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1. 如图，小明从A处出发沿北偏东$60°$方向行走至B处，又沿北偏西$20°$方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是(
A.右转$80°$
B.左转$80°$
C.右转$100°$
D.左转$100°$
A
)A.右转$80°$
B.左转$80°$
C.右转$100°$
D.左转$100°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：①所有正北方向的直线互相平行；②调整方向后与出发时一致，即最终行进方向和初始AB方向平行且同向。首先分别确定BC方向、目标方向与正北方向的夹角，再计算两个方向的角度差，最后结合左转（逆时针）、右转（顺时针）的定义判断转动方向即可得到结果。
【解析】
1. 由于方向角以正北、正南为基准，因此所有正北方向的直线互相平行。
2. 初始从A到B的行进方向为北偏东60°，即该方向与正北线的夹角向东为60°；从B到C的行进方向为北偏西20°，即该方向与正北线的夹角向西为20°。
3. 调整后方向需与出发时一致，即最终行进方向与AB同向平行，该方向和正北线的夹角向东为60°。
4. 计算转动角度：当前方向为北偏西20°，目标方向为北偏东60°，顺时针（右转）转动的角度为20°+60°=80°，因此应右转80°。
【答案】
A
【知识点】
方向角的概念；平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的方向调整场景，考查方向角和平行线性质的实际应用，解题的易错点是容易混淆左转和右转的方向，解题时可通过画示意图明确方向偏转的情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个核心条件：①所有正北方向的直线互相平行；②调整方向后与出发时一致，即最终行进方向和初始AB方向平行且同向。首先分别确定BC方向、目标方向与正北方向的夹角，再计算两个方向的角度差，最后结合左转（逆时针）、右转（顺时针）的定义判断转动方向即可得到结果。
【解析】
1. 由于方向角以正北、正南为基准，因此所有正北方向的直线互相平行。
2. 初始从A到B的行进方向为北偏东60°，即该方向与正北线的夹角向东为60°；从B到C的行进方向为北偏西20°，即该方向与正北线的夹角向西为20°。
3. 调整后方向需与出发时一致，即最终行进方向与AB同向平行，该方向和正北线的夹角向东为60°。
4. 计算转动角度：当前方向为北偏西20°，目标方向为北偏东60°，顺时针（右转）转动的角度为20°+60°=80°，因此应右转80°。
【答案】
A
【知识点】
方向角的概念；平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的方向调整场景，考查方向角和平行线性质的实际应用，解题的易错点是容易混淆左转和右转的方向，解题时可通过画示意图明确方向偏转的情况。
【难度系数】
0.7
2.（2024江苏盐城中考）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为
17
m.（答案精确到1 m，参考数据：$\sin 37° \approx 0.60, \cos 37° \approx 0.80, \tan 37° \approx 0.75$）答案
2. 17
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，核心是利用俯角的含义构造直角三角形求解。解题思路如下：①首先明确俯角是视线与水平线的夹角，无人机从P水平飞到Q，两点距离地面高度均为30m；②利用P处测得A的俯角37°，结合正切函数求出P到教学楼的水平距离；③用该水平距离减去PQ的长度，得到Q到教学楼的水平距离；④结合Q处测得B的俯角为45°，可知对应直角三角形为等腰直角三角形，得到Q比B高出的高度；⑤用30m减去该高度即可得到教学楼AB的高度。
【解析】
解：由题意可知，点P、Q的海拔高度均为30m，PQ为水平线段，长度26.6m。
过点A作水平线的垂线，交P所在水平线于点C，在Rt△APC中，∠APC=37°，AC=30m，
根据正切定义：$\tan 37°=\frac{AC}{PC}$，
则$PC=\frac{AC}{\tan 37°}\approx\frac{30}{0.75}=40\ \mathrm{m}$。
Q到教学楼的水平距离为：$PC-PQ=40-26.6=13.4\ \mathrm{m}$。
过点B作水平线，交Q所在的竖直线于点E，在Rt△QEB中，∠BQE=45°，故△QEB为等腰直角三角形，
则$QE=BE=13.4\ \mathrm{m}$，即Q点比B点高13.4m。
因此教学楼高度$AB=30-QE\approx30-13.4\approx17\ \mathrm{m}$。
【答案】
17
【知识点】
解直角三角形应用，三角函数定义，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合无人机测高度的实际场景，考察解直角三角形的相关知识，解题的关键是准确理解俯角的概念，合理构造直角三角形，结合三角函数值计算对应边长，属于常见的实际应用类题型。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形的实际应用问题，核心是利用俯角的含义构造直角三角形求解。解题思路如下：①首先明确俯角是视线与水平线的夹角，无人机从P水平飞到Q，两点距离地面高度均为30m；②利用P处测得A的俯角37°，结合正切函数求出P到教学楼的水平距离；③用该水平距离减去PQ的长度，得到Q到教学楼的水平距离；④结合Q处测得B的俯角为45°，可知对应直角三角形为等腰直角三角形，得到Q比B高出的高度；⑤用30m减去该高度即可得到教学楼AB的高度。
【解析】
解：由题意可知，点P、Q的海拔高度均为30m，PQ为水平线段，长度26.6m。
过点A作水平线的垂线，交P所在水平线于点C，在Rt△APC中，∠APC=37°，AC=30m，
根据正切定义：$\tan 37°=\frac{AC}{PC}$，
则$PC=\frac{AC}{\tan 37°}\approx\frac{30}{0.75}=40\ \mathrm{m}$。
Q到教学楼的水平距离为：$PC-PQ=40-26.6=13.4\ \mathrm{m}$。
过点B作水平线，交Q所在的竖直线于点E，在Rt△QEB中，∠BQE=45°，故△QEB为等腰直角三角形，
则$QE=BE=13.4\ \mathrm{m}$，即Q点比B点高13.4m。
因此教学楼高度$AB=30-QE\approx30-13.4\approx17\ \mathrm{m}$。
【答案】
17
【知识点】
解直角三角形应用，三角函数定义，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合无人机测高度的实际场景，考察解直角三角形的相关知识，解题的关键是准确理解俯角的概念，合理构造直角三角形，结合三角函数值计算对应边长，属于常见的实际应用类题型。
【难度系数】
0.7
3. 某段笔直的限速公路上,规定汽车的最高行驶速度不能超过 60 km/h(即$\frac{50}{3}$m/s). 交通管理部门在离该公路 100 m 处设置了一速度监测点 A,如图所示,点 A 位于 y 轴上,测速路段BC在x轴上,点B在点A的北偏西$60°$方向上,点C在点A的北偏东$45°$方向上.
(1) 请在图中画出表示北偏东$45°$方向的射线AC,并标出点C的位置;
(2) 点 B 的坐标为
(1) 请在图中画出表示北偏东$45°$方向的射线AC,并标出点C的位置;
(2) 点 B 的坐标为
$(-100\sqrt{3},0)$
,点 C 的坐标为$(100,0)$
.答案
3. (1) 略；(2) $(-100\sqrt{3},0)$，$(100,0)$
解析
【分析】
本题是方向角结合解直角三角形的应用问题：
1. 对于画图题，首先明确北偏东45°的含义：以点A为顶点，正北方向（y轴正方向）为始边，向东（向右）旋转45°作射线，射线与x轴正半轴的交点即为点C。
2. 求B、C坐标：x轴上的点纵坐标均为0，因此只需计算OB、OC的长度，再根据所在半轴确定横坐标正负即可。首先由题意得OA=100m，且OA⊥BC，因此△AOB、△AOC均为直角三角形，结合方向角得到两个三角形的锐角角度，利用特殊角的三角函数值即可求出OB、OC的长度，进而得到两点坐标。
【解析】
(1) 画图步骤：以A为顶点，y轴正半轴（正北方向）为一边，向东作45°角，另一边为射线AC，交x轴正半轴于点C，即为所求（画图略）。
(2) 由题意可知，OA⊥x轴，OA=100m：
① 求点B坐标：
在Rt△AOB中，∠OAB=60°，OA=100m，
根据正切的定义：$\tan∠ OAB = \frac{OB}{OA}$，
因此$OB = OA · \tan60° = 100 × \sqrt{3} = 100\sqrt{3}$m，
点B在x轴负半轴，故B点坐标为$(-100\sqrt{3}, 0)$。
② 求点C坐标：
在Rt△AOC中，∠OAC=45°，∠AOC=90°，
因此∠ACO=∠OAC=45°，可得OC=OA=100m，
点C在x轴正半轴，故C点坐标为$(100, 0)$。
【答案】
(1) 略；(2) $(-100\sqrt{3},0)$，$(100,0)$
【知识点】
解直角三角形的应用，方向角，平面直角坐标系坐标
【点评】
本题将实际问题转化为直角三角形计算问题，核心是理解方向角的含义，熟练运用特殊角的三角函数值进行计算，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
本题是方向角结合解直角三角形的应用问题：
1. 对于画图题，首先明确北偏东45°的含义：以点A为顶点，正北方向（y轴正方向）为始边，向东（向右）旋转45°作射线，射线与x轴正半轴的交点即为点C。
2. 求B、C坐标：x轴上的点纵坐标均为0，因此只需计算OB、OC的长度，再根据所在半轴确定横坐标正负即可。首先由题意得OA=100m，且OA⊥BC，因此△AOB、△AOC均为直角三角形，结合方向角得到两个三角形的锐角角度，利用特殊角的三角函数值即可求出OB、OC的长度，进而得到两点坐标。
【解析】
(1) 画图步骤：以A为顶点，y轴正半轴（正北方向）为一边，向东作45°角，另一边为射线AC，交x轴正半轴于点C，即为所求（画图略）。
(2) 由题意可知，OA⊥x轴，OA=100m：
① 求点B坐标：
在Rt△AOB中，∠OAB=60°，OA=100m，
根据正切的定义：$\tan∠ OAB = \frac{OB}{OA}$，
因此$OB = OA · \tan60° = 100 × \sqrt{3} = 100\sqrt{3}$m，
点B在x轴负半轴，故B点坐标为$(-100\sqrt{3}, 0)$。
② 求点C坐标：
在Rt△AOC中，∠OAC=45°，∠AOC=90°，
因此∠ACO=∠OAC=45°，可得OC=OA=100m，
点C在x轴正半轴，故C点坐标为$(100, 0)$。
【答案】
(1) 略；(2) $(-100\sqrt{3},0)$，$(100,0)$
【知识点】
解直角三角形的应用，方向角，平面直角坐标系坐标
【点评】
本题将实际问题转化为直角三角形计算问题，核心是理解方向角的含义，熟练运用特殊角的三角函数值进行计算，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
4.（2025天津中考）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）.某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A,E,C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF=1.7 m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°,在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°,CE=32 m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）.参考数据：tan22°≈0.4,tan31°≈0.6.
答案
40 m
解析
【分析】
本题属于利用仰角测量物体高度的实际应用问题，解题思路如下：1. 先通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形和矩形的组合问题，借助矩形性质梳理已知线段和未知线段的关系；2. 设两个直角三角形的公共竖直直角边为未知数，分别在两个含仰角的直角三角形中，利用正切函数表示出对应水平线段的长度；3. 依据两条水平线段的差等于CE的长度列方程，求解得到竖直边长度后，加上测角仪高度即可得到建筑物总高度。
【解析】
解：过点F作FG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H。
∵AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形AEFG、四边形ACDH均为矩形，
∴AG=EF=CD=1.7m，DH-GF=CE=32m。
设BG的长度为$x$ m，
在Rt△BFG中，$∠ BFG=31°$，由$\tan∠ BFG=\frac{BG}{GF}$可得：
$GF=\frac{BG}{\tan31°}\approx\frac{x}{0.6}$
在Rt△BDH中，$∠ BDH=22°$，由$\tan∠ BDH=\frac{BG}{DH}$可得：
$DH=\frac{BG}{\tan22°}\approx\frac{x}{0.4}$
结合$DH-GF=32$，列方程：
$\frac{x}{0.4}-\frac{x}{0.6}=32$
解得：$x=38.4$
因此$AB=BG+AG=38.4+1.7=40.1\approx40$（m）
【答案】
40 m
【知识点】
仰角俯角问题，解直角三角形，矩形性质
【点评】
本题结合生活测量场景考查解直角三角形的应用，解题核心是构造合适的直角三角形，利用三角函数建立未知线段与已知条件的关联，通过方程思想求解，既考查几何知识的应用能力，也体现了数学与实际生活的联系。
【难度系数】
0.7
本题属于利用仰角测量物体高度的实际应用问题，解题思路如下：1. 先通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形和矩形的组合问题，借助矩形性质梳理已知线段和未知线段的关系；2. 设两个直角三角形的公共竖直直角边为未知数，分别在两个含仰角的直角三角形中，利用正切函数表示出对应水平线段的长度；3. 依据两条水平线段的差等于CE的长度列方程，求解得到竖直边长度后，加上测角仪高度即可得到建筑物总高度。
【解析】
解：过点F作FG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H。
∵AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形AEFG、四边形ACDH均为矩形，
∴AG=EF=CD=1.7m，DH-GF=CE=32m。
设BG的长度为$x$ m，
在Rt△BFG中，$∠ BFG=31°$，由$\tan∠ BFG=\frac{BG}{GF}$可得：
$GF=\frac{BG}{\tan31°}\approx\frac{x}{0.6}$
在Rt△BDH中，$∠ BDH=22°$，由$\tan∠ BDH=\frac{BG}{DH}$可得：
$DH=\frac{BG}{\tan22°}\approx\frac{x}{0.4}$
结合$DH-GF=32$，列方程：
$\frac{x}{0.4}-\frac{x}{0.6}=32$
解得：$x=38.4$
因此$AB=BG+AG=38.4+1.7=40.1\approx40$（m）
【答案】
40 m
【知识点】
仰角俯角问题，解直角三角形，矩形性质
【点评】
本题结合生活测量场景考查解直角三角形的应用，解题核心是构造合适的直角三角形，利用三角函数建立未知线段与已知条件的关联，通过方程思想求解，既考查几何知识的应用能力，也体现了数学与实际生活的联系。
【难度系数】
0.7
5.如图,台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动. 已知台风移动的速度为30 km/h,受影响区域的半径为200 km,B市位于点P的北偏东$75°$方向上,距离P点320 km处.
(1)说明本次台风是否会影响B市.
(2)若影响,影响多长时间?
(1)说明本次台风是否会影响B市.
(2)若影响,影响多长时间?
答案
5. (1) 会影响B市，理由略；(2) 8 h.
解析
【分析】
(1)要判断台风是否影响B市，只需计算B市到台风移动路径PQ的最短距离，再与影响半径200km比较即可：首先根据方位角得出∠BPQ的度数，过B作PQ的垂线段BH，利用直角三角形的性质求出BH长度，比较BH和200km的大小；
(2)若会影响，先求出台风移动路径上到B点距离等于200km的两点之间的距离，再用该距离除以台风移动速度，即可得到影响时间。
【解析】
(1)过点B作BH⊥PQ于点H。
∵PQ是东北方向，即PQ与正北方向夹角为45°，B市位于P的北偏东75°方向，
∴∠BPQ=75°-45°=30°。
在Rt△BPH中，∠BHP=90°，∠BPH=30°，PB=320km，
∴BH=½PB=½×320=160km。
∵160km＜200km，
∴本次台风会影响B市。
(2)设台风中心移动到E点时B市开始受影响，移动到F点时结束影响，则BE=BF=200km。
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
EH=√(BE²-BH²)=√(200²-160²)=√14400=120km，
同理可得HF=120km，
∴EF=EH+HF=240km，
台风移动速度为30km/h，
∴影响时间t=240÷30=8(h)。
【答案】
(1)本次台风会影响B市；(2)8 h
【知识点】
1. 直角三角形30°角性质 2. 勾股定理 3. 方位角应用
【点评】
本题结合台风影响的实际场景，考查了解直角三角形的实际应用，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，需要准确理解方位角的定义和影响范围的几何意义。
【难度系数】
0.7
(1)要判断台风是否影响B市，只需计算B市到台风移动路径PQ的最短距离，再与影响半径200km比较即可：首先根据方位角得出∠BPQ的度数，过B作PQ的垂线段BH，利用直角三角形的性质求出BH长度，比较BH和200km的大小；
(2)若会影响，先求出台风移动路径上到B点距离等于200km的两点之间的距离，再用该距离除以台风移动速度，即可得到影响时间。
【解析】
(1)过点B作BH⊥PQ于点H。
∵PQ是东北方向，即PQ与正北方向夹角为45°，B市位于P的北偏东75°方向，
∴∠BPQ=75°-45°=30°。
在Rt△BPH中，∠BHP=90°，∠BPH=30°，PB=320km，
∴BH=½PB=½×320=160km。
∵160km＜200km，
∴本次台风会影响B市。
(2)设台风中心移动到E点时B市开始受影响，移动到F点时结束影响，则BE=BF=200km。
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
EH=√(BE²-BH²)=√(200²-160²)=√14400=120km，
同理可得HF=120km，
∴EF=EH+HF=240km，
台风移动速度为30km/h，
∴影响时间t=240÷30=8(h)。
【答案】
(1)本次台风会影响B市；(2)8 h
【知识点】
1. 直角三角形30°角性质 2. 勾股定理 3. 方位角应用
【点评】
本题结合台风影响的实际场景，考查了解直角三角形的实际应用，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，需要准确理解方位角的定义和影响范围的几何意义。
【难度系数】
0.7
