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三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分10分)计算:
(1)$a^{-2}b^{2}· (a^{2}b^{-2})^{-3}$;
(2)$(x+2+\dfrac{5}{2-x})÷ \dfrac{3-x}{2x-4}$.
13.(本小题满分10分)计算:
(1)$a^{-2}b^{2}· (a^{2}b^{-2})^{-3}$;
(2)$(x+2+\dfrac{5}{2-x})÷ \dfrac{3-x}{2x-4}$.
答案
13. 解:(1)原式$=a^{-2}b^{2}· a^{-6}b^{6}=a^{-8}b^{8}=\frac{b^{8}}{a^{8}}$.(2)原式$=\frac{4-x^2+5}{2-x}· \frac{2x-4}{3-x}=\frac{(3+x)(3-x)}{2-x}· \frac{2(x-2)}{3-x}=-2x-6$.
解析
【分析】
(1) 本题考查负整数指数幂的运算，解题思路为：先根据幂的乘方、积的乘方法则计算$(a^2b^{-2})^{-3}$，展开得到同底数幂的形式，再按照同底数幂的乘法法则计算，最后将负指数幂转化为正指数幂的分式形式即可。
(2) 本题考查分式的混合运算，解题思路为：先对括号内的整式和分式通分，合并为单个分式，再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分，化简时注意$2-x$和$x-2$互为相反数，要注意符号处理。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，底数不变，指数相乘：
原式$=a^{-2}b^{2}·a^{2×(-3)}b^{(-2)×(-3)}=a^{-2}b^{2}·a^{-6}b^{6}$
再计算同底数幂的乘法，底数不变，指数相加：
$=a^{-2+(-6)}b^{2+6}=a^{-8}b^{8}$
将负指数幂化为正指数幂形式：
$=\frac{b^8}{a^8}$
(2) 先将括号内的$x+2$通分，公分母为$2-x$：
原式$=(\frac{(x+2)(2-x)}{2-x}+\frac{5}{2-x})÷\frac{3-x}{2x-4}$
合并括号内的分式：
$=\frac{4-x^2+5}{2-x}÷\frac{3-x}{2x-4}=\frac{9-x^2}{2-x}÷\frac{3-x}{2x-4}$
对分子因式分解，$9-x^2=(3+x)(3-x)$，同时将除法转化为乘法，且$2x-4=2(x-2)$：
$=\frac{(3+x)(3-x)}{2-x}·\frac{2(x-2)}{3-x}$
利用$x-2=-(2-x)$约分，化简得：
$=-2(x+3)=-2x-6$
【答案】
(1) $\frac{b^8}{a^8}$；(2) $-2x-6$
【知识点】
负整数指数幂运算、分式混合运算、因式分解
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察幂的运算法则、分式通分约分及因式分解的应用，计算时需注意负指数幂的转化和互为相反数的因式约分时的符号变化，熟练掌握基础运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 本题考查负整数指数幂的运算，解题思路为：先根据幂的乘方、积的乘方法则计算$(a^2b^{-2})^{-3}$，展开得到同底数幂的形式，再按照同底数幂的乘法法则计算，最后将负指数幂转化为正指数幂的分式形式即可。
(2) 本题考查分式的混合运算，解题思路为：先对括号内的整式和分式通分，合并为单个分式，再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分，化简时注意$2-x$和$x-2$互为相反数，要注意符号处理。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，底数不变，指数相乘：
原式$=a^{-2}b^{2}·a^{2×(-3)}b^{(-2)×(-3)}=a^{-2}b^{2}·a^{-6}b^{6}$
再计算同底数幂的乘法，底数不变，指数相加：
$=a^{-2+(-6)}b^{2+6}=a^{-8}b^{8}$
将负指数幂化为正指数幂形式：
$=\frac{b^8}{a^8}$
(2) 先将括号内的$x+2$通分，公分母为$2-x$：
原式$=(\frac{(x+2)(2-x)}{2-x}+\frac{5}{2-x})÷\frac{3-x}{2x-4}$
合并括号内的分式：
$=\frac{4-x^2+5}{2-x}÷\frac{3-x}{2x-4}=\frac{9-x^2}{2-x}÷\frac{3-x}{2x-4}$
对分子因式分解，$9-x^2=(3+x)(3-x)$，同时将除法转化为乘法，且$2x-4=2(x-2)$：
$=\frac{(3+x)(3-x)}{2-x}·\frac{2(x-2)}{3-x}$
利用$x-2=-(2-x)$约分，化简得：
$=-2(x+3)=-2x-6$
【答案】
(1) $\frac{b^8}{a^8}$；(2) $-2x-6$
【知识点】
负整数指数幂运算、分式混合运算、因式分解
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察幂的运算法则、分式通分约分及因式分解的应用，计算时需注意负指数幂的转化和互为相反数的因式约分时的符号变化，熟练掌握基础运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
14.(本小题满分8分)先化简,再求值:$(1-\dfrac{a}{a^2+a})÷\dfrac{a^2-1}{a^2+2a+1}$,其中$a=\dfrac{1}{2}$.
答案
14. 解:原式$=\frac{a^2+a-a}{a^2+a}· \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a^2}{a(a+1)}· \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a}{a-1}$. 当$a=\frac{1}{2}$时,原式$=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=-1$.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题遵循“先化简、再代值”的原则：①先计算括号内的减法，将1通分转化为和括号内分式同分母的形式，算出括号内的结果；②将除法运算转化为乘法运算，即乘以除数的倒数；③对分式中能因式分解的分子、分母分别因式分解，再约去公因式，得到最简分式；④最后将a的取值代入最简分式计算结果即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
解：先化简原式：
括号内通分计算：
$1-\dfrac{a}{a^2+a}=\dfrac{a^2+a}{a^2+a}-\dfrac{a}{a^2+a}=\dfrac{a^2+a-a}{a^2+a}=\dfrac{a^2}{a(a+1)}$
将除法转化为乘法，同时对除数的分子分母因式分解：
$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2+2a+1=(a+1)^2$
因此原式$=\dfrac{a^2}{a(a+1)}· \dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
约分：约去分子分母的公因式$a$、$(a+1)^2$，得$\dfrac{a}{a-1}$
将$a=\dfrac{1}{2}$代入最简分式：
原式$=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}-1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{2}}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，重点考查分式运算的运算顺序，以及因式分解在分式约分中的应用，计算时需注意通分、约分的规则，代入数值计算时要留意运算符号，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值题，解题遵循“先化简、再代值”的原则：①先计算括号内的减法，将1通分转化为和括号内分式同分母的形式，算出括号内的结果；②将除法运算转化为乘法运算，即乘以除数的倒数；③对分式中能因式分解的分子、分母分别因式分解，再约去公因式，得到最简分式；④最后将a的取值代入最简分式计算结果即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
解：先化简原式：
括号内通分计算：
$1-\dfrac{a}{a^2+a}=\dfrac{a^2+a}{a^2+a}-\dfrac{a}{a^2+a}=\dfrac{a^2+a-a}{a^2+a}=\dfrac{a^2}{a(a+1)}$
将除法转化为乘法，同时对除数的分子分母因式分解：
$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2+2a+1=(a+1)^2$
因此原式$=\dfrac{a^2}{a(a+1)}· \dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$
约分：约去分子分母的公因式$a$、$(a+1)^2$，得$\dfrac{a}{a-1}$
将$a=\dfrac{1}{2}$代入最简分式：
原式$=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}-1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{2}}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，重点考查分式运算的运算顺序，以及因式分解在分式约分中的应用，计算时需注意通分、约分的规则，代入数值计算时要留意运算符号，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
15.(本小题满分10分)小丽解分式方程$1-\frac{x-3}{2x+2}=\frac{3x}{x+1}$时出现了错误,她的解题过程如下:
解:方程两边同乘$2(x+1)$,得$2x+2-(x-3)=3x$,……第一步
解得$x=\frac{5}{2}$.……第二步
所以原分式方程的解是$x=\frac{5}{2}$.……第三步
(1)小丽的解答过程的第
(2)小丽的解答过程缺少的步骤是
(3)请写出正确的解题过程.
解:方程两边同乘$2(x+1)$,得$2x+2-(x-3)=3x$,……第一步
解得$x=\frac{5}{2}$.……第二步
所以原分式方程的解是$x=\frac{5}{2}$.……第三步
(1)小丽的解答过程的第
一
步出现错误,这一步正确的结果是$2x+2-(x-3)=6x$
,依据是等式的基本性质2
;(2)小丽的解答过程缺少的步骤是
检验
;(3)请写出正确的解题过程.
答案
15. (1) 一 $2x+2-(x-3)=6x$ 等式的基本性质2 (2) 检验 (3) 正确的解题过程如下:方程两边同乘$2(x+1)$,得$2x+2-(x-3)=6x$,解得$x=1$.检验:当$x=1$时,$2(x+1)≠0$,$∴$原分式方程的解是$x=1$.
解析
【分析】
本题围绕分式方程的求解设置问题，解题思路如下：首先回忆分式方程的标准解题步骤：找最简公分母、去分母、解整式方程、检验。(1)判断去分母步骤是否正确：去分母时方程每一项都要乘最简公分母，小丽去分母时漏乘了右侧项的系数，因此第一步出错，变形依据是等式的基本性质；(2)分式方程去分母后可能产生增根，因此解完整式方程后必须检验根是否使原分母为0，小丽缺少该步骤；(3)按照正确步骤解方程即可，注意最后必须检验。
【解析】
(1) 第一步去分母时，方程两边同乘$2(x+1)$，右侧$\frac{3x}{x+1}$乘$2(x+1)$的结果应为$6x$，小丽误算为$3x$，因此第一步出错。这一步正确结果是$2x+2-(x-3)=6x$，变形依据是等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
(2) 分式方程去分母的过程可能产生增根，因此解完整式方程后必须检验所得根是否使原方程分母不为0，小丽的解答缺少检验步骤。
(3) 正确解题过程：
方程两边同乘$2(x+1)$，得$2x+2-(x-3)=6x$，
去括号得$2x+2-x+3=6x$，
移项合并同类项得$-5x=-5$，
系数化为1得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$2(x+1)=4≠0$，因此$x=1$是原方程的解。
【答案】
(1) 一 $2x+2-(x-3)=6x$ 等式的基本性质2 (2) 检验 (3) 正确的解题过程如下:方程两边同乘$2(x+1)$,得$2x+2-(x-3)=6x$,解得$x=1$.检验:当$x=1$时,$2(x+1)≠0$,$∴$原分式方程的解是$x=1$.
【知识点】
分式方程的解法、等式的基本性质、分式方程验根
【点评】
本题针对分式方程的常见易错点命题，能有效考查学生对分式方程求解步骤的掌握情况，提醒学生解题时注意去分母不要漏乘项，同时牢记分式方程必须检验的要求。
【难度系数】
0.75
本题围绕分式方程的求解设置问题，解题思路如下：首先回忆分式方程的标准解题步骤：找最简公分母、去分母、解整式方程、检验。(1)判断去分母步骤是否正确：去分母时方程每一项都要乘最简公分母，小丽去分母时漏乘了右侧项的系数，因此第一步出错，变形依据是等式的基本性质；(2)分式方程去分母后可能产生增根，因此解完整式方程后必须检验根是否使原分母为0，小丽缺少该步骤；(3)按照正确步骤解方程即可，注意最后必须检验。
【解析】
(1) 第一步去分母时，方程两边同乘$2(x+1)$，右侧$\frac{3x}{x+1}$乘$2(x+1)$的结果应为$6x$，小丽误算为$3x$，因此第一步出错。这一步正确结果是$2x+2-(x-3)=6x$，变形依据是等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
(2) 分式方程去分母的过程可能产生增根，因此解完整式方程后必须检验所得根是否使原方程分母不为0，小丽的解答缺少检验步骤。
(3) 正确解题过程：
方程两边同乘$2(x+1)$，得$2x+2-(x-3)=6x$，
去括号得$2x+2-x+3=6x$，
移项合并同类项得$-5x=-5$，
系数化为1得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$2(x+1)=4≠0$，因此$x=1$是原方程的解。
【答案】
(1) 一 $2x+2-(x-3)=6x$ 等式的基本性质2 (2) 检验 (3) 正确的解题过程如下:方程两边同乘$2(x+1)$,得$2x+2-(x-3)=6x$,解得$x=1$.检验:当$x=1$时,$2(x+1)≠0$,$∴$原分式方程的解是$x=1$.
【知识点】
分式方程的解法、等式的基本性质、分式方程验根
【点评】
本题针对分式方程的常见易错点命题，能有效考查学生对分式方程求解步骤的掌握情况，提醒学生解题时注意去分母不要漏乘项，同时牢记分式方程必须检验的要求。
【难度系数】
0.75
