登录
1. 下列各式是分式的是 （
A.$\frac{1}{2-a}$
B.$\frac{x}{π -3}$
C.$-\frac{y}{5}$
D.$\frac{x}{2}+y$
A
）A.$\frac{1}{2-a}$
B.$\frac{x}{π -3}$
C.$-\frac{y}{5}$
D.$\frac{x}{2}+y$
答案
1. A
解析
【分析】
解题的核心是掌握分式的判定标准，首先回忆分式的定义：两个整式A、B相除，若分母B中含有字母（注意π是常数，不属于字母），则$\frac{A}{B}$是分式。解题时我们可以根据这个定义逐个排查每个选项的分母是否含有字母，即可选出正确答案。
【解析】
根据分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有不为0的字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式，其中π是固定的常数，不属于字母。
对各选项逐一分析：
A. 式子$\frac{1}{2-a}$的分母为$2-a$，含有字母a，符合分式的定义，是分式；
B. 式子$\frac{x}{π -3}$的分母为$π-3$，π是常数，因此分母是常数，属于整式，不是分式；
C. 式子$-\frac{y}{5}$的分母为5，是常数，属于整式，不是分式；
D. 式子$\frac{x}{2}+y$是两个单项式的和，属于整式中的多项式，不是分式。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式的定义
2. 整式的识别
3. 圆周率的属性
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分分式和整式，常见易错点是误将圆周率π当成字母，只要牢记分式的判断依据是分母含字母、π为常数，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85
解题的核心是掌握分式的判定标准，首先回忆分式的定义：两个整式A、B相除，若分母B中含有字母（注意π是常数，不属于字母），则$\frac{A}{B}$是分式。解题时我们可以根据这个定义逐个排查每个选项的分母是否含有字母，即可选出正确答案。
【解析】
根据分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有不为0的字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式，其中π是固定的常数，不属于字母。
对各选项逐一分析：
A. 式子$\frac{1}{2-a}$的分母为$2-a$，含有字母a，符合分式的定义，是分式；
B. 式子$\frac{x}{π -3}$的分母为$π-3$，π是常数，因此分母是常数，属于整式，不是分式；
C. 式子$-\frac{y}{5}$的分母为5，是常数，属于整式，不是分式；
D. 式子$\frac{x}{2}+y$是两个单项式的和，属于整式中的多项式，不是分式。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式的定义
2. 整式的识别
3. 圆周率的属性
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分分式和整式，常见易错点是误将圆周率π当成字母，只要牢记分式的判断依据是分母含字母、π为常数，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85
2.若分式$\frac{3}{2x - 6}$有意义，则$x$的取值范围是 （
A.$x≠3$
B.$x≠-3$
C.$x＞3$
D.$x＞-3$
A
）A.$x≠3$
B.$x≠-3$
C.$x＞3$
D.$x＞-3$
答案
2. A
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式的核心性质：分式有意义的前提是分母不能为0。解题时第一步先找到题中分式的分母为2x-6，第二步列出分母不等于0的不等式，第三步解这个一元一次不等式得到x的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，分式的分母不能为0，可得：
$2x - 6 ≠ 0$
移项得：$2x ≠ 6$
两边同时除以2得：$x ≠ 3$
因此x的取值范围是$x≠3$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记分式有意义时分母不为0的性质，结合简单的一元一次不等式求解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式的核心性质：分式有意义的前提是分母不能为0。解题时第一步先找到题中分式的分母为2x-6，第二步列出分母不等于0的不等式，第三步解这个一元一次不等式得到x的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，分式的分母不能为0，可得：
$2x - 6 ≠ 0$
移项得：$2x ≠ 6$
两边同时除以2得：$x ≠ 3$
因此x的取值范围是$x≠3$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记分式有意义时分母不为0的性质，结合简单的一元一次不等式求解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
3. 下列分式是最简分式的是 （
A.$\frac{x+1}{x^2 -1}$
B.$\frac{x+2}{x^2 +1}$
C.$\frac{y}{2y^2}$
D.$\frac{6}{3y+3}$
B
）A.$\frac{x+1}{x^2 -1}$
B.$\frac{x+2}{x^2 +1}$
C.$\frac{y}{2y^2}$
D.$\frac{6}{3y+3}$
答案
3. B
解析
【分析】
要判断哪个选项是最简分式，首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路是逐个分析选项，先把能因式分解的分子、分母进行因式分解，再判断分子分母是否存在公因式，没有公因式的就是最简分式。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：分母$x^2-1$可利用平方差公式因式分解为$(x+1)(x-1)$，与分子$x+1$有公因式$x+1$，可约分为$\frac{1}{x-1}$，不是最简分式；
B选项：分子为$x+2$，分母$x^2+1$在实数范围内无法因式分解，且分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式；
C选项：分母$2y^2$与分子$y$有公因式$y$，可约分为$\frac{1}{2y}$，不是最简分式；
D选项：分母$3y+3$可提取公因式3得到$3(y+1)$，与分子6有公因式3，可约分为$\frac{2}{y+1}$，不是最简分式。
所以符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式部分的基础题型，解题关键是牢记最简分式的判定规则，同时熟练掌握因式分解的常用方法，快速判断分子分母是否存在公因式，这类题的掌握程度会直接影响后续分式运算的熟练度。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项是最简分式，首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路是逐个分析选项，先把能因式分解的分子、分母进行因式分解，再判断分子分母是否存在公因式，没有公因式的就是最简分式。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：分母$x^2-1$可利用平方差公式因式分解为$(x+1)(x-1)$，与分子$x+1$有公因式$x+1$，可约分为$\frac{1}{x-1}$，不是最简分式；
B选项：分子为$x+2$，分母$x^2+1$在实数范围内无法因式分解，且分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式；
C选项：分母$2y^2$与分子$y$有公因式$y$，可约分为$\frac{1}{2y}$，不是最简分式；
D选项：分母$3y+3$可提取公因式3得到$3(y+1)$，与分子6有公因式3，可约分为$\frac{2}{y+1}$，不是最简分式。
所以符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式部分的基础题型，解题关键是牢记最简分式的判定规则，同时熟练掌握因式分解的常用方法，快速判断分子分母是否存在公因式，这类题的掌握程度会直接影响后续分式运算的熟练度。
【难度系数】
0.8
4. 人体中的红细胞的直径约为0.000 007 7 m，将数据0.000 007 7用科学记数法表示为（
A.$77× 10^{-5}$
B.$0.77× 10^{-7}$
C.$7.7× 10^{-6}$
D.$7.7× 10^{-7}$
C
）A.$77× 10^{-5}$
B.$0.77× 10^{-7}$
C.$7.7× 10^{-6}$
D.$7.7× 10^{-7}$
答案
4. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的统一形式为$a × 10^{-n}$，其中必须满足$1≤ a ＜10$，n为正整数。解题时第一步先根据a的取值范围排除不符合的选项，第二步再确定指数n的数值，就能选出正确答案。
【解析】
用科学记数法表示绝对值小于1的正数，形式为$a× 10^{-n}$，其中$1≤ |a|＜10$，n为原数左起第一个不为零的数字前面所有0的个数（包含整数位的0）。
1. 确定a的取值：要将0.0000077转化为$a× 10^{-n}$的形式，需满足$1≤ a＜10$，因此$a=7.7$，据此排除A选项（$77＞10$不符合要求）、B选项（$0.77＜1$不符合要求）。
2. 确定n的取值：原数0.0000077中，左起第一个不为0的数字是7，它前面共有6个0，因此$n=6$，可得$0.0000077=7.7× 10^{-6}$，排除D选项。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较小数的应用，解题核心是牢记a的取值范围和n的确定方法，掌握规则即可快速解题，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的统一形式为$a × 10^{-n}$，其中必须满足$1≤ a ＜10$，n为正整数。解题时第一步先根据a的取值范围排除不符合的选项，第二步再确定指数n的数值，就能选出正确答案。
【解析】
用科学记数法表示绝对值小于1的正数，形式为$a× 10^{-n}$，其中$1≤ |a|＜10$，n为原数左起第一个不为零的数字前面所有0的个数（包含整数位的0）。
1. 确定a的取值：要将0.0000077转化为$a× 10^{-n}$的形式，需满足$1≤ a＜10$，因此$a=7.7$，据此排除A选项（$77＞10$不符合要求）、B选项（$0.77＜1$不符合要求）。
2. 确定n的取值：原数0.0000077中，左起第一个不为0的数字是7，它前面共有6个0，因此$n=6$，可得$0.0000077=7.7× 10^{-6}$，排除D选项。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较小数的应用，解题核心是牢记a的取值范围和n的确定方法，掌握规则即可快速解题，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 若$x=4$是分式方程$\frac{a+2}{x-3}-\frac{1}{2x-7}=2$的解，则$a$的值是（
A.$-1$
B.$-3$
C.$1$
D.$3$
C
）A.$-1$
B.$-3$
C.$1$
D.$3$
答案
5. C
解析
【分析】
方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，本题已知x=4是分式方程的解，因此可以采用“代解求参”的思路：将x=4代入原分式方程，得到仅含有参数a的一元一次方程，求解该方程即可得到a的值。
【解析】
把$x=4$代入分式方程$\frac{a+2}{x-3}-\frac{1}{2x-7}=2$，可得：
先计算各分母的值：$x-3=4-3=1$，$2x-7=2×4-7=1$
代入后方程化简为：$a+2 - 1 = 2$
整理得：$a+1=2$
移项解得：$a=1$
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用方程解的定义求参数的方法，解题关键是正确代入已知解，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.85
方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，本题已知x=4是分式方程的解，因此可以采用“代解求参”的思路：将x=4代入原分式方程，得到仅含有参数a的一元一次方程，求解该方程即可得到a的值。
【解析】
把$x=4$代入分式方程$\frac{a+2}{x-3}-\frac{1}{2x-7}=2$，可得：
先计算各分母的值：$x-3=4-3=1$，$2x-7=2×4-7=1$
代入后方程化简为：$a+2 - 1 = 2$
整理得：$a+1=2$
移项解得：$a=1$
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用方程解的定义求参数的方法，解题关键是正确代入已知解，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.85
6. 已知$x-y=5,xy=3$,则$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$的值为 （
A.$\frac{5}{3}$
B.$-\frac{5}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$-\frac{3}{5}$
B
）A.$\frac{5}{3}$
B.$-\frac{5}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$-\frac{3}{5}$
答案
6. B
解析
【分析】
要计算$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$的值，首先观察已知条件给出的是$x-y$和$xy$的整体值，因此不需要单独求解$x$、$y$的数值，先对待求的分式进行通分化简，将其转化为用$x-y$和$xy$表示的形式，再整体代入已知数值计算即可，化简时要注意分子运算的符号处理。
【解析】
首先对$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$通分，公分母为$xy$：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}=\frac{y-x}{xy}$
由$x-y=5$可得$y-x=-(x-y)=-5$，又已知$xy=3$，将两者代入上式：
$\frac{y-x}{xy}=\frac{-5}{3}=-\frac{5}{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，解题的核心是先将待求分式化简变形为含有已知条件的形式，利用整体代入的方法计算，既简化了运算，也避免了单独求解未知数可能出现的错误，解题时需注意符号变化避免出错。
【难度系数】
0.7
要计算$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$的值，首先观察已知条件给出的是$x-y$和$xy$的整体值，因此不需要单独求解$x$、$y$的数值，先对待求的分式进行通分化简，将其转化为用$x-y$和$xy$表示的形式，再整体代入已知数值计算即可，化简时要注意分子运算的符号处理。
【解析】
首先对$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$通分，公分母为$xy$：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}=\frac{y-x}{xy}$
由$x-y=5$可得$y-x=-(x-y)=-5$，又已知$xy=3$，将两者代入上式：
$\frac{y-x}{xy}=\frac{-5}{3}=-\frac{5}{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，解题的核心是先将待求分式化简变形为含有已知条件的形式，利用整体代入的方法计算，既简化了运算，也避免了单独求解未知数可能出现的错误，解题时需注意符号变化避免出错。
【难度系数】
0.7
7.若$a=-0.2^2,b=-2^{-2},c=(-\dfrac{1}{4})^{-2},d=(-\dfrac{1}{4})^0$，则$a,b,c,d$的大小关系为（
A.$a＜b＜c＜d$
B.$b＜a＜d＜c$
C.$a＜d＜c＜b$
D.$c＜a＜d＜b$
B
）A.$a＜b＜c＜d$
B.$b＜a＜d＜c$
C.$a＜d＜c＜b$
D.$c＜a＜d＜b$
答案
7. B
解析
【分析】
要比较a、b、c、d的大小，首先需要根据有理数乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，分别计算出四个数的具体数值，再按照有理数比较大小的规则（负数小于正数，负数比较大小时绝对值大的反而小）对四个数排序，最后对应选项即可。
【解析】
第一步：根据相关运算法则分别计算各数的值：
1. 计算$a$：负号不在乘方括号内，先算乘方再取负，$a=-0.2^2 = -(0.2×0.2) = -0.04$
2. 计算$b$：根据负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$b=-2^{-2}=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}=-0.25$
3. 计算$c$：根据负整数指数幂规则，$c=(-\frac{1}{4})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16$
4. 计算$d$：根据零指数幂规则$a^0=1(a≠0)$，可得$d=(-\frac{1}{4})^0=1$
第二步：比较大小：
负数小于正数，负数中绝对值越大数值越小，因此$-0.25 ＜ -0.04 ＜ 1 ＜ 16$，即$b ＜ a ＜ d ＜ c$。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算；负整数指数幂；零指数幂
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题核心是准确掌握各类幂的运算规则，尤其要注意区分负号是否在乘方的括号内，避免运算符号、运算顺序出错。
【难度系数】
0.7
要比较a、b、c、d的大小，首先需要根据有理数乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，分别计算出四个数的具体数值，再按照有理数比较大小的规则（负数小于正数，负数比较大小时绝对值大的反而小）对四个数排序，最后对应选项即可。
【解析】
第一步：根据相关运算法则分别计算各数的值：
1. 计算$a$：负号不在乘方括号内，先算乘方再取负，$a=-0.2^2 = -(0.2×0.2) = -0.04$
2. 计算$b$：根据负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$b=-2^{-2}=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}=-0.25$
3. 计算$c$：根据负整数指数幂规则，$c=(-\frac{1}{4})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16$
4. 计算$d$：根据零指数幂规则$a^0=1(a≠0)$，可得$d=(-\frac{1}{4})^0=1$
第二步：比较大小：
负数小于正数，负数中绝对值越大数值越小，因此$-0.25 ＜ -0.04 ＜ 1 ＜ 16$，即$b ＜ a ＜ d ＜ c$。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算；负整数指数幂；零指数幂
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题核心是准确掌握各类幂的运算规则，尤其要注意区分负号是否在乘方的括号内，避免运算符号、运算顺序出错。
【难度系数】
0.7
8.若关于$x$的分式方程$\frac{3x}{x-2}=\frac{m}{2-x}+5$的解为正数，则$m$的取值范围是（
A.$m＜-10$
B.$m≤-10$
C.$m≥-10$且$m≠-6$
D.$m＞-10$且$m≠-6$
D
）A.$m＜-10$
B.$m≤-10$
C.$m≥-10$且$m≠-6$
D.$m＞-10$且$m≠-6$
答案
8. D
解析
【分析】
解决本题需按三步思考：①先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；②根据“方程的解为正数”列不等式，求出m的初步取值范围；③结合分式方程分母不能为0的隐含条件，排除增根对应的m值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
先对原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$(x-2)$，注意$2-x=-(x-2)$，可得：
$3x = -m + 5(x-2)$
展开并整理整式方程：
$3x = -m + 5x -10$
移项合并同类项：
$-2x = -m -10$
系数化为1得：
$x = \frac{m+10}{2}$
根据题意，方程的解为正数，因此：
$\frac{m+10}{2} ＞ 0$，解得$m ＞ -10$
又因为分式方程分母不能为0，即$x-2 ≠ 0$，也就是$x ≠ 2$，代入得：
$\frac{m+10}{2} ≠ 2$，解得$m ≠ -6$
综上，$m$的取值范围是$m ＞ -10$且$m ≠ -6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式方程求解 2.解一元一次不等式 3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程参数范围类的典型题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$m ≠ -6$的限制，解题时要注意分式方程求出解后需验证是否存在增根。
【难度系数】
0.7
解决本题需按三步思考：①先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；②根据“方程的解为正数”列不等式，求出m的初步取值范围；③结合分式方程分母不能为0的隐含条件，排除增根对应的m值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
先对原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$(x-2)$，注意$2-x=-(x-2)$，可得：
$3x = -m + 5(x-2)$
展开并整理整式方程：
$3x = -m + 5x -10$
移项合并同类项：
$-2x = -m -10$
系数化为1得：
$x = \frac{m+10}{2}$
根据题意，方程的解为正数，因此：
$\frac{m+10}{2} ＞ 0$，解得$m ＞ -10$
又因为分式方程分母不能为0，即$x-2 ≠ 0$，也就是$x ≠ 2$，代入得：
$\frac{m+10}{2} ≠ 2$，解得$m ≠ -6$
综上，$m$的取值范围是$m ＞ -10$且$m ≠ -6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式方程求解 2.解一元一次不等式 3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程参数范围类的典型题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$m ≠ -6$的限制，解题时要注意分式方程求出解后需验证是否存在增根。
【难度系数】
0.7
9.若分式$\frac{x^2 -25}{x+5}$的值为0，则x的值为
5
。答案
9. 5
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记分式值为0的两个必要条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（分母为0时分式无意义，不符合值为0的前提）。解题时先令分子等于0，解出x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，即可得到正确结果。
【解析】
解：分式值为0需同时满足两个条件：
① 分子为0：$x^2 - 25 = 0$
利用平方差公式因式分解得：$(x+5)(x-5)=0$
解得：$x=5$ 或 $x=-5$
② 分母不为0：$x+5 ≠ 0$，即$x ≠ -5$
综上，舍去不符合条件的$x=-5$，得$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
分式值为0的条件；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式相关的基础易错题，易错点是求解时忽略分母不能为0的限制，仅根据分子为0得出x=±5的错误结论，做此类题时一定要注意对解出的x值进行分母不为0的验证。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，需牢记分式值为0的两个必要条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（分母为0时分式无意义，不符合值为0的前提）。解题时先令分子等于0，解出x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，即可得到正确结果。
【解析】
解：分式值为0需同时满足两个条件：
① 分子为0：$x^2 - 25 = 0$
利用平方差公式因式分解得：$(x+5)(x-5)=0$
解得：$x=5$ 或 $x=-5$
② 分母不为0：$x+5 ≠ 0$，即$x ≠ -5$
综上，舍去不符合条件的$x=-5$，得$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
分式值为0的条件；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式相关的基础易错题，易错点是求解时忽略分母不能为0的限制，仅根据分子为0得出x=±5的错误结论，做此类题时一定要注意对解出的x值进行分母不为0的验证。
【难度系数】
0.7
10. 计算$\frac{4x}{4x^2 - 9} - \frac{1}{2x - 3}$的结果是
$\frac{1}{2x+3}$
。答案
10. $\frac{1}{2x+3}$
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路清晰可分为三步：第一步先对各分母因式分解，确定最简公分母；第二步将两个分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则计算，最后约分化为最简分式。首先观察第一个分式的分母$4x^2-9$，符合平方差公式的形式，可分解为$(2x+3)(2x-3)$，第二个分式的分母是$2x-3$，因此最简公分母就是$(2x+3)(2x-3)$，通分的时候要注意第二个分式的分子也要乘$(2x+3)$，避免漏乘出错。
【解析】
解：先对分母因式分解：$4x^2 - 9=(2x+3)(2x-3)$
可得两个分式的最简公分母为$(2x+3)(2x-3)$，通分后计算：
$\begin{aligned}\frac{4x}{4x^2 - 9} - \frac{1}{2x - 3}&=\frac{4x}{(2x+3)(2x-3)} - \frac{2x+3}{(2x+3)(2x-3)}\\&=\frac{4x - (2x + 3)}{(2x+3)(2x-3)}\\&=\frac{4x - 2x - 3}{(2x+3)(2x-3)}\\&=\frac{2x - 3}{(2x+3)(2x-3)}\\&=\frac{1}{2x+3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2x+3}$
【知识点】
异分母分式加减法，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算步骤，易错点是通分时漏乘第二个分式的分子、去括号时符号出错，最后要注意将运算结果化为最简分式。
【难度系数】
0.7
这是异分母分式的减法运算，解题思路清晰可分为三步：第一步先对各分母因式分解，确定最简公分母；第二步将两个分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则计算，最后约分化为最简分式。首先观察第一个分式的分母$4x^2-9$，符合平方差公式的形式，可分解为$(2x+3)(2x-3)$，第二个分式的分母是$2x-3$，因此最简公分母就是$(2x+3)(2x-3)$，通分的时候要注意第二个分式的分子也要乘$(2x+3)$，避免漏乘出错。
【解析】
解：先对分母因式分解：$4x^2 - 9=(2x+3)(2x-3)$
可得两个分式的最简公分母为$(2x+3)(2x-3)$，通分后计算：
$\begin{aligned}\frac{4x}{4x^2 - 9} - \frac{1}{2x - 3}&=\frac{4x}{(2x+3)(2x-3)} - \frac{2x+3}{(2x+3)(2x-3)}\\&=\frac{4x - (2x + 3)}{(2x+3)(2x-3)}\\&=\frac{4x - 2x - 3}{(2x+3)(2x-3)}\\&=\frac{2x - 3}{(2x+3)(2x-3)}\\&=\frac{1}{2x+3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2x+3}$
【知识点】
异分母分式加减法，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算步骤，易错点是通分时漏乘第二个分式的分子、去括号时符号出错，最后要注意将运算结果化为最简分式。
【难度系数】
0.7
11.某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本.已知第一组同学平均每人带的图书比第二组同学多1本，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为
6
.答案
11. 6
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题思路如下：第一步设未知数，直接设第一组人数为$x$人，再根据“第二组人数是第一组人数的1.5倍”表示出第二组的人数；第二步找等量关系，核心等量关系为“第一组平均每人带的图书数量 - 第二组平均每人带的图书数量 = 1本”，其中平均每人带的图书数量=总图书数÷对应组的人数，据此可列出分式方程；第三步解方程后要检验，既要验证解是否使分式有意义，也要确认解符合实际情况。
【解析】
解：设第一组的人数为$ x $人，则第二组的人数为$ 1.5x $人。
根据题意列方程：
$\frac{24}{x} - \frac{27}{1.5x} = 1$
化简第二项得：$\frac{27}{1.5x}=\frac{18}{x}$
方程可整理为：$\frac{24}{x} - \frac{18}{x} =1$
合并计算得：$\frac{6}{x}=1$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x≠0$，$1.5x=9≠0$，且人数为正整数，符合实际意义。
故第一组的人数为6人。
【答案】
6
【知识点】
分式方程应用；找等量关系；分式方程检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题型，解题关键是精准抓住两组人均带书量的差值列方程，注意分式方程求解后必须检验，既要排除增根，也要确认解符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题思路如下：第一步设未知数，直接设第一组人数为$x$人，再根据“第二组人数是第一组人数的1.5倍”表示出第二组的人数；第二步找等量关系，核心等量关系为“第一组平均每人带的图书数量 - 第二组平均每人带的图书数量 = 1本”，其中平均每人带的图书数量=总图书数÷对应组的人数，据此可列出分式方程；第三步解方程后要检验，既要验证解是否使分式有意义，也要确认解符合实际情况。
【解析】
解：设第一组的人数为$ x $人，则第二组的人数为$ 1.5x $人。
根据题意列方程：
$\frac{24}{x} - \frac{27}{1.5x} = 1$
化简第二项得：$\frac{27}{1.5x}=\frac{18}{x}$
方程可整理为：$\frac{24}{x} - \frac{18}{x} =1$
合并计算得：$\frac{6}{x}=1$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x≠0$，$1.5x=9≠0$，且人数为正整数，符合实际意义。
故第一组的人数为6人。
【答案】
6
【知识点】
分式方程应用；找等量关系；分式方程检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题型，解题关键是精准抓住两组人均带书量的差值列方程，注意分式方程求解后必须检验，既要排除增根，也要确认解符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
12. 若关于$x$的分式方程$\frac{kx}{x-1}+1=\frac{1}{2x-2}$无解，则实数$k$的值为
$-1或\frac{1}{2}$
。答案
12. $-1或\frac{1}{2}$
解析
【分析】
分式方程无解包含两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分上述两种情况分类讨论即可求出k的取值。
【解析】
原方程分母为$x-1$和$2x-2=2(x-1)$，因此最简公分母为$2(x-1)$，方程两边同时乘以$2(x-1)$（此时要求$x≠1$），得：
$2kx + 2(x-1) = 1$
整理整式方程得：
$(2k + 2)x = 3$
分两种情况讨论原方程无解的条件：
1. 整式方程本身无解：当一次项系数为0，常数项不为0时，整式方程无解，即$2k + 2 = 0$，解得$k=-1$，此时方程变为$0·x=3$，无实数解，符合原分式方程无解的要求。
2. 整式方程的解是原分式方程的增根：原分式方程的增根为$x=1$，将$x=1$代入整式方程$(2k+2)x=3$，得$2k+2=3$，解得$k=\frac{1}{2}$，此时整式方程的解$x=1$使原分式分母为0，属于增根，原分式方程无解。
综上，实数$k$的值为$-1$或$\frac{1}{2}$。
【答案】
$-1或\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程无解的条件、分式方程的增根、解一元一次方程
【点评】
本题重点考查分式方程无解类问题的计算，解题核心是明确分式方程无解的两种情形，分类讨论时要做到不重不漏，尤其不要遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.65
分式方程无解包含两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分上述两种情况分类讨论即可求出k的取值。
【解析】
原方程分母为$x-1$和$2x-2=2(x-1)$，因此最简公分母为$2(x-1)$，方程两边同时乘以$2(x-1)$（此时要求$x≠1$），得：
$2kx + 2(x-1) = 1$
整理整式方程得：
$(2k + 2)x = 3$
分两种情况讨论原方程无解的条件：
1. 整式方程本身无解：当一次项系数为0，常数项不为0时，整式方程无解，即$2k + 2 = 0$，解得$k=-1$，此时方程变为$0·x=3$，无实数解，符合原分式方程无解的要求。
2. 整式方程的解是原分式方程的增根：原分式方程的增根为$x=1$，将$x=1$代入整式方程$(2k+2)x=3$，得$2k+2=3$，解得$k=\frac{1}{2}$，此时整式方程的解$x=1$使原分式分母为0，属于增根，原分式方程无解。
综上，实数$k$的值为$-1$或$\frac{1}{2}$。
【答案】
$-1或\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程无解的条件、分式方程的增根、解一元一次方程
【点评】
本题重点考查分式方程无解类问题的计算，解题核心是明确分式方程无解的两种情形，分类讨论时要做到不重不漏，尤其不要遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.65
