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三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分10分)(1)分解因式:$3ab^{3}-30a^{2}b^{2}+75a^{3}b$；
(2)先因式分解,再计算求值:$9x^{2}+12xy+4y^{2}$,其中 $x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$。
13.(本小题满分10分)(1)分解因式:$3ab^{3}-30a^{2}b^{2}+75a^{3}b$；
(2)先因式分解,再计算求值:$9x^{2}+12xy+4y^{2}$,其中 $x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$。
答案
13. 解:(1) 原式 $= 3ab(b^2 - 10ab + 25a^2) = 3ab(b - 5a)^2$.(2) 原式$=(3x+2y)^2$. 当 $x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$ 时,原式$=[3× \frac{4}{3}+2× (-\frac{1}{2})]^2=9$.
解析
【分析】
(1) 因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：首先观察多项式各项，找到公因式3ab，先提取公因式；再观察提取公因式后剩余的二次三项式，符合完全平方公式的结构特征，套用公式继续分解，最后确认分解彻底即可。
(2) 先观察待求值的多项式，为三项式，首末两项是平方项，中间项是两项乘积的2倍，符合完全平方和公式的结构，先因式分解再代入数值计算，可大幅简化计算过程，避免直接代入的繁琐。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$3ab$：
原式$=3ab(b^2 - 10ab + 25a^2)$
第二步套用完全平方差公式，$b^2 -10ab +25a^2=(b-5a)^2$，因此：
原式$=3ab(b - 5a)^2$
(2) 第一步套用完全平方和公式因式分解：
$9x^2+12xy+4y^2=(3x+2y)^2$
第二步代入$x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$计算：
原式$=[3× \frac{4}{3}+2× (-\frac{1}{2})]^2=(4-1)^2=3^2=9$
【答案】
(1) $3ab(b - 5a)^2$；(2) 因式分解结果为$(3x+2y)^2$，求值结果为$9$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，因式分解化简求值
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要牢记“先提公因式，再套用公式”的因式分解顺序，熟练掌握完全平方公式的结构特征，利用因式分解化简求值能有效降低计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.85
(1) 因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：首先观察多项式各项，找到公因式3ab，先提取公因式；再观察提取公因式后剩余的二次三项式，符合完全平方公式的结构特征，套用公式继续分解，最后确认分解彻底即可。
(2) 先观察待求值的多项式，为三项式，首末两项是平方项，中间项是两项乘积的2倍，符合完全平方和公式的结构，先因式分解再代入数值计算，可大幅简化计算过程，避免直接代入的繁琐。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$3ab$：
原式$=3ab(b^2 - 10ab + 25a^2)$
第二步套用完全平方差公式，$b^2 -10ab +25a^2=(b-5a)^2$，因此：
原式$=3ab(b - 5a)^2$
(2) 第一步套用完全平方和公式因式分解：
$9x^2+12xy+4y^2=(3x+2y)^2$
第二步代入$x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$计算：
原式$=[3× \frac{4}{3}+2× (-\frac{1}{2})]^2=(4-1)^2=3^2=9$
【答案】
(1) $3ab(b - 5a)^2$；(2) 因式分解结果为$(3x+2y)^2$，求值结果为$9$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，因式分解化简求值
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要牢记“先提公因式，再套用公式”的因式分解顺序，熟练掌握完全平方公式的结构特征，利用因式分解化简求值能有效降低计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.85
14.(本小题满分8分)小华同学分解因式$9a^2(x-y)+4b^2(y-x)$的过程如下,请认真阅读,并解答下列问题.
解:原式$=9a^2(x-y)+4b^2(x-y)$……①
$=(x-y)(9a^2+4b^2)$……②
$=(x-y)(3a+2b)^2$.……③
(1)以上解答过程中的第
(2)请你写出正确的解答过程.
解:原式$=9a^2(x-y)+4b^2(x-y)$……①
$=(x-y)(9a^2+4b^2)$……②
$=(x-y)(3a+2b)^2$.……③
(1)以上解答过程中的第
①③
步出现错误;(填序号)(2)请你写出正确的解答过程.
答案
14. 解:(1) ①③ (2) 原式$=9a^2(x-y)-4b^2(x-y)=(x-y)(9a^2-4b^2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$.
解析
【分析】
（1）判断错误步骤时，先看第①步的变形：原式中第二项是$4b^2(y-x)$，而$y-x=-(x-y)$，所以变形后应该是$-4b^2(x-y)$，第①步符号处理错误；再看第③步，首先$9a^2+4b^2$是平方和，不符合完全平方公式的结构，其次即便前序步骤正确，也不能分解为$(3a+2b)^2$，因此第③步也错误。
（2）正确解题思路：首先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，统一公因式，再提取公因式$(x-y)$，最后对剩余的$9a^2-4b^2$用平方差公式分解，直到不能再分解为止。
【解析】
(1) 观察解题过程：
第①步将$4b^2(y-x)$变形为$4b^2(x-y)$，符号错误，正确应为$-4b^2(x-y)$；
第③步将$9a^2+4b^2$分解为$(3a+2b)^2$，混淆了平方和与完全平方式的结构，同时前序提取公因式后的式子应为$9a^2-4b^2$，因此第③步也错误。
故填①③。
(2) 正确分解过程：
原式$=9a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
$=(x-y)(9a^2-4b^2)$
$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$
(2) 原式$=9a^2(x-y)-4b^2(x-y)=(x-y)(9a^2-4b^2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，因式分解的规范
【点评】
本题考查因式分解的正误判断与规范解答，易错点在于处理互为相反数的因式时容易出现符号错误，同时要注意区分平方差公式和完全平方公式的结构特点，因式分解要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
（1）判断错误步骤时，先看第①步的变形：原式中第二项是$4b^2(y-x)$，而$y-x=-(x-y)$，所以变形后应该是$-4b^2(x-y)$，第①步符号处理错误；再看第③步，首先$9a^2+4b^2$是平方和，不符合完全平方公式的结构，其次即便前序步骤正确，也不能分解为$(3a+2b)^2$，因此第③步也错误。
（2）正确解题思路：首先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，统一公因式，再提取公因式$(x-y)$，最后对剩余的$9a^2-4b^2$用平方差公式分解，直到不能再分解为止。
【解析】
(1) 观察解题过程：
第①步将$4b^2(y-x)$变形为$4b^2(x-y)$，符号错误，正确应为$-4b^2(x-y)$；
第③步将$9a^2+4b^2$分解为$(3a+2b)^2$，混淆了平方和与完全平方式的结构，同时前序提取公因式后的式子应为$9a^2-4b^2$，因此第③步也错误。
故填①③。
(2) 正确分解过程：
原式$=9a^2(x-y)-4b^2(x-y)$
$=(x-y)(9a^2-4b^2)$
$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$
(2) 原式$=9a^2(x-y)-4b^2(x-y)=(x-y)(9a^2-4b^2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，因式分解的规范
【点评】
本题考查因式分解的正误判断与规范解答，易错点在于处理互为相反数的因式时容易出现符号错误，同时要注意区分平方差公式和完全平方公式的结构特点，因式分解要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
15.(本小题满分10分)利用因式分解进行简便计算：
(1)$17.32^2 - 17.32×14.64 + 7.32^2$；
(2)$1010^2 - 1009×1011$。
(1)$17.32^2 - 17.32×14.64 + 7.32^2$；
(2)$1010^2 - 1009×1011$。
答案
15. 解:(1) 原式$=(17. 32-7. 32)^2 = 10^2 = 100$. (2) 原式$=1\ 010^2 - (1\ 010-1)×(1\ 010+1)=1\ 010^2 -(1\ 010^2 -1)=1\ 010^2 -1\ 010^2 +1=1$.
解析
【分析】
(1) 观察第一小题的式子，存在两个平方项$17.32^2$、$7.32^2$，中间项$17.32×14.64$可转化为$2×17.32×7.32$，刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式转化为两数差的平方即可简便计算。
(2) 观察第二小题的式子，乘积项$1009×1011$的两个因数分别为$1010-1$和$1010+1$，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，套用公式展开后可与前面的$1010^2$抵消，快速得到结果。
【解析】
(1) 原式$=17.32^2 - 2×17.32×7.32 + 7.32^2$
根据完全平方差公式得：$=(17.32-7.32)^2$
计算得：$=10^2=100$
(2) 原式$=1010^2 - (1010-1)×(1010+1)$
根据平方差公式展开乘积项得：$=1010^2 - (1010^2 - 1^2)$
去括号合并得：$=1010^2 - 1010^2 + 1=1$
【答案】
(1) $\boxed{100}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，解题关键是准确识别式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，可避免复杂的直接运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
(1) 观察第一小题的式子，存在两个平方项$17.32^2$、$7.32^2$，中间项$17.32×14.64$可转化为$2×17.32×7.32$，刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式转化为两数差的平方即可简便计算。
(2) 观察第二小题的式子，乘积项$1009×1011$的两个因数分别为$1010-1$和$1010+1$，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，套用公式展开后可与前面的$1010^2$抵消，快速得到结果。
【解析】
(1) 原式$=17.32^2 - 2×17.32×7.32 + 7.32^2$
根据完全平方差公式得：$=(17.32-7.32)^2$
计算得：$=10^2=100$
(2) 原式$=1010^2 - (1010-1)×(1010+1)$
根据平方差公式展开乘积项得：$=1010^2 - (1010^2 - 1^2)$
去括号合并得：$=1010^2 - 1010^2 + 1=1$
【答案】
(1) $\boxed{100}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，解题关键是准确识别式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，可避免复杂的直接运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
