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1. 解直角三角形应用中的概念.
(1) 坡度、坡角的概念.
如图,我们通常把坡面的
(1) 坡度、坡角的概念.
如图,我们通常把坡面的
垂直
高度 $h$ 和 水平
宽度 $l$ 的比叫作坡度(或坡比),用字母 $i$ 表示,即 $i = \tanα = \frac{h}{l}$.这里 $α$ 是坡面与 水平地
面的夹角,这个角叫作坡角.答案
1. 垂直 水平 水平地面
解析
【分析】
本题考查坡度和坡角的基础定义，解题时可结合图形和概念回忆作答：首先回忆坡度的构成要素，坡面的高度是垂直于水平面的高度，对应的宽度是水平方向的宽度；再回忆坡角的定义，坡角是坡面与水平面的夹角，结合定义即可对应填出三个空的内容。
【解析】
根据坡度、坡角的定义：
坡面的垂直高度$h$和水平宽度$l$的比叫作坡度（或坡比）；坡角是坡面与水平地面的夹角，因此三个空依次填入对应概念即可。
【答案】
垂直 水平 水平地面
【知识点】
坡度的定义，坡角的定义，解直角三角形应用
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察坡度、坡角的核心定义，是解直角三角形在实际场景中应用的基础知识点，掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题考查坡度和坡角的基础定义，解题时可结合图形和概念回忆作答：首先回忆坡度的构成要素，坡面的高度是垂直于水平面的高度，对应的宽度是水平方向的宽度；再回忆坡角的定义，坡角是坡面与水平面的夹角，结合定义即可对应填出三个空的内容。
【解析】
根据坡度、坡角的定义：
坡面的垂直高度$h$和水平宽度$l$的比叫作坡度（或坡比）；坡角是坡面与水平地面的夹角，因此三个空依次填入对应概念即可。
【答案】
垂直 水平 水平地面
【知识点】
坡度的定义，坡角的定义，解直角三角形应用
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察坡度、坡角的核心定义，是解直角三角形在实际场景中应用的基础知识点，掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
2. 利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程.
（1）将实际问题抽象为
（2）根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等知识解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到
（1）将实际问题抽象为
数学问题
（画出图形,转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等知识解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到
实际问题
的答案.答案
2. 数学问题 实际问题
解析
【分析】
本题考查利用解直角三角形解决实际问题的一般流程，解题时可按照“实际问题转化为数学问题，求解后再回归实际问题”的逻辑思考：处理实际问题时首先要提炼掉场景里的无关信息，把问题抽象为纯数学问题，画出对应的直角三角形图形，才能用解直角三角形的知识求解；算出数学层面的结果后，还要把结果对应回最初的实际场景，才能得到有实际意义的结论，对应两个空的位置即可完成填写。
【解析】
根据解直角三角形解决实际问题的标准流程：
（1）第一步需要将实际问题抽象为数学问题，通过画出平面图形，把实际场景转化为解直角三角形的问题，因此第一个空填“数学问题”；
（4）在解出直角三角形得到数学问题的答案后，需要把数学结论还原到实际场景中，最终得到实际问题的答案，因此第二个空填“实际问题”。
【答案】
数学问题；实际问题
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 实际问题数学建模
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查解直角三角形解决实际问题的基本流程，是后续运用解直角三角形知识求解各类实际应用题的前提，熟悉教材相关内容即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
本题考查利用解直角三角形解决实际问题的一般流程，解题时可按照“实际问题转化为数学问题，求解后再回归实际问题”的逻辑思考：处理实际问题时首先要提炼掉场景里的无关信息，把问题抽象为纯数学问题，画出对应的直角三角形图形，才能用解直角三角形的知识求解；算出数学层面的结果后，还要把结果对应回最初的实际场景，才能得到有实际意义的结论，对应两个空的位置即可完成填写。
【解析】
根据解直角三角形解决实际问题的标准流程：
（1）第一步需要将实际问题抽象为数学问题，通过画出平面图形，把实际场景转化为解直角三角形的问题，因此第一个空填“数学问题”；
（4）在解出直角三角形得到数学问题的答案后，需要把数学结论还原到实际场景中，最终得到实际问题的答案，因此第二个空填“实际问题”。
【答案】
数学问题；实际问题
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 实际问题数学建模
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查解直角三角形解决实际问题的基本流程，是后续运用解直角三角形知识求解各类实际应用题的前提，熟悉教材相关内容即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
合作学习
如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离.(精确到0.1 m)
如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离.(精确到0.1 m)
答案
斜坡上相邻两树的坡面距离约为6.0 m
解析
【分析】
本题是解直角三角形在实际生活中的应用问题，首先将实际场景转化为直角三角形模型：Rt△ABC中，∠C=90°，已知水平距离AC=5.5m，倾斜角∠A=24°，要求坡面距离AB即直角三角形的斜边。根据锐角三角函数的定义，已知锐角和它的邻边求斜边，选择余弦函数列式即可求解。
【解析】
解：由题意可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=5.5 m，∠BAC=24°。
根据余弦函数的定义：$\cos∠ BAC=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
变形可得：$AB=\frac{AC}{\cos24°}$
代入数值计算，$\cos24°\approx0.9135$，则
$AB\approx\frac{5.5}{0.9135}\approx6.0$（m）
【答案】
斜坡上相邻两树的坡面距离约为6.0 m
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 余弦函数的定义
【点评】
本题属于三角函数实际应用的基础题型，核心是将实际问题抽象为直角三角形的边角求解问题，解题时要准确对应三角函数的边角关系，注意结果按要求保留精度即可。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形在实际生活中的应用问题，首先将实际场景转化为直角三角形模型：Rt△ABC中，∠C=90°，已知水平距离AC=5.5m，倾斜角∠A=24°，要求坡面距离AB即直角三角形的斜边。根据锐角三角函数的定义，已知锐角和它的邻边求斜边，选择余弦函数列式即可求解。
【解析】
解：由题意可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=5.5 m，∠BAC=24°。
根据余弦函数的定义：$\cos∠ BAC=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
变形可得：$AB=\frac{AC}{\cos24°}$
代入数值计算，$\cos24°\approx0.9135$，则
$AB\approx\frac{5.5}{0.9135}\approx6.0$（m）
【答案】
斜坡上相邻两树的坡面距离约为6.0 m
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 余弦函数的定义
【点评】
本题属于三角函数实际应用的基础题型，核心是将实际问题抽象为直角三角形的边角求解问题，解题时要准确对应三角函数的边角关系，注意结果按要求保留精度即可。
【难度系数】
0.7
同学们,如果你是修建某座大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡AB的坡度$i=1:3$,斜坡CD的坡度$i=1:2.5$.求斜坡AB的坡面角$α$,坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1 m)
答案
α≈18.4°，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m
解析
【分析】
首先观察到大坝横断面是梯形，我们可以通过作两条高把梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，将问题转化为解直角三角形和矩形的问题求解：
1. 回忆坡度的定义：坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，也等于坡面角的正切值，利用坡度可以分别求出两个直角三角形的水平直角边长度；
2. 矩形的对边相等，因此两条高之间的水平距离等于坝顶宽度，三段水平长度相加即可得到坝底宽；
3. 坡面角可通过坡度对应的正切值求反正切得到，斜坡长度可通过勾股定理计算。
【解析】
过点B作$BE⊥ AD$于E，过点C作$CF⊥ AD$于F，
则四边形$BEFC$是矩形，因此$EF=BC=6\mathrm{m}$，$BE=CF=23\mathrm{m}$。
1. 求坝底宽$AD$：
斜坡$AB$的坡度$i=1:3=\frac{BE}{AE}$，因此$AE=3BE=3×23=69\mathrm{m}$；
斜坡$CD$的坡度$i=1:2.5=\frac{CF}{FD}$，因此$FD=2.5CF=2.5×23=57.5\mathrm{m}$；
故$AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5\mathrm{m}$。
2. 求坡面角$α$：
$\tanα = i=\frac{1}{3}\approx0.3333$，因此$α\approx\arctan0.3333\approx18.4°$。
3. 求斜坡$AB$的长：
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{69^2+23^2}=\sqrt{5290}\approx72.7\mathrm{m}$。
【答案】
$α\approx18.4°$，坝底宽$AD$为$132.5\mathrm{m}$，斜坡$AB$的长约为$72.7\mathrm{m}$
【知识点】
坡度与坡角、解直角三角形、梯形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程中的典型应用，解题核心是通过作辅助线将梯形转化为矩形和直角三角形，结合坡度的定义即可逐步求解，计算时要注意近似值的精度要求。
【难度系数】
0.7
首先观察到大坝横断面是梯形，我们可以通过作两条高把梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，将问题转化为解直角三角形和矩形的问题求解：
1. 回忆坡度的定义：坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，也等于坡面角的正切值，利用坡度可以分别求出两个直角三角形的水平直角边长度；
2. 矩形的对边相等，因此两条高之间的水平距离等于坝顶宽度，三段水平长度相加即可得到坝底宽；
3. 坡面角可通过坡度对应的正切值求反正切得到，斜坡长度可通过勾股定理计算。
【解析】
过点B作$BE⊥ AD$于E，过点C作$CF⊥ AD$于F，
则四边形$BEFC$是矩形，因此$EF=BC=6\mathrm{m}$，$BE=CF=23\mathrm{m}$。
1. 求坝底宽$AD$：
斜坡$AB$的坡度$i=1:3=\frac{BE}{AE}$，因此$AE=3BE=3×23=69\mathrm{m}$；
斜坡$CD$的坡度$i=1:2.5=\frac{CF}{FD}$，因此$FD=2.5CF=2.5×23=57.5\mathrm{m}$；
故$AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5\mathrm{m}$。
2. 求坡面角$α$：
$\tanα = i=\frac{1}{3}\approx0.3333$，因此$α\approx\arctan0.3333\approx18.4°$。
3. 求斜坡$AB$的长：
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{69^2+23^2}=\sqrt{5290}\approx72.7\mathrm{m}$。
【答案】
$α\approx18.4°$，坝底宽$AD$为$132.5\mathrm{m}$，斜坡$AB$的长约为$72.7\mathrm{m}$
【知识点】
坡度与坡角、解直角三角形、梯形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程中的典型应用，解题核心是通过作辅助线将梯形转化为矩形和直角三角形，结合坡度的定义即可逐步求解，计算时要注意近似值的精度要求。
【难度系数】
0.7
