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16.(本小题满分 12 分)在分解因式$x^2+ax+b$时,甲看错了$a$的值,分解的结果是$(x+1)(x+9)$;乙看错了$b$的值,分解的结果是$(x-2)(x-4)$.求分解因式正确的结果.
答案
16. 解:$\because$ 甲看错了 $a$ 的值,分解的结果是$(x+1)(x+9)=x^2+10x+9$,$\therefore b=9$. $\because$ 乙看错了 $b$ 的值,分解的结果是$(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$,$\therefore a=-6$. $\therefore$ 这个多项式是$x^2-6x+9$. $\therefore x^2-6x+9=(x-3)^2$.
解析
【分析】
因式分解和整式乘法是互逆的运算关系。解题时要明确：甲仅看错了a的值，说明他得到的分解结果展开后，常数项b是正确的；乙仅看错了b的值，说明他得到的分解结果展开后，一次项系数a是正确的。我们先分别展开两人的分解结果，提取出正确的a、b值，再写出原多项式，最后对原多项式做正确的因式分解即可。
【解析】
解：$\because$ 甲看错了 $a$ 的值，分解的结果是$(x+1)(x+9)$，
展开得：$(x+1)(x+9)=x^2+10x+9$，
甲未看错$b$的值，$\therefore b=9$。
$\because$ 乙看错了 $b$ 的值，分解的结果是$(x-2)(x-4)$，
展开得：$(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$，
乙未看错$a$的值，$\therefore a=-6$。
$\therefore$ 原多项式为$x^2-6x+9$，
分解因式得：$x^2-6x+9=(x-3)^2$。
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
整式乘法运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
这道题是因式分解部分的典型应用题型，核心考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是准确区分两人计算结果中正确的系数，避免混淆看错的参数。
【难度系数】
0.7
因式分解和整式乘法是互逆的运算关系。解题时要明确：甲仅看错了a的值，说明他得到的分解结果展开后，常数项b是正确的；乙仅看错了b的值，说明他得到的分解结果展开后，一次项系数a是正确的。我们先分别展开两人的分解结果，提取出正确的a、b值，再写出原多项式，最后对原多项式做正确的因式分解即可。
【解析】
解：$\because$ 甲看错了 $a$ 的值，分解的结果是$(x+1)(x+9)$，
展开得：$(x+1)(x+9)=x^2+10x+9$，
甲未看错$b$的值，$\therefore b=9$。
$\because$ 乙看错了 $b$ 的值，分解的结果是$(x-2)(x-4)$，
展开得：$(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$，
乙未看错$a$的值，$\therefore a=-6$。
$\therefore$ 原多项式为$x^2-6x+9$，
分解因式得：$x^2-6x+9=(x-3)^2$。
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
整式乘法运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
这道题是因式分解部分的典型应用题型，核心考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是准确区分两人计算结果中正确的系数，避免混淆看错的参数。
【难度系数】
0.7
17.(本小题满分12分)【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数.
(1)$(2+1)^2-(2-1)^2$的值为
(2)【证明】设两个正整数分别为$m,n$,请验证上述结论的正确性；
(3)【拓展】已知$x,y$为正整数,$(x+y)^2=100$,$xy=24$,求$(x-y)^2$的值.
(1)$(2+1)^2-(2-1)^2$的值为
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；(2)【证明】设两个正整数分别为$m,n$,请验证上述结论的正确性；
(3)【拓展】已知$x,y$为正整数,$(x+y)^2=100$,$xy=24$,求$(x-y)^2$的值.
答案
17. 解:(1) 8 (2) $(m+n)^2-(m-n)^2=[(m+n)+(m-n)][(m+n)-(m-n)]=2m· 2n=4mn$. $\because m,n$是正整数,$\therefore (m+n)^2-(m-n)^2$是4的倍数,即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数. (3) 由题意,得$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$. $\because (x+y)^2=100$,$xy=24$,$\therefore 100-(x-y)^2=4× 24$. $\therefore (x-y)^2=100-4× 24=4$.
解析
【分析】
（1）第一小问为基础运算题，按运算顺序先算括号内的加减法，再计算平方，最后求差即可得到结果；
（2）第二小问可利用平方差公式对$(m+n)^2-(m-n)^2$因式分解，化简后判断结果是否为4的倍数即可验证结论，符合当前学段知识要求；
（3）第三小问直接使用前两问推导得到的结论$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$，将已知数值代入后移项计算即可求出$(x-y)^2$的值。
【解析】
（1）计算过程如下：
$(2+1)^2-(2-1)^2=3^2-1^2=9-1=8$
（2）验证过程如下：
$\begin{aligned}(m+n)^2-(m-n)^2&=[(m+n)+(m-n)][(m+n)-(m-n)]\\&=2m· 2n\\&=4mn\end{aligned}$
∵$m,n$是正整数，
∴$4mn$一定是4的倍数，即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数，结论成立。
（3）求解过程如下：
由（2）的结论得$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$，将$(x+y)^2=100$，$xy=24$代入式子：
$\begin{aligned}100-(x-y)^2&=4×24\\100-(x-y)^2&=96\\(x-y)^2&=100-96\\(x-y)^2&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) 证明见解析；(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题按照探究规律、验证规律、应用规律的逻辑设置问题，既考查了整式乘法公式的基础运算能力，又引导学生掌握从特殊到一般的探究方法，锻炼了公式灵活迁移应用的能力，兼顾基础落实和思维提升。
【难度系数】
0.75
（1）第一小问为基础运算题，按运算顺序先算括号内的加减法，再计算平方，最后求差即可得到结果；
（2）第二小问可利用平方差公式对$(m+n)^2-(m-n)^2$因式分解，化简后判断结果是否为4的倍数即可验证结论，符合当前学段知识要求；
（3）第三小问直接使用前两问推导得到的结论$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$，将已知数值代入后移项计算即可求出$(x-y)^2$的值。
【解析】
（1）计算过程如下：
$(2+1)^2-(2-1)^2=3^2-1^2=9-1=8$
（2）验证过程如下：
$\begin{aligned}(m+n)^2-(m-n)^2&=[(m+n)+(m-n)][(m+n)-(m-n)]\\&=2m· 2n\\&=4mn\end{aligned}$
∵$m,n$是正整数，
∴$4mn$一定是4的倍数，即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数，结论成立。
（3）求解过程如下：
由（2）的结论得$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$，将$(x+y)^2=100$，$xy=24$代入式子：
$\begin{aligned}100-(x-y)^2&=4×24\\100-(x-y)^2&=96\\(x-y)^2&=100-96\\(x-y)^2&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) 证明见解析；(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题按照探究规律、验证规律、应用规律的逻辑设置问题，既考查了整式乘法公式的基础运算能力，又引导学生掌握从特殊到一般的探究方法，锻炼了公式灵活迁移应用的能力，兼顾基础落实和思维提升。
【难度系数】
0.75
