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14.(本小题满分8分)如图，$△ ABC$与$△ DEF$关于直线$l$对称.
(1)点A的对应点为
(2)若$AB=4$，$AC=5$，求$EF$的取值范围.
(1)点A的对应点为
点D
，$∠ B$的对应角为$∠ E$
；(2)若$AB=4$，$AC=5$，求$EF$的取值范围.
答案
14. 解:(1)点D ∠E (2)
∵AB=4,AC=5,
∴5-4＜BC＜5+4,即1＜BC＜9.
∵△ABC与△DEF关于直线l对称,
∴BC=EF.
∴1＜EF＜9.
∵AB=4,AC=5,
∴5-4＜BC＜5+4,即1＜BC＜9.
∵△ABC与△DEF关于直线l对称,
∴BC=EF.
∴1＜EF＜9.
解析
【分析】
(1) 解决第一问需依据轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形，对应点、对应角一一对应，结合图形即可直接找到对应点和对应角。
(2) 解决第二问的思路：要求EF的取值范围，首先根据轴对称的性质可知△ABC和△DEF全等，对应边相等，因此EF=BC，所以只需先利用三角形三边关系“任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求出BC的取值范围，即可得到EF的取值范围。
【解析】
(1)
∵△ABC与△DEF关于直线l对称，成轴对称的两个图形对应点、对应角分别对应，
∴点A的对应点为点D，∠B的对应角为∠E。
(2) 在△ABC中，根据三角形三边关系：
已知$AB=4$，$AC=5$，
∴$AC-AB ＜ BC ＜ AC+AB$，
代入数值计算得$5-4 ＜ BC ＜ 5+4$，即$1 ＜ BC ＜ 9$。
又
∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴△ABC≌△DEF，对应边$BC=EF$，
∴$1 ＜ EF ＜ 9$。
【答案】
(1) 点D，$∠ E$；(2) $1＜EF＜9$
【知识点】
轴对称的性质，三角形三边关系，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查轴对称性质的理解和三角形三边关系的应用，解题关键是明确成轴对称的两个图形全等，对应边、对应角相等，再结合三角形三边关系求解即可。
【难度系数】
0.9
(1) 解决第一问需依据轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形，对应点、对应角一一对应，结合图形即可直接找到对应点和对应角。
(2) 解决第二问的思路：要求EF的取值范围，首先根据轴对称的性质可知△ABC和△DEF全等，对应边相等，因此EF=BC，所以只需先利用三角形三边关系“任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求出BC的取值范围，即可得到EF的取值范围。
【解析】
(1)
∵△ABC与△DEF关于直线l对称，成轴对称的两个图形对应点、对应角分别对应，
∴点A的对应点为点D，∠B的对应角为∠E。
(2) 在△ABC中，根据三角形三边关系：
已知$AB=4$，$AC=5$，
∴$AC-AB ＜ BC ＜ AC+AB$，
代入数值计算得$5-4 ＜ BC ＜ 5+4$，即$1 ＜ BC ＜ 9$。
又
∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴△ABC≌△DEF，对应边$BC=EF$，
∴$1 ＜ EF ＜ 9$。
【答案】
(1) 点D，$∠ E$；(2) $1＜EF＜9$
【知识点】
轴对称的性质，三角形三边关系，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查轴对称性质的理解和三角形三边关系的应用，解题关键是明确成轴对称的两个图形全等，对应边、对应角相等，再结合三角形三边关系求解即可。
【难度系数】
0.9
15.(本小题满分10分)如图，$△ ABC$的边$BC$上的高为$AF$，中线为$AD$，$AC$边上的高为$BG$.已知$AF=6$，$BD=5$，$BG=8$.
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)求$AC$的长.
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)求$AC$的长.
答案
15. 解:(1)
∵AD是△ABC的边BC上的中线,
∴BC=2BD=10.
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AF=30$.(2)
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BG$,
∴$\frac{1}{2}AC×8=30$,
∴AC=7.5.
∵AD是△ABC的边BC上的中线,
∴BC=2BD=10.
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AF=30$.(2)
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BG$,
∴$\frac{1}{2}AC×8=30$,
∴AC=7.5.
解析
【分析】
(1) 要计算△ABC的面积，已知BC边上的高AF的长度，只需先求出底BC的长度即可。已知AD是BC边上的中线，根据三角形中线平分对边的性质，可得BC=2BD，代入BD的数值即可得到BC的长，再代入三角形面积公式就能算出面积。
(2) 要求AC的长，已知AC边上的高BG，且第一问已经求出△ABC的面积，同一个三角形用不同的底和对应高计算得到的面积相等，因此利用等面积法列等式即可求出AC的长度。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BC=2BD=2×5=10，
又
∵BC边上的高AF=6，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AF=\frac{1}{2}×10×6=30$。
(2)
∵AC边上的高为BG=8，且△ABC的面积为30，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BG$，
代入数值得$\frac{1}{2}×AC×8=30$，
解得AC=7.5。
【答案】
(1) $\boxed{30}$
(2) $\boxed{7.5}$
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考察三角形中线性质和面积公式的灵活运用，解题的关键是掌握同一个三角形用不同底与对应高计算的面积相等的规律，熟练掌握该方法可快速解决同类几何计算问题。
【难度系数】
0.8
(1) 要计算△ABC的面积，已知BC边上的高AF的长度，只需先求出底BC的长度即可。已知AD是BC边上的中线，根据三角形中线平分对边的性质，可得BC=2BD，代入BD的数值即可得到BC的长，再代入三角形面积公式就能算出面积。
(2) 要求AC的长，已知AC边上的高BG，且第一问已经求出△ABC的面积，同一个三角形用不同的底和对应高计算得到的面积相等，因此利用等面积法列等式即可求出AC的长度。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BC=2BD=2×5=10，
又
∵BC边上的高AF=6，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AF=\frac{1}{2}×10×6=30$。
(2)
∵AC边上的高为BG=8，且△ABC的面积为30，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BG$，
代入数值得$\frac{1}{2}×AC×8=30$，
解得AC=7.5。
【答案】
(1) $\boxed{30}$
(2) $\boxed{7.5}$
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考察三角形中线性质和面积公式的灵活运用，解题的关键是掌握同一个三角形用不同底与对应高计算的面积相等的规律，熟练掌握该方法可快速解决同类几何计算问题。
【难度系数】
0.8
16.(本小题满分12分)小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其作了进一步的探究:在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,如图,点A表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时,小球从OA摆到OB,此时过点B作BD⊥OA于点D;当小球摆到OC位置时,OB与OC恰好垂直(图中的点A,B,O,C均在同一平面上),过点C作CE⊥OA于点E,测得BD=8 cm,OB=17 cm.求AE的长.
答案
16. 解:
∵OB⊥OC,
∴∠BOD+∠COE=90°.又
∵CE⊥OA,BD⊥OA,
∴∠CEO=∠ODB=90°.
∴∠BOD+∠B=90°.
∴∠COE=∠B.在△COE和△OBD中,$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB, \\ ∠COE=∠B, \\ CO=OB, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD(AAS).
∴OE=BD=8 cm.
∵OA=OB=17 cm,
∴AE=OA-OE=9 cm.
∵OB⊥OC,
∴∠BOD+∠COE=90°.又
∵CE⊥OA,BD⊥OA,
∴∠CEO=∠ODB=90°.
∴∠BOD+∠B=90°.
∴∠COE=∠B.在△COE和△OBD中,$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB, \\ ∠COE=∠B, \\ CO=OB, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD(AAS).
∴OE=BD=8 cm.
∵OA=OB=17 cm,
∴AE=OA-OE=9 cm.
解析
【分析】
首先明确同一根细绳长度不变，可得OB=OC=OA=17cm。解题时先根据垂直关系推导角的数量关系：由OB⊥OC可得∠BOD+∠COE=90°，由BD⊥OA可得Rt△OBD中∠BOD+∠B=90°，利用“同角的余角相等”可推出∠COE=∠B；再结合CE⊥OA、BD⊥OA得到的两个直角，以及OB=OC的条件，可用AAS证明△COE≌△OBD，得到OE=BD=8cm，最后利用AE=OA-OE即可计算出结果。
【解析】
解：
∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
在Rt△OBD中，∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B，
在△COE和△OBD中，
$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB \\ ∠COE=∠B \\ CO=OB \end{cases}$
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE=BD=8 cm，
又
∵OA、OB均为细绳长度，
∴OA=OB=17 cm，
∴AE=OA-OE=17-8=9 cm。
【答案】
9 cm
【知识点】
全等三角形的判定与性质，余角的性质，线段和差计算
【点评】
本题结合物理单摆情境考查几何知识的应用，解题的关键是结合实际情境得到相等的线段，再利用垂直关系推导角相等，进而证明三角形全等，实现线段长度的代换计算，侧重考查基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确同一根细绳长度不变，可得OB=OC=OA=17cm。解题时先根据垂直关系推导角的数量关系：由OB⊥OC可得∠BOD+∠COE=90°，由BD⊥OA可得Rt△OBD中∠BOD+∠B=90°，利用“同角的余角相等”可推出∠COE=∠B；再结合CE⊥OA、BD⊥OA得到的两个直角，以及OB=OC的条件，可用AAS证明△COE≌△OBD，得到OE=BD=8cm，最后利用AE=OA-OE即可计算出结果。
【解析】
解：
∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
在Rt△OBD中，∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B，
在△COE和△OBD中，
$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB \\ ∠COE=∠B \\ CO=OB \end{cases}$
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE=BD=8 cm，
又
∵OA、OB均为细绳长度，
∴OA=OB=17 cm，
∴AE=OA-OE=17-8=9 cm。
【答案】
9 cm
【知识点】
全等三角形的判定与性质，余角的性质，线段和差计算
【点评】
本题结合物理单摆情境考查几何知识的应用，解题的关键是结合实际情境得到相等的线段，再利用垂直关系推导角相等，进而证明三角形全等，实现线段长度的代换计算，侧重考查基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
