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16.(本小题满分12分)已知$A=(\dfrac{2x^2+2x}{x^2-1}-\dfrac{x^2-x}{x^2-2x+1})÷\dfrac{x}{x+1}$。
(1)先化简$A$，再求当$x=3$时，$A$的值；
(2)判断$A$的值能否是$-1$，并说明理由。
(1)先化简$A$，再求当$x=3$时，$A$的值；
(2)判断$A$的值能否是$-1$，并说明理由。
答案
16. 解:(1)$A=[\frac{2x(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x-1)}{(x-1)^2}]· \frac{x+1}{x}=(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x-1})· \frac{x+1}{x}=\frac{x}{x-1}· \frac{x+1}{x}=\frac{x+1}{x-1}$. 当$x=3$时,原式$=\frac{3+1}{3-1}=2$. (2)$A$的值不能是$-1$. 理由如下:若$A$的值是$-1$,即$\frac{x+1}{x-1}=-1$,解得$x=0$. $∵$当$x=0$时,$A$无意义,$∴A$的值不能是$-1$.
解析
【分析】
(1) 化简A时，先对括号内两个分式的分子、分母分别因式分解，约分后计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分后得到最简形式，再把x=3代入最简式计算即可。(2) 判断A的值能否为-1时，先假设A=-1，列方程求解x，再检验所求的x是否使原分式有意义（即原分式的所有分母和除数都不为0），若x使得原分式无意义，则A不能取-1，反之则可以。
【解析】
(1) 化简A：
$\begin{aligned}A&=[\frac{2x(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x-1)}{(x-1)^2}]·\frac{x+1}{x}\\&=(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x-1})·\frac{x+1}{x}\\&=\frac{x}{x-1}·\frac{x+1}{x}\\&=\frac{x+1}{x-1}\end{aligned}$
当$x=3$时，代入最简式得：原式$=\frac{3+1}{3-1}=2$。
(2) $A$的值不能是$-1$，理由如下：
假设$A=-1$，即$\frac{x+1}{x-1}=-1$，
去分母得$x+1=-(x-1)$，解得$x=0$。
∵原分式中分母$x^2-1≠0$、$x^2-2x+1≠0$，且除数$\frac{x}{x+1}$中$x≠0$、$x+1≠0$，即$x$不能取$0、1、-1$，
∴当$x=0$时，原分式$A$无意义，因此$A$的值不能是$-1$。
【答案】
(1) 化简后$A=\frac{x+1}{x-1}$，当$x=3$时，$A$的值为$2$；
(2) $A$的值不能是$-1$，理由如上。
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，解分式方程
【点评】
本题是分式运算的常考题型，重点考查分式化简求值的方法和分式有意义的限制条件，易错点是第二问求解后忽略检验x是否使原分式有意义，解题时需注意原分式所有分母、除数均不能为0。
【难度系数】
0.7
(1) 化简A时，先对括号内两个分式的分子、分母分别因式分解，约分后计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分后得到最简形式，再把x=3代入最简式计算即可。(2) 判断A的值能否为-1时，先假设A=-1，列方程求解x，再检验所求的x是否使原分式有意义（即原分式的所有分母和除数都不为0），若x使得原分式无意义，则A不能取-1，反之则可以。
【解析】
(1) 化简A：
$\begin{aligned}A&=[\frac{2x(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x-1)}{(x-1)^2}]·\frac{x+1}{x}\\&=(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x-1})·\frac{x+1}{x}\\&=\frac{x}{x-1}·\frac{x+1}{x}\\&=\frac{x+1}{x-1}\end{aligned}$
当$x=3$时，代入最简式得：原式$=\frac{3+1}{3-1}=2$。
(2) $A$的值不能是$-1$，理由如下：
假设$A=-1$，即$\frac{x+1}{x-1}=-1$，
去分母得$x+1=-(x-1)$，解得$x=0$。
∵原分式中分母$x^2-1≠0$、$x^2-2x+1≠0$，且除数$\frac{x}{x+1}$中$x≠0$、$x+1≠0$，即$x$不能取$0、1、-1$，
∴当$x=0$时，原分式$A$无意义，因此$A$的值不能是$-1$。
【答案】
(1) 化简后$A=\frac{x+1}{x-1}$，当$x=3$时，$A$的值为$2$；
(2) $A$的值不能是$-1$，理由如上。
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，解分式方程
【点评】
本题是分式运算的常考题型，重点考查分式化简求值的方法和分式有意义的限制条件，易错点是第二问求解后忽略检验x是否使原分式有意义，解题时需注意原分式所有分母、除数均不能为0。
【难度系数】
0.7
17.(本小题满分12分)现计划将某村的自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工,则恰好在规定时间内完成;若由乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数的3倍.若由甲、乙两队先合作15天,则余下的工程由甲队单独完成还需10天.
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为6 500元,乙队每天的施工费用为3 500元.为了缩短工期以减少对村民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成,则该工程的施工费用是多少?
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为6 500元,乙队每天的施工费用为3 500元.为了缩短工期以减少对村民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成,则该工程的施工费用是多少?
答案
17. 解:(1)设这项工程的规定时间是$x$天.根据题意,得$(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x})×15+\frac{1}{x}×10=1$,解得$x=30$.经检验,$x=30$是原分式方程的解,且符合题意.答:这项工程的规定时间是30天. (2)该工程由甲、乙两队合作完成的时间是$1÷(\frac{1}{30}+\frac{1}{30×3})=22.5$(天).则该工程的施工费用是$22.5×(6\ 500+3\ 500)=225\ 000$(元).
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”。对于第(1)问，可设规定时间为x天，那么甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队单独完成需要3x天，因此乙队的工作效率为$\frac{1}{3x}$，根据“甲乙合作15天的工作量+甲单独做10天的工作量=总工作量1”的等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程求解后要检验根是否符合题意。对于第(2)问，先根据第(1)问的结果求出甲乙两队的工作效率之和，再用总工作量1除以合作效率得到两队合作的施工天数，最后用施工天数乘以两队每天的总施工费用即可求出总费用。
【解析】
(1) 设这项工程的规定时间是$x$天。
根据题意，得：
$(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x})×15+\frac{1}{x}×10=1$
化简方程左边得$\frac{20}{x}+\frac{10}{x}=\frac{30}{x}$，即$\frac{30}{x}=1$，解得$x=30$。
经检验，$x=30$是原分式方程的解，且符合实际题意。
答：这项工程的规定时间是30天。
(2) 先计算甲乙两队合作的工作效率：$\frac{1}{30}+\frac{1}{3×30}=\frac{2}{45}$
两队合作完成工程所需时间：$1÷\frac{2}{45}=22.5$（天）
总施工费用：$22.5×(6500+3500)=225000$（元）
【答案】
(1) 30天；(2) 225000元
【知识点】
分式方程的应用，工程问题计算，有理数混合运算
【点评】
本题属于工程类常规应用题，重点考查对工程问题基本数量关系的运用能力，解题关键是将总工作量设为单位“1”，准确找到等量关系列方程，要注意分式方程必须检验根的合理性，第二问结合生活实际考查费用计算，整体考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”。对于第(1)问，可设规定时间为x天，那么甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队单独完成需要3x天，因此乙队的工作效率为$\frac{1}{3x}$，根据“甲乙合作15天的工作量+甲单独做10天的工作量=总工作量1”的等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程求解后要检验根是否符合题意。对于第(2)问，先根据第(1)问的结果求出甲乙两队的工作效率之和，再用总工作量1除以合作效率得到两队合作的施工天数，最后用施工天数乘以两队每天的总施工费用即可求出总费用。
【解析】
(1) 设这项工程的规定时间是$x$天。
根据题意，得：
$(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x})×15+\frac{1}{x}×10=1$
化简方程左边得$\frac{20}{x}+\frac{10}{x}=\frac{30}{x}$，即$\frac{30}{x}=1$，解得$x=30$。
经检验，$x=30$是原分式方程的解，且符合实际题意。
答：这项工程的规定时间是30天。
(2) 先计算甲乙两队合作的工作效率：$\frac{1}{30}+\frac{1}{3×30}=\frac{2}{45}$
两队合作完成工程所需时间：$1÷\frac{2}{45}=22.5$（天）
总施工费用：$22.5×(6500+3500)=225000$（元）
【答案】
(1) 30天；(2) 225000元
【知识点】
分式方程的应用，工程问题计算，有理数混合运算
【点评】
本题属于工程类常规应用题，重点考查对工程问题基本数量关系的运用能力，解题关键是将总工作量设为单位“1”，准确找到等量关系列方程，要注意分式方程必须检验根的合理性，第二问结合生活实际考查费用计算，整体考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
