：
$3m＞4$，
$m＞\dfrac{4}{3}$。
【答案】
$m＞\dfrac{4}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先确定两点所在的象限，再结合函数值的大小关系判断比例系数的符号，要注意反比例函数的增减性需要在同一象限内讨论。
【难度系数】
0.7
抛物线 $y_1 = ax^2 + bx + c$ 与双曲线 $y_2 = \frac{k}{x}$ 的图象如图所示，当 $y_1 ＞ y_2$ 时，$x$ 的取值范围是
解析 根据函数图象可得当 $y_1 ＞ y_2$ 时，$x$ 的取值范围是 $-1 ＜ x ＜ 0$ 或 $1 ＜ x ＜ 4$.
答案 $-1 ＜ x ＜ 0$ 或 $1 ＜ x ＜ 4$
$-1 ＜ x ＜ 0$ 或 $1 ＜ x ＜ 4$
.解析 根据函数图象可得当 $y_1 ＞ y_2$ 时，$x$ 的取值范围是 $-1 ＜ x ＜ 0$ 或 $1 ＜ x ＜ 4$.
答案 $-1 ＜ x ＜ 0$ 或 $1 ＜ x ＜ 4$
答案
根据函数图象可得当 $y_1 ＞ y_2$ 时，$x$ 的取值范围是 $-1 ＜ x ＜ 0$ 或 $1 ＜ x ＜ 4$。
解析
【分析】
要判断$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，核心思路是：同一$x$值下，图象位置更高的函数值更大。首先找到两个函数图象的所有交点，交点处$y_1=y_2$，这些交点的横坐标会把$x$轴分成若干段，再逐段判断抛物线是否在双曲线上方即可；注意反比例函数自变量$x$不能为$0$，所以分段时要把$x=0$也作为分界点，从图中可得两函数交点的横坐标分别为$x=-1$、$x=1$、$x=4$，据此划分区间后逐段判断即可。
【解析】
观察图象可知，抛物线与双曲线的交点横坐标分别为$x=-1$、$x=1$、$x=4$，且反比例函数自变量$x≠0$，因此将$x$的取值范围划分为以下区间逐一判断：
1. 当$x＜-1$时，双曲线在抛物线上方，即$y_2＞y_1$，不符合要求；
2. 当$-1＜x＜0$时，抛物线在双曲线上方，即$y_1＞y_2$，符合要求；
3. 当$0＜x＜1$时，双曲线在抛物线上方，即$y_2＞y_1$，不符合要求；
4. 当$1＜x＜4$时，抛物线在双曲线上方，即$y_1＞y_2$，符合要求；
5. 当$x＞4$时，双曲线在抛物线上方，即$y_2＞y_1$，不符合要求。
综上可得$y_1＞y_2$时$x$的取值范围。
【答案】
$-1＜x＜0$或$1＜x＜4$
【知识点】
函数值大小比较，反比例函数图象，二次函数图象
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的关键是先通过交点确定分段区间，再逐段对比图象高低，要特别注意反比例函数自变量不能为0，避免遗漏或错误划分区间。
【难度系数】
0.6
要判断$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，核心思路是：同一$x$值下，图象位置更高的函数值更大。首先找到两个函数图象的所有交点，交点处$y_1=y_2$，这些交点的横坐标会把$x$轴分成若干段，再逐段判断抛物线是否在双曲线上方即可；注意反比例函数自变量$x$不能为$0$，所以分段时要把$x=0$也作为分界点，从图中可得两函数交点的横坐标分别为$x=-1$、$x=1$、$x=4$，据此划分区间后逐段判断即可。
【解析】
观察图象可知，抛物线与双曲线的交点横坐标分别为$x=-1$、$x=1$、$x=4$，且反比例函数自变量$x≠0$，因此将$x$的取值范围划分为以下区间逐一判断：
1. 当$x＜-1$时，双曲线在抛物线上方，即$y_2＞y_1$，不符合要求；
2. 当$-1＜x＜0$时，抛物线在双曲线上方，即$y_1＞y_2$，符合要求；
3. 当$0＜x＜1$时，双曲线在抛物线上方，即$y_2＞y_1$，不符合要求；
4. 当$1＜x＜4$时，抛物线在双曲线上方，即$y_1＞y_2$，符合要求；
5. 当$x＞4$时，双曲线在抛物线上方，即$y_2＞y_1$，不符合要求。
综上可得$y_1＞y_2$时$x$的取值范围。
【答案】
$-1＜x＜0$或$1＜x＜4$
【知识点】
函数值大小比较，反比例函数图象，二次函数图象
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的关键是先通过交点确定分段区间，再逐段对比图象高低，要特别注意反比例函数自变量不能为0，避免遗漏或错误划分区间。
【难度系数】
0.6
5. 在同一平面直角坐标系中，函数$y=mx-m$与$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）的图象可能是（
）
）答案
B
解析
【分析】
解题时可通过分类讨论参数m的正负性，结合一次函数、反比例函数的图象性质，分别判断两种情况下两个函数的图象特征，再和选项逐一比对即可得到答案。首先回忆：一次函数y=kx+b中，k决定直线倾斜方向，b决定直线与y轴的交点位置；反比例函数y=k/x中，k的正负决定双曲线所在的象限。
【解析】
我们分两种情况讨论m的取值：
1. 当$m＞0$时：
① 一次函数$y=mx-m$：斜率$m＞0$，直线从左下向右上倾斜，过一、三象限；常数项$-m＜0$，直线与y轴交于负半轴，因此该一次函数图象过一、三、四象限。
② 反比例函数$y=\frac{m}{x}$：$m＞0$，图象分布在第一、三象限。
观察选项，没有符合该特征的选项，排除$m＞0$的情况。
2. 当$m＜0$时：
① 一次函数$y=mx-m$：斜率$m＜0$，直线从左上向右下倾斜，过二、四象限；常数项$-m＞0$，直线与y轴交于正半轴，因此该一次函数图象过一、二、四象限。
② 反比例函数$y=\frac{m}{x}$：$m＜0$，图象分布在第二、四象限。
观察选项，只有B选项符合上述特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的函数图象判断题，核心是掌握参数对函数图象的影响，通过分类讨论逐一排除错误选项，是考查函数基础性质的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时可通过分类讨论参数m的正负性，结合一次函数、反比例函数的图象性质，分别判断两种情况下两个函数的图象特征，再和选项逐一比对即可得到答案。首先回忆：一次函数y=kx+b中，k决定直线倾斜方向，b决定直线与y轴的交点位置；反比例函数y=k/x中，k的正负决定双曲线所在的象限。
【解析】
我们分两种情况讨论m的取值：
1. 当$m＞0$时：
① 一次函数$y=mx-m$：斜率$m＞0$，直线从左下向右上倾斜，过一、三象限；常数项$-m＜0$，直线与y轴交于负半轴，因此该一次函数图象过一、三、四象限。
② 反比例函数$y=\frac{m}{x}$：$m＞0$，图象分布在第一、三象限。
观察选项，没有符合该特征的选项，排除$m＞0$的情况。
2. 当$m＜0$时：
① 一次函数$y=mx-m$：斜率$m＜0$，直线从左上向右下倾斜，过二、四象限；常数项$-m＞0$，直线与y轴交于正半轴，因此该一次函数图象过一、二、四象限。
② 反比例函数$y=\frac{m}{x}$：$m＜0$，图象分布在第二、四象限。
观察选项，只有B选项符合上述特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的函数图象判断题，核心是掌握参数对函数图象的影响，通过分类讨论逐一排除错误选项，是考查函数基础性质的常见题型。
【难度系数】
0.7
6. 函数$y_1=ax^2+bx+c$与$y_2=\frac{k}{x}$的图象如图
所示，若$y_1$，$y_2$均随着$x$的增大而减小，则（
A.$x＜-1$
B.$-1＜x＜0$
C.$x＞1$
D.$0＜x＜2$
所示，若$y_1$，$y_2$均随着$x$的增大而减小，则（C
）A.$x＜-1$
B.$-1＜x＜0$
C.$x＞1$
D.$0＜x＜2$
答案
6. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先分别确定两个函数各自随x增大而减小的取值范围，再取两个范围的公共部分即可得到答案。首先分析二次函数的增减性：观察图像可知二次函数开口向下、对称轴为直线x=1，根据二次函数性质，开口向下时对称轴右侧y随x增大而减小；再分析反比例函数的增减性：反比例函数图像在第一、三象限，说明k＞0，此时反比例函数在每个象限内y随x增大而减小；最后取两个递减区间的公共部分即可。
【解析】
1. 分析二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的增减性：
由图像可知，$y_1$开口向下，对称轴为直线$x=1$，根据二次函数的性质，开口向下的抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞1$时，$y_1$随$x$增大而减小。
2. 分析反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的增减性：
由图像可知，$y_2$的图像分布在第一、三象限，因此$k＞0$，根据反比例函数的性质，$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，即$x＞0$时$y_2$随$x$增大而减小，$x＜0$时$y_2$也随$x$增大而减小。
3. 取公共区间：
要使$y_1$、$y_2$均随$x$增大而减小，需同时满足两个函数的递减条件：$y_1$递减要求$x＞1$，此时$x＞0$，恰好满足$y_2$的递减条件，因此符合要求的$x$的范围是$x＞1$。
对应选项选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的增减性，反比例函数的增减性，函数图像应用
【点评】
本题考查结合函数图像判断函数增减性，解题的核心是分别求出两个函数的单调递减区间，再取公共范围，需要注意反比例函数的增减性限定在每个象限内，不能跨象限判断。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要先分别确定两个函数各自随x增大而减小的取值范围，再取两个范围的公共部分即可得到答案。首先分析二次函数的增减性：观察图像可知二次函数开口向下、对称轴为直线x=1，根据二次函数性质，开口向下时对称轴右侧y随x增大而减小；再分析反比例函数的增减性：反比例函数图像在第一、三象限，说明k＞0，此时反比例函数在每个象限内y随x增大而减小；最后取两个递减区间的公共部分即可。
【解析】
1. 分析二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的增减性：
由图像可知，$y_1$开口向下，对称轴为直线$x=1$，根据二次函数的性质，开口向下的抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞1$时，$y_1$随$x$增大而减小。
2. 分析反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的增减性：
由图像可知，$y_2$的图像分布在第一、三象限，因此$k＞0$，根据反比例函数的性质，$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，即$x＞0$时$y_2$随$x$增大而减小，$x＜0$时$y_2$也随$x$增大而减小。
3. 取公共区间：
要使$y_1$、$y_2$均随$x$增大而减小，需同时满足两个函数的递减条件：$y_1$递减要求$x＞1$，此时$x＞0$，恰好满足$y_2$的递减条件，因此符合要求的$x$的范围是$x＞1$。
对应选项选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的增减性，反比例函数的增减性，函数图像应用
【点评】
本题考查结合函数图像判断函数增减性，解题的核心是分别求出两个函数的单调递减区间，再取公共范围，需要注意反比例函数的增减性限定在每个象限内，不能跨象限判断。
【难度系数】
0.7
