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1. 一段坡面的坡角为$60°$, 则坡度$i =$
√3（或1:√3）
.答案
1. √3（或1:√3）
解析
【分析】
解题前首先要明确坡度和坡角的定义及二者的关系：坡角是坡面与水平面的夹角，记为α；坡度（坡比）是反映坡面倾斜程度的量，和坡角的三角函数值直接相关。解题时先对应坡度与坡角的数量关系，再代入题中给出的60°坡角，计算对应特殊角的三角函数值即可得到结果。
【解析】
解：坡度常用两种形式表示，计算过程如下：
1. 用坡面铅直高度与水平宽度的比值表示：根据定义，此时坡度$i = \tanα$（$α$为坡角）。
已知坡角$α=60°$，代入特殊角的三角函数值得：$i = \tan60° = \sqrt{3}$。
2. 用1:m的比例形式表示：此时为水平宽度与铅直高度的比，可得$i = 1:\frac{1}{\tan60°}=1:\sqrt{3}$。
综上，坡度可写为√3或1:√3。
【答案】
√3（或1:√3）
【知识点】
坡度与坡角的关系、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对坡度定义的理解和特殊角三角函数值的记忆，只要掌握坡度和坡角的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题前首先要明确坡度和坡角的定义及二者的关系：坡角是坡面与水平面的夹角，记为α；坡度（坡比）是反映坡面倾斜程度的量，和坡角的三角函数值直接相关。解题时先对应坡度与坡角的数量关系，再代入题中给出的60°坡角，计算对应特殊角的三角函数值即可得到结果。
【解析】
解：坡度常用两种形式表示，计算过程如下：
1. 用坡面铅直高度与水平宽度的比值表示：根据定义，此时坡度$i = \tanα$（$α$为坡角）。
已知坡角$α=60°$，代入特殊角的三角函数值得：$i = \tan60° = \sqrt{3}$。
2. 用1:m的比例形式表示：此时为水平宽度与铅直高度的比，可得$i = 1:\frac{1}{\tan60°}=1:\sqrt{3}$。
综上，坡度可写为√3或1:√3。
【答案】
√3（或1:√3）
【知识点】
坡度与坡角的关系、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对坡度定义的理解和特殊角三角函数值的记忆，只要掌握坡度和坡角的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度$i=1:\sqrt{3}$，坝外斜坡的坡度$i=1:1$，则两个坡角的和为
75°
。答案
2. 75°
解析
【分析】
解题的核心是明确坡度与坡角的关系：坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，等于对应坡角的正切值。首先根据两个斜坡的坡度分别求出对应坡角的正切值，再结合特殊角的三角函数值求出两个坡角的度数，最后相加即可得到两个坡角的和。
【解析】
设坝内斜坡的坡角为$α$，坝外斜坡的坡角为$β$。
根据坡度的定义可知：坡度$i = \tanθ$（$θ$为坡角）。
坝内斜坡坡度$i=1:\sqrt{3}$，因此$\tanα=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又$α$为坡角（$0°＜α＜90°$），所以$α=30°$。
坝外斜坡坡度$i=1:1$，因此$\tanβ=\frac{1}{1}=1$，
又$β$为坡角（$0°＜β＜90°$），所以$β=45°$。
则两个坡角的和为$α+β=30°+45°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
坡度的概念；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形在实际问题中的基础应用，解题关键是掌握坡度与坡角的对应关系，熟记特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确坡度与坡角的关系：坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，等于对应坡角的正切值。首先根据两个斜坡的坡度分别求出对应坡角的正切值，再结合特殊角的三角函数值求出两个坡角的度数，最后相加即可得到两个坡角的和。
【解析】
设坝内斜坡的坡角为$α$，坝外斜坡的坡角为$β$。
根据坡度的定义可知：坡度$i = \tanθ$（$θ$为坡角）。
坝内斜坡坡度$i=1:\sqrt{3}$，因此$\tanα=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又$α$为坡角（$0°＜α＜90°$），所以$α=30°$。
坝外斜坡坡度$i=1:1$，因此$\tanβ=\frac{1}{1}=1$，
又$β$为坡角（$0°＜β＜90°$），所以$β=45°$。
则两个坡角的和为$α+β=30°+45°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
坡度的概念；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形在实际问题中的基础应用，解题关键是掌握坡度与坡角的对应关系，熟记特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 拦水坝横断面的示意图如图所示，若斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为(
A.$4\sqrt{3}$ m
B.$6\sqrt{5}$ m
C.$12\sqrt{5}$ m
D.24 m
B
)A.$4\sqrt{3}$ m
B.$6\sqrt{5}$ m
C.$12\sqrt{5}$ m
D.24 m
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先要明确坡度的定义：坡度是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值。已知斜坡AB的坡度为1:2，水平宽度AC为12m，可先根据坡度求出铅直高度BC的长度，再在Rt△ABC中利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
∵斜坡AB的坡度$i=1:2$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，
又
∵水平宽度$AC=12\mathrm{m}$，
∴$BC=\frac{1}{2}× AC=\frac{1}{2}×12=6\mathrm{m}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\mathrm{m}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
坡度的定义；勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是正确理解坡度的含义，再结合勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确坡度的定义：坡度是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值。已知斜坡AB的坡度为1:2，水平宽度AC为12m，可先根据坡度求出铅直高度BC的长度，再在Rt△ABC中利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
∵斜坡AB的坡度$i=1:2$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，
又
∵水平宽度$AC=12\mathrm{m}$，
∴$BC=\frac{1}{2}× AC=\frac{1}{2}×12=6\mathrm{m}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\mathrm{m}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
坡度的定义；勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是正确理解坡度的含义，再结合勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
1. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，坡面AB = 6√5，则河堤的高度是(
A.3
B.6√5
C.6
D.3√5
C
)A.3
B.6√5
C.6
D.3√5
答案
1. C
解析
【分析】
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度与水平宽度的比值。本题中迎水坡AB的坡度为1:2，即垂直高度BC和水平宽度AC的比为1:2，我们可以设未知数列方程，再结合直角三角形的勾股定理即可求出河堤高度。具体步骤：第一步设BC的高度为x，根据坡度表示出AC的长度；第二步将AB、BC、AC的长度代入勾股定理公式求解即可。
【解析】
设河堤的高度BC为x，
∵迎水坡AB的坡度是1:2，即$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴水平宽度$AC=2x$，
由图可知$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
将$AB=6\sqrt{5}$、$BC=x$、$AC=2x$代入上式：
$x^2 + (2x)^2 = (6\sqrt{5})^2$
化简得：$5x^2 = 180$
解得$x^2=36$，
∵x表示长度，为正数，
∴$x=6$，即河堤的高度为6。
【答案】
C
【知识点】
坡度的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是准确理解坡度的含义，结合勾股定理建立方程求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度与水平宽度的比值。本题中迎水坡AB的坡度为1:2，即垂直高度BC和水平宽度AC的比为1:2，我们可以设未知数列方程，再结合直角三角形的勾股定理即可求出河堤高度。具体步骤：第一步设BC的高度为x，根据坡度表示出AC的长度；第二步将AB、BC、AC的长度代入勾股定理公式求解即可。
【解析】
设河堤的高度BC为x，
∵迎水坡AB的坡度是1:2，即$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴水平宽度$AC=2x$，
由图可知$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
将$AB=6\sqrt{5}$、$BC=x$、$AC=2x$代入上式：
$x^2 + (2x)^2 = (6\sqrt{5})^2$
化简得：$5x^2 = 180$
解得$x^2=36$，
∵x表示长度，为正数，
∴$x=6$，即河堤的高度为6。
【答案】
C
【知识点】
坡度的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是准确理解坡度的含义，结合勾股定理建立方程求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图，某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 m，那么这两树在坡
面上的距离AB为(
A.$5\cosα$ m
B.$\frac{5}{\cosα}$ m
C.$5\sinα$ m
D.$\frac{5}{\sinα}$ m
面上的距离AB为(B
)A.$5\cosα$ m
B.$\frac{5}{\cosα}$ m
C.$5\sinα$ m
D.$\frac{5}{\sinα}$ m
答案
2. B
解析
【分析】
首先将实际问题转化为直角三角形模型：坡角α为直角三角形的一个锐角，相邻两树的水平距离5m是角α的邻边，坡面距离AB是直角三角形的斜边。接下来根据锐角三角函数中余弦的定义，建立边与角的关系，变形后即可求出AB的长度。
【解析】
在由坡面AB、两树的水平距离、两树的竖直高度差构成的直角三角形中，坡角为α，水平距离为5m。
根据余弦的定义：$\cosα=\frac{\mathrm{角}α\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{\mathrm{水平距离}}{AB}$，
代入水平距离为5m，可得$\cosα=\frac{5}{AB}$，
变形得：$AB=\frac{5}{\cosα}\ \mathrm{m}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形，坡角应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确坡角、水平距离、坡面距离的对应关系，熟练掌握锐角三角函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先将实际问题转化为直角三角形模型：坡角α为直角三角形的一个锐角，相邻两树的水平距离5m是角α的邻边，坡面距离AB是直角三角形的斜边。接下来根据锐角三角函数中余弦的定义，建立边与角的关系，变形后即可求出AB的长度。
【解析】
在由坡面AB、两树的水平距离、两树的竖直高度差构成的直角三角形中，坡角为α，水平距离为5m。
根据余弦的定义：$\cosα=\frac{\mathrm{角}α\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{\mathrm{水平距离}}{AB}$，
代入水平距离为5m，可得$\cosα=\frac{5}{AB}$，
变形得：$AB=\frac{5}{\cosα}\ \mathrm{m}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形，坡角应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确坡角、水平距离、坡面距离的对应关系，熟练掌握锐角三角函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，$∠ ACB = 45°$，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使$∠ D = 30°$，则CD的长度约为（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$）（
A.1.59米
B.2.07米
C.3.55米
D.3.66米
D
）A.1.59米
B.2.07米
C.3.55米
D.3.66米
答案
3. D
解析
【分析】
首先观察图形可知AB垂直于AD，因此△ABC和△ABD均为直角三角形。解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中，利用∠ACB=45°的等腰直角三角形性质，求出AC的长度；第二步，在Rt△ABD中，利用30°角的正切值求出AD的长度；第三步，CD的长度等于AD减去AC，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
由题意得AB⊥AD，即∠A=90°。
①在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ACB=45°，AB=5米，
∴∠ABC=90°-45°=45°=∠ACB，
∴AC=AB=5米。
②在Rt△ABD中，∠A=90°，∠D=30°，
根据正切的定义：$\tan D=\frac{AB}{AD}$，
∴$AD=\frac{AB}{\tan30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}$米，
代入$\sqrt{3}\approx1.732$，得AD≈5×1.732=8.66米。
③CD=AD-AC≈8.66-5=3.66米。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，核心是准确识别直角三角形，熟练运用特殊角的三角函数值进行计算，解题时要注意各线段之间的数量关系，避免混淆三角函数的对应边。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知AB垂直于AD，因此△ABC和△ABD均为直角三角形。解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中，利用∠ACB=45°的等腰直角三角形性质，求出AC的长度；第二步，在Rt△ABD中，利用30°角的正切值求出AD的长度；第三步，CD的长度等于AD减去AC，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
由题意得AB⊥AD，即∠A=90°。
①在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ACB=45°，AB=5米，
∴∠ABC=90°-45°=45°=∠ACB，
∴AC=AB=5米。
②在Rt△ABD中，∠A=90°，∠D=30°，
根据正切的定义：$\tan D=\frac{AB}{AD}$，
∴$AD=\frac{AB}{\tan30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}$米，
代入$\sqrt{3}\approx1.732$，得AD≈5×1.732=8.66米。
③CD=AD-AC≈8.66-5=3.66米。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，核心是准确识别直角三角形，熟练运用特殊角的三角函数值进行计算，解题时要注意各线段之间的数量关系，避免混淆三角函数的对应边。
【难度系数】
0.7
4. 如图,燕尾槽是一个等腰梯形,外口AD宽10 cm,燕尾槽深10 cm,AB的坡度$i = 1:1$,求BC的长度及燕尾槽的截面积.
答案
BC = 30 cm, S = 200 cm²
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先明确坡度的定义：坡度i是垂直高度与水平宽度的比值，结合等腰梯形的对称性，我们可以通过作高将等腰梯形分割为矩形和两个全等的直角三角形，把未知的边长转化为熟悉的图形边长求解；2. 先利用坡度求出直角三角形的水平边长，再结合上底AD的长度求出下底BC的长；3. 最后代入梯形面积公式计算燕尾槽的截面积。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F。
则四边形AEFD为矩形，因此$\rm EF=AD=10\ cm$，$\rm AE=DF=10\ cm$（即燕尾槽的深度）。
已知AB的坡度$\rm i=1:1$，根据坡度定义$\rm i=\frac{垂直高度}{水平宽度}=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{1}$，可得$\rm BE=AE=10\ cm$。
因为燕尾槽是等腰梯形，所以$\rm △ ABE ≌ △ DCF$，因此$\rm FC=BE=10\ cm$。
那么BC的长度为：$\rm BC=BE+EF+FC=10+10+10=30\ cm$。
根据梯形面积公式计算截面积：
$\rm S=\frac{1}{2}×(AD+BC)×高=\frac{1}{2}×(10+30)×10=200\ cm^2$。
【答案】
$\rm BC = 30\ cm$，$\rm S = 200\ cm^2$
【知识点】
坡度的概念，等腰梯形的性质，梯形面积计算
【点评】
本题是几何知识在实际问题中的典型应用，解题的核心是通过作辅助线将梯形分割为矩形和直角三角形，结合坡度、等腰梯形的性质求解边长，再套用面积公式计算，整体逻辑清晰，侧重对基础概念和转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先明确坡度的定义：坡度i是垂直高度与水平宽度的比值，结合等腰梯形的对称性，我们可以通过作高将等腰梯形分割为矩形和两个全等的直角三角形，把未知的边长转化为熟悉的图形边长求解；2. 先利用坡度求出直角三角形的水平边长，再结合上底AD的长度求出下底BC的长；3. 最后代入梯形面积公式计算燕尾槽的截面积。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F。
则四边形AEFD为矩形，因此$\rm EF=AD=10\ cm$，$\rm AE=DF=10\ cm$（即燕尾槽的深度）。
已知AB的坡度$\rm i=1:1$，根据坡度定义$\rm i=\frac{垂直高度}{水平宽度}=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{1}$，可得$\rm BE=AE=10\ cm$。
因为燕尾槽是等腰梯形，所以$\rm △ ABE ≌ △ DCF$，因此$\rm FC=BE=10\ cm$。
那么BC的长度为：$\rm BC=BE+EF+FC=10+10+10=30\ cm$。
根据梯形面积公式计算截面积：
$\rm S=\frac{1}{2}×(AD+BC)×高=\frac{1}{2}×(10+30)×10=200\ cm^2$。
【答案】
$\rm BC = 30\ cm$，$\rm S = 200\ cm^2$
【知识点】
坡度的概念，等腰梯形的性质，梯形面积计算
【点评】
本题是几何知识在实际问题中的典型应用，解题的核心是通过作辅助线将梯形分割为矩形和直角三角形，结合坡度、等腰梯形的性质求解边长，再套用面积公式计算，整体逻辑清晰，侧重对基础概念和转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
5. 周末,小涛想用所学的数学知识测量一斜坡上松树AB的高度(松树与地面垂直),测量时,他先选择在水平地面CD的F处垂直于地面放置测角仪EF.从E点测得松树顶端A的仰角为45°,松树底部B的仰角为20°,已知斜坡上松树底部B到坡底C的距离BC = $6\sqrt{3}$ m,CF = 1 m,坡角∠BCD = 30°,测量示意图如图所示,请根据相关测量信息,求松树AB的高度.(sin 20° ≈ 0.34,cos 20° ≈ 0.94) 
答案
5. AB = 6.4 m
解析
【分析】
这是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先添加辅助线构造直角三角形，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BP⊥CD于P，把问题拆解为解3个直角三角形的问题；先在Rt△BCP中利用坡角30°求出水平线段CP的长度，结合CF长度得到EN的长度；再分别在含仰角的Rt△AEN和Rt△BEN中，利用三角函数求出AN、BN的长度，最后通过AN减BN得到松树AB的高度。
【解析】
解：过点E作EN⊥AB于点N，过点B作BP⊥CD于点P，
由题意得四边形ENPF是矩形，因此EN=PF。
在Rt△BCP中，∠BCP=30°，BC=$6\sqrt{3}$ m，
$\therefore CP=BC·\cos30°=6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=9$ m，
$\because CF=1$ m，
$\therefore EN=PF=CP+CF=9+1=10$ m。
在Rt△AEN中，∠AEN=45°，
$\therefore AN=EN·\tan45°=10×1=10$ m。
在Rt△BEN中，∠BEN=20°，$\tan20°=\frac{\sin20°}{\cos20°}\approx\frac{0.34}{0.94}\approx0.362$，
$\therefore BN=EN·\tan20°\approx10×0.362=3.62$ m。
$\therefore AB=AN-BN\approx10-3.62\approx6.4$ m。
【答案】
AB = 6.4 m
【知识点】
解直角三角形的应用、三角函数定义、矩形的性质
【点评】
本题结合测量高度的实际场景考查解直角三角形的应用，核心是通过合理作辅助线将不规则图形转化为常见的直角三角形和矩形，再利用边角关系计算对应线段长度，计算时要注意三角函数取值的近似处理。
【难度系数】
0.6
这是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先添加辅助线构造直角三角形，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BP⊥CD于P，把问题拆解为解3个直角三角形的问题；先在Rt△BCP中利用坡角30°求出水平线段CP的长度，结合CF长度得到EN的长度；再分别在含仰角的Rt△AEN和Rt△BEN中，利用三角函数求出AN、BN的长度，最后通过AN减BN得到松树AB的高度。
【解析】
解：过点E作EN⊥AB于点N，过点B作BP⊥CD于点P，
由题意得四边形ENPF是矩形，因此EN=PF。
在Rt△BCP中，∠BCP=30°，BC=$6\sqrt{3}$ m，
$\therefore CP=BC·\cos30°=6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=9$ m，
$\because CF=1$ m，
$\therefore EN=PF=CP+CF=9+1=10$ m。
在Rt△AEN中，∠AEN=45°，
$\therefore AN=EN·\tan45°=10×1=10$ m。
在Rt△BEN中，∠BEN=20°，$\tan20°=\frac{\sin20°}{\cos20°}\approx\frac{0.34}{0.94}\approx0.362$，
$\therefore BN=EN·\tan20°\approx10×0.362=3.62$ m。
$\therefore AB=AN-BN\approx10-3.62\approx6.4$ m。
【答案】
AB = 6.4 m
【知识点】
解直角三角形的应用、三角函数定义、矩形的性质
【点评】
本题结合测量高度的实际场景考查解直角三角形的应用，核心是通过合理作辅助线将不规则图形转化为常见的直角三角形和矩形，再利用边角关系计算对应线段长度，计算时要注意三角函数取值的近似处理。
【难度系数】
0.6
