6. 如图,在一条笔直的东西向海岸线 $ l $上有一长为1.5 km 的码头 $ MN $ 和灯塔 $ C $,灯塔 $ C $距离码头的东端 $ N $ 有 20 km,一轮船以36 km/h 的速度航行,上午 10 点在 $ A $ 处测得灯塔 $ C $ 位于轮船的北偏西 $ 30° $方向,上午10 点 40 分在 $ B $ 处测得灯塔 $ C $ 位于轮船的北偏东 $ 60° $方向,且与灯塔 $ C $ 相距 12 km.
(1) 若轮船照此速度与航向航行,何时到达海岸线?
(2) 若轮船不改变航向,该轮船能否停靠在码头? 请说明理由.(参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.4,\sqrt{3} \approx 1.7$)

6. (1) 11点；(2) 能，理由略.

【分析】
本题是方向角结合解直角三角形的实际应用问题。解题思路如下：
(1) 首先根据轮船航行时间和速度计算AB的长度，结合已知BC的长度，先判断△ABC的形状得到角度关系；再延长AB交海岸线l于点D，通过角度关系判断△BCD的形状，求出BD的长度，进而计算航行时间得到到达海岸线的时刻。
(2) 要判断能否停靠码头，只需计算点D到C的距离，对比D到N、M的距离范围，若CD长度在20km到21.5km之间则可以停靠，否则不能；计算CD时可通过作高构造直角三角形，利用三角函数求解。
【解析】
解：(1) 轮船从A到B的航行时间为40分钟=$\frac{2}{3}$h，
∴ AB的长度为 $36 × \frac{2}{3}=24$ km。
已知BC=12km，由方向角可知∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∴ $∠ ACB=180°-30°-60°=90°$，即$△ ABC$为直角三角形。
延长AB交海岸线$l$于点D，
∵ 正北方向垂直于东西走向的海岸线$l$，B处测得C在北偏东60°方向，
∴ $∠ BCD=30°$，又$∠ CBD=180°-∠ ABC=180°-60°=120°$，
∴ $∠ BDC=180°-120°-30°=30°$，
∴ $∠ BDC=∠ BCD$，即$△ BCD$为等腰三角形，$BD=BC=12$km。
∴ 轮船从B到D的航行时间为 $\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$h=20分钟，
10点40分+20分钟=11点，即轮船11点到达海岸线。
(2) 能停靠码头，理由如下：
过点B作$BH⊥ CD$于点H，
∵ $△ BCD$为等腰三角形，$BH⊥ CD$，
∴ $CH=HD=\frac{1}{2}CD$。
在$Rt△ BCH$中，$∠ BCH=30°$，$BC=12$km，
∴ $CH=BC·\cos30°=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ km，
∴ $CD=2CH=12\sqrt{3}\approx12×1.7=20.4$ km。
由题意知$NC=20$km，$MN=1.5$km，
∴ 码头范围为距离C点20km（N点）到$20+1.5=21.5$km（M点）之间，
∵ $20＜20.4＜21.5$，
∴ 点D在码头MN之间，轮船能停靠在码头。
【答案】
(1) 11点；(2) 能，理由见解析
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题结合实际航行场景，考查了方向角的识别、特殊三角形的性质及三角函数的实际应用，解题的关键是结合方向角找出图中的角度关系，构造直角三角形计算边长，实现数学知识与实际问题的转化。
【难度系数】
0.65

7. 如图,某轮船在海上向正东方向航行,在点A处测得小岛O在北偏东$60°$方向,之后轮船继续向正东方向行驶1.5 h到达B处,这时小岛O在船的北偏东$30°$方向36海里处.
(1) 求轮船从A处到B处的航速.
(2) 如果轮船按原速继续向正东方向航行,再经过多少时间轮船才恰好位于小岛O的东南方向?

7. (1) 24 海里/小时；(2) $\frac{3 + 3\sqrt{3}}{4}$ 小时.

【分析】
这是结合方位角的解直角三角形应用题，解题思路如下：
1. 第一问：首先过点O作AB延长线的垂线OC，构造两个直角三角形。先利用B处的方位角和OB的长度，解Rt△OBC求出BC、OC的长度；再利用A处的方位角解Rt△OAC求出AC的长度，用AC减去BC得到AB的路程，最后根据“速度=路程÷时间”计算航速。
2. 第二问：轮船位于小岛O的东南方向时，△OCD为等腰直角三角形，可得CD=OC，求出BD的路程后除以航速，即可得到所需航行时间。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$，交AB的延长线于点C。
(1) 在$Rt△ OBC$中，$∠ OBC=90°-30°=60°$，$OB=36$海里
$\therefore BC=OB·\cos60°=36×\frac{1}{2}=18$ 海里
$OC=OB·\sin60°=36×\frac{\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}$ 海里
在$Rt△ OAC$中，$∠ OAC=90°-60°=30°$
$\because \tan∠ OAC=\frac{OC}{AC}$
$\therefore AC=\frac{OC}{\tan30°}=\frac{18\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=54$ 海里
$\therefore AB=AC-BC=54-18=36$ 海里
轮船航速为 $36÷1.5=24$ 海里/小时
(2) 设轮船继续向东航行到点D时，恰好位于小岛O的东南方向，此时$∠ ODC=45°$
在$Rt△ OCD$中，$∠ OCD=90°$，$∠ ODC=45°$
$\therefore CD=OC=18\sqrt{3}$ 海里
$\therefore BD=BC+CD=18+18\sqrt{3}$ 海里
所需时间为 $(18+18\sqrt{3})÷24=\frac{3+3\sqrt{3}}{4}$ 小时
【答案】
(1) 24 海里/小时；(2) $\frac{3 + 3\sqrt{3}}{4}$ 小时
【知识点】
解直角三角形的应用、方位角、等腰直角三角形性质
【点评】
本题考查解直角三角形在实际航行问题中的应用，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，结合方位角的含义找到边角关系，注意东南方向对应45°角是解题的隐含条件。
【难度系数】
0.65

8. 如图,小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB高80 m. 为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为$37°$,大厦底部B的俯角为$48°$. 求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度. (参考数据:$\sin 37° \approx \frac{3}{5}$, $\tan 37° \approx \frac{3}{4}$, $\sin 48° \approx \frac{7}{10}$, $\tan 37° \approx \frac{11}{10}$,结果保留整数)

43 m

【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，首先观察图形可得CD为水平线段且CD⊥AB，将大厦AB分成AD、DB两段，形成两个共直角边CD的直角三角形。我们可以设CD的长度为x米，利用仰角、俯角的正切值分别表示出AD和DB的长度，再根据AD+DB=AB=80m的等量关系列方程，即可求出CD的长度。
【解析】
设小明家所在居民楼与大厦的距离$ CD = x \, \mathrm{m} $。
由题意可知$ CD ⊥ AB $，因此$ △ ACD $和$ △ BCD $均为直角三角形。
在$ \mathrm{Rt}△ ACD $中，$ ∠ ACD = 37° $，根据正切定义：
$ \tan 37° = \frac{AD}{CD} $，则$ AD = CD · \tan 37° \approx \frac{3}{4}x $。
在$ \mathrm{Rt}△ BCD $中，$ ∠ BCD = 48° $，根据正切定义（题目参考数据标注笔误，实际$ \tan48° \approx \frac{11}{10} $）：
$ \tan 48° = \frac{DB}{CD} $，则$ DB = CD · \tan 48° \approx \frac{11}{10}x $。
因为$ AD + DB = AB = 80 \, \mathrm{m} $，代入得方程：
$ \frac{3}{4}x + \frac{11}{10}x = 80 $
通分计算：$ \frac{15x + 22x}{20} = 80 $，即$ 37x = 1600 $
解得$ x = \frac{1600}{37} \approx 43 $
【答案】
43 m
【知识点】
1. 解直角三角形应用 2. 仰角俯角问题 3. 正切函数
【点评】
本题是三角函数实际测量的典型题型，解题核心是找到公共直角边作为未知量，将线段和的关系转化为方程求解，计算时要注意题目给出参考数据的正确使用，最终结果按要求保留整数即可。
【难度系数】
0.7