17.(本小题满分12分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E.过点B作BF//AC,交DE的延长线于点F,连接CF,交AD于点G.
(1)求证:AD⊥CF;
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.

17. (1)证明:
∵AC//BF,∠ACB=90°,
∴∠DBF=180°-∠ACB=90°.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC.
∴∠DBE=45°.
∴∠EBF=∠DBF-∠DBE=45°.
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°.
∴∠BDE=90°-∠DBE=45°.
∴∠BFE=90°-∠BDE=45°=∠BDE.
∴BF=BD.
∵D为BC的中点,
∴CD=BD.
∴BF=CD.在△ACD和△CBF中,$\begin{cases} AC=CB, \\ ∠ACD=∠CBF, \\ CD=BF, \end{cases}$
∴△ACD≌△CBF(SAS).
∴∠CAD=∠BCF.
∵∠ACD=90°,
∴∠ACG+∠BCF=90°.
∴∠ACG+∠CAD=90°.
∴∠AGC=180°-(∠ACG+∠CAD)=90°.
∴AD⊥CF.(2)解:△ACF是等腰三角形.理由如下:由(1)知△ACD≌△CBF,
∴AD=CF.
∵BD=BF,AB⊥DF,
∴BE垂直平分DF.
∴AD=AF.
∴CF=AF.
∴△ACF是等腰三角形.

【分析】
(1)要证明AD⊥CF，即证两线夹角为90°，思路如下：首先利用AC//BF和等腰直角△ABC的性质推导角度，得到BF=BD=CD，再通过SAS证明△ACD≌△CBF，得到对应角∠CAD=∠BCF，通过角度代换可推出∠CAD+∠ACF=90°，即可得到∠AGC=90°，证得垂直。
(2)判断△ACF的形状，需验证边的关系：由(1)的全等结论可得AD=CF，再结合AB⊥DE、BD=BF可知AB是DF的垂直平分线，根据垂直平分线性质得AD=AF，等量代换得CF=AF，即可判断三角形形状。
【解析】
(1)证明：
∵AC//BF，∠ACB=90°，
∴∠DBF=180°-∠ACB=90°。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠CBA=45°，
∴∠EBF=∠DBF-∠CBA=90°-45°=45°。
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=90°-∠CBA=45°，
∴∠BFE=90°-∠BDE=45°=∠BDE，
∴BF=BD。
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴BF=CD。
在△ACD和△CBF中，
$\begin{cases} AC=CB, \\ ∠ACD=∠CBF=90°, \\ CD=BF, \end{cases}$
∴△ACD≌△CBF(SAS)，
∴∠CAD=∠BCF。
∵∠ACB=90°，即∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠ACG+∠CAD=90°，
∴∠AGC=180°-(∠ACG+∠CAD)=90°，
∴AD⊥CF。
(2)△ACF是等腰三角形，理由如下：
由(1)知△ACD≌△CBF，
∴AD=CF。
∵BD=BF，AB⊥DF，
∴AB垂直平分DF，
∴AD=AF，
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形。
【答案】
(1)AD⊥CF，证明成立；
(2)△ACF是等腰三角形。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于三角形综合基础题，解题的关键是通过平行线、等腰直角三角形的角度性质推导边相等，构造全等三角形，再结合线段垂直平分线的性质推导线段关系，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

18.(本小题满分12分)P,Q分别是等边三角形ABC的边AB,BC上的动点(点P,Q不与端点重合),点P,Q以相同的速度,同时分别从点A,B出发.
(1)如图①,连接AQ,CP.求证:△ABQ≌△CAP.
(2)如图①,当点P,Q分别在边AB,BC上运动时,AQ,CP相交于点M,∠QMC的度数是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(3)如图②,当点P,Q分别在边AB,BC的延长线上运动时,直线AQ,CP相交于点M,∠QMC的度数是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.

18. (1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABQ=∠CAP=60°,AB=CA.又
∵点P,Q的运动速度相同,
∴AP = BQ. 在△ABQ 和 △CAP 中,$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ABQ=∠CAP, \\ BQ=AP, \end{cases}$
∴△ABQ ≌ △CAP (SAS).(2)解:当点P,Q分别在边AB,BC上运动时,∠QMC的度数不变.由(1)知△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP.
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
∴当点P,Q分别在边AB,BC上运动时,∠QMC的度数不变,为60°.(3)解:当点P,Q分别在边AB,BC的延长线上运动时,∠QMC的度数不变.易证△ABQ≌△CAP.
∴∠BAQ=∠ACP.
∴∠QMC=∠BAQ+∠APM=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC.
∵∠PAC=60°,
∴∠QMC=120°.
∴当点P,Q分别在边AB,BC的延长线上运动时,∠QMC的度数不变,为120°.

【分析】
(1) 要证明△ABQ≌△CAP，首先从已知条件推导全等所需的边、角相等关系：先利用等边三角形的性质得到AB=CA、∠ABQ=∠CAP=60°，再根据P、Q速度相同、同时出发，可得相同时间内运动路程相等，即AP=BQ，满足SAS全等判定条件即可证明。
(2) 判断∠QMC的度数是否变化，可借助(1)的全等结论得到对应角相等，再结合三角形外角的性质，将∠QMC转化为等边三角形的内角，即可得出定值。
(3) 当P、Q在边的延长线上运动时，仍然先通过等边三角形性质和AP=BQ的条件证明△ABQ≌△CAP，再利用角的等量代换、三角形内角和或外角性质，将∠QMC转化为与等边三角形内角相关的角，即可求出定值。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA。
又
∵点P，Q的运动速度相同，且同时出发，
∴AP = BQ。
在△ABQ 和 △CAP 中，
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ABQ=∠CAP, \\ BQ=AP, \end{cases}$
∴△ABQ ≌ △CAP (SAS)。
(2) 解：∠QMC的度数不变，理由如下：
由(1)知△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP。
根据三角形外角的性质，$∠ QMC=∠ ACP+∠ MAC$，
∴$∠ QMC=∠ BAQ+∠ MAC=∠ BAC=60°$。
(3) 解：∠QMC的度数不变，理由如下：
当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，同理可得AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，$∠ ABQ=∠ CAP=60°$，
在△ABQ 和 △CAP 中，
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ABQ=∠CAP, \\ BQ=AP, \end{cases}$
∴△ABQ ≌ △CAP (SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP。
∵$∠ QMC=∠ BAQ+∠ APM=∠ ACP+∠ APM$，
在△ACP中，$∠ ACP+∠ APM+∠ PAC=180°$，且$∠ PAC=60°$，
∴$∠ QMC=180°-∠ PAC=180°-60°=120°$。
【答案】
(1) 已证△ABQ≌△CAP；
(2) ∠QMC度数不变，为$60°$；
(3) ∠QMC度数不变，为$120°$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是结合动点的几何综合题，核心是抓住运动过程中“AP=BQ”这一不变量，通过全等三角形实现角的等量代换，进而求解角的定值，要求熟练掌握全等判定方法和角的转化技巧。
【难度系数】
0.7