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18.(本小题满分12分)我们把多项式$a^2+2ab+b^2$及$a^2-2ab+b^2$这样的式子叫作完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式,我们常常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题.
例如,$x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-4=(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$;
$2x^2+4x-6=2(x^2+2x+1)-8=2(x+1)^2-8$,则当$x=-1$时,$2x^2+4x-6$有最小值,最小值是$-8$.
根据材料用配方法解答下列问题:
(1)若多项式$x^2-4x+k$是一个完全平方式,则常数$k$的值为
(2)当$x$为何值时,多项式$-2x^2-4x+3$有最大值?并求出这个最大值.
(3)已知$a^2+2b^2+c^2-2ab+4b-6c+13=0$,求$a+b+c$的值.
例如,$x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-4=(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$;
$2x^2+4x-6=2(x^2+2x+1)-8=2(x+1)^2-8$,则当$x=-1$时,$2x^2+4x-6$有最小值,最小值是$-8$.
根据材料用配方法解答下列问题:
(1)若多项式$x^2-4x+k$是一个完全平方式,则常数$k$的值为
4
.(2)当$x$为何值时,多项式$-2x^2-4x+3$有最大值?并求出这个最大值.
(3)已知$a^2+2b^2+c^2-2ab+4b-6c+13=0$,求$a+b+c$的值.
答案
18. 解:(1) 4 (2) $-2x^2-4x+3=-2(x^2+2x)+3=-2(x^2+2x+1-1)+3=-2(x+1)^2+2+3=-2(x+1)^2+5$. $\because (x+1)^2\ge0$,$\therefore -2(x+1)^2\le0$. $\therefore -2(x+1)^2+5\le5$. $\therefore$ 当$x=-1$时,$-2x^2-4x+3$有最大值,最大值是5. (3) $\because a^2+2b^2+c^2-2ab+4b-6c+13=0$,$\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2+4b+4)+(c^2-6c+9)=0$. $\therefore (a-b)^2+(b+2)^2+(c-3)^2=0$. $\because (a-b)^2\ge0$,$(b+2)^2\ge0$,$(c-3)^2\ge0$,$\therefore a-b=0$,$b+2=0$,$c-3=0$,解得 $a=b=-2$,$c=3$. $\therefore a+b+c=-2-2+3=-1$.
解析
【分析】
(1) 结合完全平方式的结构特征$a^2\pm2ab+b^2$分析，已知多项式中$x^2$对应$a^2$，$-4x$对应$\pm2ab$，可推出常数项$k$的取值。
(2) 求二次多项式最值时，先提取二次项系数，对剩余部分补项配成完全平方式，再根据完全平方的非负性，结合二次项系数的正负判断最值的取值情况。
(3) 处理含多个字母的平方和等于0的问题时，先将等式左边的项合理分组，分别配成完全平方式，再利用"几个非负数的和为0，则每个非负数均为0"的性质，求出各字母的值后代入计算即可。
【解析】
(1) 完全平方式$x^2-4x+k=(x-2)^2=x^2-4x+4$，因此常数$k=4$。
(2) 对多项式$-2x^2-4x+3$配方：
$\begin{aligned}-2x^2-4x+3&=-2(x^2+2x)+3\\&=-2(x^2+2x+1-1)+3\\&=-2(x+1)^2+2+3\\&=-2(x+1)^2+5\end{aligned}$
$\because (x+1)^2\ge0$，$\therefore -2(x+1)^2\le0$，
$\therefore -2(x+1)^2+5\le5$，
即当$x=-1$时，$-2x^2-4x+3$取得最大值。
(3) 对已知等式左边分组配方：
$\because a^2+2b^2+c^2-2ab+4b-6c+13=0$，
$\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2+4b+4)+(c^2-6c+9)=0$，
整理得$(a-b)^2+(b+2)^2+(c-3)^2=0$，
$\because (a-b)^2\ge0$，$(b+2)^2\ge0$，$(c-3)^2\ge0$，
$\therefore a-b=0$，$b+2=0$，$c-3=0$，
解得$a=b=-2$，$c=3$，
代入得$a+b+c=-2-2+3=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) 当$x=\boxed{-1}$时，多项式有最大值，最大值为$\boxed{5}$
(3) $\boxed{-1}$
【知识点】
完全平方式；配方法的应用；非负数的性质
【点评】
本题围绕配方法设置三类典型考法，既考查基础的完全平方式识别，也考查配方法在最值求解、等式求值问题中的应用，需要熟练掌握配方技巧，理解完全平方的非负性，是代数模块的经典综合题型。
【难度系数】
0.7
(1) 结合完全平方式的结构特征$a^2\pm2ab+b^2$分析，已知多项式中$x^2$对应$a^2$，$-4x$对应$\pm2ab$，可推出常数项$k$的取值。
(2) 求二次多项式最值时，先提取二次项系数，对剩余部分补项配成完全平方式，再根据完全平方的非负性，结合二次项系数的正负判断最值的取值情况。
(3) 处理含多个字母的平方和等于0的问题时，先将等式左边的项合理分组，分别配成完全平方式，再利用"几个非负数的和为0，则每个非负数均为0"的性质，求出各字母的值后代入计算即可。
【解析】
(1) 完全平方式$x^2-4x+k=(x-2)^2=x^2-4x+4$，因此常数$k=4$。
(2) 对多项式$-2x^2-4x+3$配方：
$\begin{aligned}-2x^2-4x+3&=-2(x^2+2x)+3\\&=-2(x^2+2x+1-1)+3\\&=-2(x+1)^2+2+3\\&=-2(x+1)^2+5\end{aligned}$
$\because (x+1)^2\ge0$，$\therefore -2(x+1)^2\le0$，
$\therefore -2(x+1)^2+5\le5$，
即当$x=-1$时，$-2x^2-4x+3$取得最大值。
(3) 对已知等式左边分组配方：
$\because a^2+2b^2+c^2-2ab+4b-6c+13=0$，
$\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2+4b+4)+(c^2-6c+9)=0$，
整理得$(a-b)^2+(b+2)^2+(c-3)^2=0$，
$\because (a-b)^2\ge0$，$(b+2)^2\ge0$，$(c-3)^2\ge0$，
$\therefore a-b=0$，$b+2=0$，$c-3=0$，
解得$a=b=-2$，$c=3$，
代入得$a+b+c=-2-2+3=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) 当$x=\boxed{-1}$时，多项式有最大值，最大值为$\boxed{5}$
(3) $\boxed{-1}$
【知识点】
完全平方式；配方法的应用；非负数的性质
【点评】
本题围绕配方法设置三类典型考法，既考查基础的完全平方式识别，也考查配方法在最值求解、等式求值问题中的应用，需要熟练掌握配方技巧，理解完全平方的非负性，是代数模块的经典综合题型。
【难度系数】
0.7
