8. 如图,在△ABC中,∠B=34°,∠ACB=78°,根据尺规作图痕迹可知∠α的度数为 ()

A.66°
B.77°
C.78°
D.101°




(第8题图)
(第9题图)
(第10题图)
(第11题图)

8. C

【分析】
解题时首先要识别尺规作图的类型，本题的作图痕迹是过三角形顶点作BC边的平行线，作图原理是构造相等的内错角。我们可以直接利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，找到与∠α对应的内错角，即可快速求出∠α的度数。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，所作直线与BC互相平行，∠α与∠ACB是一组内错角。
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得：
∠α = ∠ACB = 78°
【答案】
C
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 尺规作图识别
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是正确识别尺规作图的操作，结合平行线的性质即可快速得到结果，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.8

二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分)
9. 如图,为使人字梯更为稳固,在梯子中间安装一个“拉杆”,这样做利用的数学原理是.

9. 三角形具有稳定性

【分析】
解题时首先观察安装拉杆后人字梯形成的几何结构：拉杆和人字梯的两个侧边共同围成了三角形，接下来回忆几何图形的特性：四边形具有不稳定性、容易发生形变，而三角形具有不易变形的特性即稳定性，安装拉杆就是为了利用三角形的这个特性提升梯子的稳固性，由此可推导出对应的数学原理。
【解析】
在人字梯中间安装拉杆后，梯子的两根支撑边与拉杆共同构成了三角形结构，三角形具有不易变形的特性（即稳定性），能够避免人字梯使用时发生侧滑、形变，提升结构稳固性，因此对应的数学原理是三角形具有稳定性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题考查三角形稳定性在实际生活中的应用，贴近日常场景，引导学生学会用数学知识解释生活中的常见设计。
【难度系数】
0.9

10.如图，AB,CD相交于点E，$△ ABC ≌ △ ADE$，$∠ DAB = 28°$，则$∠ ACD$的度数为。

10. $76°$

【分析】
解题时首先从已知的全等三角形出发，回忆全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等。第一步根据全等关系得到AC=AE，以及∠BAC=∠DAE，通过角的和差关系推导出∠CAE=∠DAB=28°；第二步发现△ACE是等腰三角形，结合三角形内角和定理，计算等腰三角形的底角∠ACE的度数，由于点E在CD上，∠ACE就是所求的∠ACD。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △ADE，
∴AC = AE，∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC - ∠BAE = ∠DAE - ∠BAE，即∠CAE = ∠DAB = 28°，
∵AC = AE，
∴△ACE是等腰三角形，∠ACE = ∠AEC，
根据三角形内角和为180°，在△ACE中：
∠ACE + ∠AEC + ∠CAE = 180°，
代入已知条件得2∠ACE + 28° = 180°，
解得∠ACE = (180° - 28°) ÷ 2 = 76°，
又
∵点E在CD上，
∴∠ACD = ∠ACE = 76°。
【答案】
76°
【知识点】
全等三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题的核心是通过全等三角形的性质挖掘出相等的边和角，进而构造等腰三角形求解，注重对基础几何性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7

11.如图,点 P 在∠AOB 内部,E,F 分别是点 P 关于直线 OA,OB 的对称点.若∠P=140°,则∠EOF 的度数为.

11. $80°$

【分析】
解题时首先结合轴对称的性质思考：点关于直线对称时，对称轴是对应点连线的垂直平分线，且对称轴平分对应点与顶点连线的夹角。我们可以先连接OP，推导得出∠EOF=2∠AOB，将问题转化为求∠AOB的度数；再利用四边形内角和为360°，结合已知∠P的度数求出∠AOB，最后计算得到∠EOF的度数。
【解析】
1. 连接OP，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N。
2.
∵E是点P关于直线OA的对称点，根据轴对称的性质，OA平分∠EOP，
∴∠EOA=∠AOP；同理，F是点P关于直线OB的对称点，OB平分∠FOP，
∴∠FOB=∠BOP。
因此∠EOF=∠EOA+∠AOP+∠POB+∠BOF=2(∠AOP+∠POB)=2∠AOB。
3. 在四边形OMPN中，∠OMP=∠ONP=90°（垂直的定义），∠MPN=∠P=140°，根据四边形内角和为360°，可得：
∠AOB=360°-∠OMP-∠ONP-∠MPN=360°-90°-90°-140°=40°。
4. 代入得∠EOF=2×40°=80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
轴对称的性质，四边形内角和，角的和差计算
【点评】
本题属于几何基础应用类题目，核心考查轴对称性质的灵活运用，解题的关键是通过轴对称的性质将未知角∠EOF转化为2倍的∠AOB，再结合四边形内角和公式求解，掌握轴对称对应角相等的性质是突破本题的核心。
【难度系数】
0.7

12. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, AC=6, BC=8, AB=10, BD$ 平分 $∠ ABC$. 如果 $M,N$ 分别为边 $BD,BC$ 上的动点(点 $M,N$ 不与端点重合), 那么 $CM+MN$ 的最小值是.

12. 4.8

【分析】
本题属于几何最短路径问题，结合角平分线性质求解即可。解题思路如下：首先BD是∠ABC的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以利用该性质将线段和进行转化：要使CM+MN最小，可将两条线段的和转化为点到直线的垂线段长度（垂线段最短），作CE⊥AB交BD于M，过M作MN⊥BC于N，此时MN=ME，CM+MN就转化为CE的长度，CE就是Rt△ABC斜边AB上的高，计算出CE的长度就是所求最小值。
【解析】
1. 过点C作$CE⊥ AB$，垂足为E，CE交BD于点M，过点M作$MN⊥ BC$于点N。
2.
∵BD平分$∠ ABC$，$ME⊥ AB$，$MN⊥ BC$，根据角平分线的性质可得：$MN=ME$。
3. 因此$CM+MN=CM+ME=CE$，根据垂线段最短，此时CM+MN取得最小值，最小值等于CE的长度。
4. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，利用三角形等面积法计算CE：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× CE$
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CE$，
解得：$CE=\frac{48}{10}=4.8$。
【答案】
$\boxed{4.8}$
【知识点】
角平分线的性质，最短路径问题，等面积法求高
【点评】
本题综合考查了角平分线的性质、几何最值的转化思路和三角形高的计算，解题核心是通过角平分线的性质将线段和转化为点到直线的垂线段，体现了转化思想在几何最值问题中的应用，需要学生熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6

三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分10分)(1)已知$A(m+1,n-2),B(4,3)$,若$A,B$两点关于$x$轴对称,求$m-n$的值；
(2)如图,已知$AD⊥BE$,垂足$C$是$BE$的中点,$AB=DE$.求证:$Rt△ABC≌Rt△DEC$.

13. (1)解:
∵A,B两点关于x轴对称,
∴m+1=4,n-2=-3,解得m=3,n=-1.
∴m-n=3-(-1)=4.(2)证明:
∵AD⊥BE,
∴∠ACB=∠DCE=90°.
∵C是BE的中点,
∴BC=EC.在Rt△ABC和Rt△DEC中,$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EC, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL).

【分析】
(1) 解题时先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数。根据该规律列出关于m、n的方程，求解得到m、n的取值后，代入m-n计算即可得到结果。
(2) 要证明两个直角三角形全等，首先根据AD⊥BE可确定两个三角形均为直角三角形，再结合C是BE中点得到一组直角边相等，已知斜边AB=DE，满足直角三角形全等判定的HL定理，即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵A、B两点关于x轴对称，
∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，即$m+1=4$，$n-2=-3$，
解得$m=3$，$n=-1$，
∴$m-n=3-(-1)=4$。
(2) 证明：
∵$AD⊥BE$，垂足为C，
∴$∠ACB=∠DCE=90°$，即$△ABC$和$△DEC$都是直角三角形，
∵C是BE的中点，
∴$BC=EC$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEC$中，
$\begin{cases} AB=DE \\ BC=EC \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC$（HL）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m-n=4}$；
(2) 已证得$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC$。
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题分为两个小问，分别考查平面直角坐标系中点的对称性质和直角三角形全等的判定，均为基础考点，只要熟练掌握相关性质和判定定理，梳理清楚题给条件即可顺利解答。
【难度系数】
0.85