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18.(本小题满分12分)阅读材料,解答下列问题.
解方程:$\frac{x-1}{x}-\frac{4x}{x-1}=0$.
解:设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程化为$y-\frac{4}{y}=0$.
方程两边乘$y$,得$y^2 -4=0$,解得$y=\pm2$.
经检验,$y=\pm2$都是方程$y-\frac{4}{y}=0$的解.
当$y=2$时,$\frac{x-1}{x}=2$,解得$x=-1$;
当$y=-2$时,$\frac{x-1}{x}=-2$,解得$x=\frac{1}{3}$.
经检验,$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$都是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题:
(1)若在方程$\frac{x-1}{4x}-\frac{x}{x-1}=0$中,设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程可化为
(2)若在方程$\frac{x-1}{x+1}-\frac{4x+4}{x-1}=0$中,设$y=\frac{x-1}{x+1}$,则原方程可化为
(3)仿照上述方法解方程:$\frac{x-1}{x+2}-\frac{3}{x-1}-1=0$.
解方程:$\frac{x-1}{x}-\frac{4x}{x-1}=0$.
解:设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程化为$y-\frac{4}{y}=0$.
方程两边乘$y$,得$y^2 -4=0$,解得$y=\pm2$.
经检验,$y=\pm2$都是方程$y-\frac{4}{y}=0$的解.
当$y=2$时,$\frac{x-1}{x}=2$,解得$x=-1$;
当$y=-2$时,$\frac{x-1}{x}=-2$,解得$x=\frac{1}{3}$.
经检验,$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$都是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题:
(1)若在方程$\frac{x-1}{4x}-\frac{x}{x-1}=0$中,设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程可化为
$\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$
;(2)若在方程$\frac{x-1}{x+1}-\frac{4x+4}{x-1}=0$中,设$y=\frac{x-1}{x+1}$,则原方程可化为
$y-\frac{4}{y}=0$
;(3)仿照上述方法解方程:$\frac{x-1}{x+2}-\frac{3}{x-1}-1=0$.
答案
18. (1) $\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$ (2) $y-\frac{4}{y}=0$ (3) 原方程化为$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$.设$y=\frac{x-1}{x+2}$,则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$.方程两边乘$y$,得$y^2-1=0$,解得$y=\pm1$.经检验,$y=\pm1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解.当$y=1$时,$\frac{x-1}{x+2}=1$,该方程无解;当$y=-1$时,$\frac{x-1}{x+2}=-1$,解得$x=-\frac{1}{2}$.经检验,$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解.$∴$原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题考查换元法解分式方程，解题思路如下：
1. 前两小问是换元法的直接应用：观察方程中重复出现的分式结构，将给定的换元表达式代入原方程，把含x的分式转化为含y的分式即可，注意对式子进行适当变形匹配换元形式。
2. 第三小问首先需要对原方程进行化简，把常数项和含分母的项合并，构造出两个互为倒数的重复分式结构，再设合适的新元替换重复分式，将原方程转化为简易分式方程求解，最后切记分式方程无论换元前后都需要检验解是否使分母为0，排除增根。
【解析】
(1) 已知设$y=\frac{x-1}{x}$，则$\frac{x-1}{4x}=\frac{1}{4}·\frac{x-1}{x}=\frac{y}{4}$，$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{\frac{x-1}{x}}=\frac{1}{y}$，代入原方程可得$\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$。
(2) 已知设$y=\frac{x-1}{x+1}$，则$\frac{4x+4}{x-1}=\frac{4(x+1)}{x-1}=\frac{4}{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{4}{y}$，代入原方程可得$y-\frac{4}{y}=0$。
(3) 先对原方程变形：
$\frac{x-1}{x+2}-\frac{3}{x-1}-1=0$，将后两项合并得：
$\frac{x-1}{x+2}-\frac{3+(x-1)}{x-1}=0$，即$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$。
设$y=\frac{x-1}{x+2}$，则$\frac{x+2}{x-1}=\frac{1}{y}$，原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$。
方程两边乘$y$得：$y^2 -1=0$，解得$y=\pm1$。
经检验，$y=\pm1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解。
当$y=1$时，$\frac{x-1}{x+2}=1$，去分母得$x-1=x+2$，化简得$-1=2$，不成立，该方程无解；
当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x+2}=-1$，去分母得$x-1=-(x+2)$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$
(2) $y-\frac{4}{y}=0$
(3) 原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
换元法解分式方程；分式方程的检验；分式的基本性质
【点评】
本题通过材料给出换元法的示例，引导学生运用整体换元的思想简化分式方程的求解，核心是观察到方程中互为倒数的分式结构，灵活换元将复杂方程转化为常见的整式方程，解题过程中要注意分式方程必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题考查换元法解分式方程，解题思路如下：
1. 前两小问是换元法的直接应用：观察方程中重复出现的分式结构，将给定的换元表达式代入原方程，把含x的分式转化为含y的分式即可，注意对式子进行适当变形匹配换元形式。
2. 第三小问首先需要对原方程进行化简，把常数项和含分母的项合并，构造出两个互为倒数的重复分式结构，再设合适的新元替换重复分式，将原方程转化为简易分式方程求解，最后切记分式方程无论换元前后都需要检验解是否使分母为0，排除增根。
【解析】
(1) 已知设$y=\frac{x-1}{x}$，则$\frac{x-1}{4x}=\frac{1}{4}·\frac{x-1}{x}=\frac{y}{4}$，$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{\frac{x-1}{x}}=\frac{1}{y}$，代入原方程可得$\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$。
(2) 已知设$y=\frac{x-1}{x+1}$，则$\frac{4x+4}{x-1}=\frac{4(x+1)}{x-1}=\frac{4}{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{4}{y}$，代入原方程可得$y-\frac{4}{y}=0$。
(3) 先对原方程变形：
$\frac{x-1}{x+2}-\frac{3}{x-1}-1=0$，将后两项合并得：
$\frac{x-1}{x+2}-\frac{3+(x-1)}{x-1}=0$，即$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$。
设$y=\frac{x-1}{x+2}$，则$\frac{x+2}{x-1}=\frac{1}{y}$，原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$。
方程两边乘$y$得：$y^2 -1=0$，解得$y=\pm1$。
经检验，$y=\pm1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解。
当$y=1$时，$\frac{x-1}{x+2}=1$，去分母得$x-1=x+2$，化简得$-1=2$，不成立，该方程无解；
当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x+2}=-1$，去分母得$x-1=-(x+2)$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$
(2) $y-\frac{4}{y}=0$
(3) 原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
换元法解分式方程；分式方程的检验；分式的基本性质
【点评】
本题通过材料给出换元法的示例，引导学生运用整体换元的思想简化分式方程的求解，核心是观察到方程中互为倒数的分式结构，灵活换元将复杂方程转化为常见的整式方程，解题过程中要注意分式方程必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
