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如图,在用无人机测量一栋楼的高度时,无人机的探测器显示,从A处看楼顶部B的仰角α为30°,看楼底部C的俯角β为60°,A处与楼的水平距离为120 m. 这栋楼有多高(结果取整数)?
分析:在$Rt△ ABD$中,α和AD已知,利用解直角三角形的知识可以求出BD.类似地可以求出CD,进而求出BC.
如图,在用无人机测量一栋楼的高度时,无人机的探测器显示,从A处看楼顶部B的仰角α为30°,看楼底部C的俯角β为60°,A处与楼的水平距离为120 m. 这栋楼有多高(结果取整数)?
分析:在$Rt△ ABD$中,α和AD已知,利用解直角三角形的知识可以求出BD.类似地可以求出CD,进而求出BC.
答案
解：在Rt△ABD中，$\tanα=\frac{BD}{AD}$，$α=30°$，$AD=120m$，所以$BD=AD·\tan30°=120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}\ m$。在Rt△ACD中，$\tanβ=\frac{CD}{AD}$，$β=60°$，所以$CD=AD·\tan60°=120×\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ m$。因此$BC=BD+CD=40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}\approx277\ m$。答：这栋楼高约为277m。
解析
【分析】
解决本题需先将实际测量问题转化为解直角三角形的数学问题：过A点的水平线段AD与楼BC垂直，将BC分为BD、CD两段，形成Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形。已知两个三角形的公共直角边AD为120m，以及锐角α、β的度数，可先利用正切函数分别求出BD和CD的长度，两段长度相加即可得到楼的总高度BC。
【解析】
解：由题意得$AD⊥ BC$，$AD=120\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tanα=\frac{BD}{AD}$，$α=30°$，
$\therefore BD=AD·\tan30°=120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tanβ=\frac{CD}{AD}$，$β=60°$，
$\therefore CD=AD·\tan60°=120×\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此楼的高度$BC=BD+CD=40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}\approx277\ \mathrm{m}$。
【答案】
这栋楼高约为277 m。
【知识点】
解直角三角形，仰角俯角，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用基础题，解题关键是将实际场景中的仰角、俯角转化为直角三角形的内角，借助公共水平直角边求出两段竖直高度后求和，考查了将实际问题抽象为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需先将实际测量问题转化为解直角三角形的数学问题：过A点的水平线段AD与楼BC垂直，将BC分为BD、CD两段，形成Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形。已知两个三角形的公共直角边AD为120m，以及锐角α、β的度数，可先利用正切函数分别求出BD和CD的长度，两段长度相加即可得到楼的总高度BC。
【解析】
解：由题意得$AD⊥ BC$，$AD=120\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tanα=\frac{BD}{AD}$，$α=30°$，
$\therefore BD=AD·\tan30°=120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tanβ=\frac{CD}{AD}$，$β=60°$，
$\therefore CD=AD·\tan60°=120×\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此楼的高度$BC=BD+CD=40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}\approx277\ \mathrm{m}$。
【答案】
这栋楼高约为277 m。
【知识点】
解直角三角形，仰角俯角，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用基础题，解题关键是将实际场景中的仰角、俯角转化为直角三角形的内角，借助公共水平直角边求出两段竖直高度后求和，考查了将实际问题抽象为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
探究学习
如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东$65°$方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方
向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东$34°$方向上的B处.这时,海轮所在的B处
距离灯塔P有多远(结果取整数)?
如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东$65°$方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方
向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东$34°$方向上的B处.这时,海轮所在的B处
距离灯塔P有多远(结果取整数)?
答案
解：过点P作PC⊥AB于点C。由题意可知，在Rt△APC中，∠A=65°，PA=80海里，所以$PC=PA·\sin65°\approx80×0.91=72.8$海里。在Rt△BPC中，∠B=34°，$\sin B=\frac{PC}{PB}$，所以$PB=\frac{PC}{\sin34°}\approx\frac{72.8}{0.559}\approx130$海里。答：海轮所在的B处距离灯塔P约130海里。
解析
【分析】
这是一道和方位角相关的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：海轮沿正南方向航行，说明AB为南北走向的线段，我们可以过点P作PC⊥AB，将△PAB分割为Rt△APC和Rt△BPC两个直角三角形，其中PC是两个直角三角形的公共边，是解题的过渡桥梁。第一步先在Rt△APC中，利用已知的∠A=65°和PA的长度，通过正弦函数求出公共边PC的长；第二步再在Rt△BPC中，结合已知的∠B=34°和求出的PC长，再次利用正弦函数即可求出PB的长度，也就是B处到灯塔P的距离。
【解析】
解：过点P作PC⊥AB于点C。
由题意可知，∠A=65°，∠B=34°，PA=80海里。
在Rt△APC中，$\sin A=\frac{PC}{PA}$，
∴$PC=PA·\sin65°\approx80×0.91=72.8$（海里）。
在Rt△BPC中，$\sin B=\frac{PC}{PB}$，
∴$PB=\frac{PC}{\sin34°}\approx\frac{72.8}{0.559}\approx130$（海里）。
【答案】
海轮所在的B处距离灯塔P约130海里。
【知识点】
解直角三角形的应用，方位角问题，锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形在实际航行场景中的典型考题，解题核心是通过作高构造直角三角形，借助两个直角三角形的公共边作为中间量，结合锐角三角函数的定义逐步求解，熟练掌握方位角的含义和三角函数的计算是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
这是一道和方位角相关的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：海轮沿正南方向航行，说明AB为南北走向的线段，我们可以过点P作PC⊥AB，将△PAB分割为Rt△APC和Rt△BPC两个直角三角形，其中PC是两个直角三角形的公共边，是解题的过渡桥梁。第一步先在Rt△APC中，利用已知的∠A=65°和PA的长度，通过正弦函数求出公共边PC的长；第二步再在Rt△BPC中，结合已知的∠B=34°和求出的PC长，再次利用正弦函数即可求出PB的长度，也就是B处到灯塔P的距离。
【解析】
解：过点P作PC⊥AB于点C。
由题意可知，∠A=65°，∠B=34°，PA=80海里。
在Rt△APC中，$\sin A=\frac{PC}{PA}$，
∴$PC=PA·\sin65°\approx80×0.91=72.8$（海里）。
在Rt△BPC中，$\sin B=\frac{PC}{PB}$，
∴$PB=\frac{PC}{\sin34°}\approx\frac{72.8}{0.559}\approx130$（海里）。
【答案】
海轮所在的B处距离灯塔P约130海里。
【知识点】
解直角三角形的应用，方位角问题，锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形在实际航行场景中的典型考题，解题核心是通过作高构造直角三角形，借助两个直角三角形的公共边作为中间量，结合锐角三角函数的定义逐步求解，熟练掌握方位角的含义和三角函数的计算是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
1. 如图,一艘轮船在小岛A的北偏东$60°$方向距小岛80 n mile的B处,沿正西方向航行3 h后到达小岛的北偏西$45°$的C处,该船行驶的速度为
$\frac{40+40\sqrt{3}}{3}$
n mile/h.答案
1. $\frac{40+40\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的方位角应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形，过点A作AD垂直BC于D，将斜三角形ABC拆分为两个直角三角形；其次在Rt△ABD中，利用60°的锐角三角函数值，结合已知AB的长度求出AD、BD的长度；再在Rt△ACD中，利用45°角的性质得到CD=AD，进而求出BC的总长度；最后根据速度=路程÷时间，代入数值计算即可得到船的行驶速度。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ BC$于点D，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
由题意可知：$∠ BAD=60°$，$∠ CAD=45°$，$AB=80\ \mathrm{n mile}$，航行时间$t=3\ \mathrm{h}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中：
$AD=AB·\cos60°=80×\frac{1}{2}=40\ \mathrm{n mile}$，
$BD=AB·\sin60°=80×\frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=45°$，$△ ACD$为等腰直角三角形，因此$CD=AD=40\ \mathrm{n mile}$。
所以航行的总路程$BC=CD+BD=40+40\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$，
行驶速度$v=\frac{BC}{t}=\frac{40+40\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{n mile/h}$。
【答案】
$\frac{40+40\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用 2. 方位角 3. 特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是正确作辅助线构造直角三角形，将实际方位问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，建立边角关系求解。
【难度系数】
0.6
这是一道解直角三角形的方位角应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形，过点A作AD垂直BC于D，将斜三角形ABC拆分为两个直角三角形；其次在Rt△ABD中，利用60°的锐角三角函数值，结合已知AB的长度求出AD、BD的长度；再在Rt△ACD中，利用45°角的性质得到CD=AD，进而求出BC的总长度；最后根据速度=路程÷时间，代入数值计算即可得到船的行驶速度。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ BC$于点D，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
由题意可知：$∠ BAD=60°$，$∠ CAD=45°$，$AB=80\ \mathrm{n mile}$，航行时间$t=3\ \mathrm{h}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中：
$AD=AB·\cos60°=80×\frac{1}{2}=40\ \mathrm{n mile}$，
$BD=AB·\sin60°=80×\frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=45°$，$△ ACD$为等腰直角三角形，因此$CD=AD=40\ \mathrm{n mile}$。
所以航行的总路程$BC=CD+BD=40+40\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$，
行驶速度$v=\frac{BC}{t}=\frac{40+40\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{n mile/h}$。
【答案】
$\frac{40+40\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用 2. 方位角 3. 特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是正确作辅助线构造直角三角形，将实际方位问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，建立边角关系求解。
【难度系数】
0.6
2. 如图，小明同学在东西方向的沿江大道A处测得江中灯塔P在北偏东$60°$方向上，在A处正东400 m的B处测得江中灯塔P在北偏东$30°$方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为
$200\sqrt{3}$
m.答案
2. $200\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是方位角结合解直角三角形的应用题，解题思路如下：首先根据方位角定义求出△ABP中的内角角度，利用角度关系得到等腰三角形求出BP的长度，再过点P作AB所在直线的垂线构造直角三角形，利用三角函数求出垂线段的长度，即为灯塔P到沿江大道的距离。
第一步：根据A处的方位角计算∠PAB的度数；第二步：根据B处的方位角计算∠PBH的度数；第三步：利用三角形外角性质推导∠APB的度数，判断△ABP为等腰三角形，得到BP=AB；第四步：在构造的直角三角形中利用三角函数计算垂线段长度。
【解析】
解：过点P作PH⊥AB，交AB的延长线于点H。
1. 根据方位角定义可得：
$∠ PAB=90°-60°=30°$，
$∠ PBH=90°-30°=60°$。
2.
∵$∠ PBH$是$△ ABP$的外角，根据三角形外角性质：
$∠ PBH=∠ PAB+∠ APB$，
∴$∠ APB=∠ PBH-∠ PAB=60°-30°=30°$，
∴$∠ PAB=∠ APB$，
∴$BP=AB=400\ \mathrm{m}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ PBH$中，$∠ PHB=90°$，$∠ PBH=60°$，
∴$PH=BP·\sin60°=400×\frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$200\sqrt{3}$
【知识点】
方位角的应用，等腰三角形判定，解直角三角形
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键是准确理解方位角的含义，通过角度关系得到等腰三角形边长，再构造直角三角形结合三角函数求解，是解直角三角形应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
这是方位角结合解直角三角形的应用题，解题思路如下：首先根据方位角定义求出△ABP中的内角角度，利用角度关系得到等腰三角形求出BP的长度，再过点P作AB所在直线的垂线构造直角三角形，利用三角函数求出垂线段的长度，即为灯塔P到沿江大道的距离。
第一步：根据A处的方位角计算∠PAB的度数；第二步：根据B处的方位角计算∠PBH的度数；第三步：利用三角形外角性质推导∠APB的度数，判断△ABP为等腰三角形，得到BP=AB；第四步：在构造的直角三角形中利用三角函数计算垂线段长度。
【解析】
解：过点P作PH⊥AB，交AB的延长线于点H。
1. 根据方位角定义可得：
$∠ PAB=90°-60°=30°$，
$∠ PBH=90°-30°=60°$。
2.
∵$∠ PBH$是$△ ABP$的外角，根据三角形外角性质：
$∠ PBH=∠ PAB+∠ APB$，
∴$∠ APB=∠ PBH-∠ PAB=60°-30°=30°$，
∴$∠ PAB=∠ APB$，
∴$BP=AB=400\ \mathrm{m}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ PBH$中，$∠ PHB=90°$，$∠ PBH=60°$，
∴$PH=BP·\sin60°=400×\frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$200\sqrt{3}$
【知识点】
方位角的应用，等腰三角形判定，解直角三角形
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键是准确理解方位角的含义，通过角度关系得到等腰三角形边长，再构造直角三角形结合三角函数求解，是解直角三角形应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
3.（2025吉林长春中考）如图，已知某山峰的海拔为$m$米，一位登山者到达海拔高度为$n$米的点$A$处，测得山峰顶端$B$的仰角为$α$，则$A,B$两点之间的距离为（
A.$(m - n)\sinα$米
B.$\dfrac{m - n}{\sinα}$米
C.$(m - n)\cosα$米
D.$\dfrac{m - n}{\cosα}$米
B
）A.$(m - n)\sinα$米
B.$\dfrac{m - n}{\sinα}$米
C.$(m - n)\cosα$米
D.$\dfrac{m - n}{\cosα}$米
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路推导：首先结合仰角的几何意义构造直角三角形，先计算山峰顶端B和观测点A的竖直高度差；再在包含仰角$α$的直角三角形中，利用三角函数的定义建立边长关系，即可求出A、B两点的距离。
【解析】
过点A作$AC⊥ BD$，垂足为C，
∵四边形ACDE为矩形，
∴$CD=AE=n$，
可得B、A两点的竖直高度差$BC=BD-CD=m-n$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=α$，$∠ ACB=90°$，
根据正弦函数的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
变形得$AB=\frac{BC}{\sinα}=\frac{m-n}{\sinα}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用、正弦函数的定义、矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题核心是准确找到仰角对应的直角三角形，明确各边和角的对应关系，结合三角函数定义计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按照以下思路推导：首先结合仰角的几何意义构造直角三角形，先计算山峰顶端B和观测点A的竖直高度差；再在包含仰角$α$的直角三角形中，利用三角函数的定义建立边长关系，即可求出A、B两点的距离。
【解析】
过点A作$AC⊥ BD$，垂足为C，
∵四边形ACDE为矩形，
∴$CD=AE=n$，
可得B、A两点的竖直高度差$BC=BD-CD=m-n$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=α$，$∠ ACB=90°$，
根据正弦函数的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
变形得$AB=\frac{BC}{\sinα}=\frac{m-n}{\sinα}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用、正弦函数的定义、矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题核心是准确找到仰角对应的直角三角形，明确各边和角的对应关系，结合三角函数定义计算即可。
【难度系数】
0.7
1. 回顾利用直角三角形的知识解决实际问题的过程，你认为一般步骤是什么？关键是什么？
答案
一般步骤：①将实际问题抽象为数学问题，画出对应的平面图形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；②根据题中的已知条件，合理选用锐角三角函数等相关知识解直角三角形；③先得到数学问题的解，再还原得到实际问题的答案。关键：准确理解题意，根据题意画出正确的几何图形，将实际问题中的已知条件转化为直角三角形的边、角元素，通过解直角三角形完成求解。
解析
【分析】
这是一道归纳总结类题目，可结合日常解直角三角形实际应用题的做题过程梳理思路：首先遇到测量高度、距离等实际场景类题目时，题目只会给出生活情境描述，没有直接的数学条件和图形，因此第一步需要先把实际场景抽象为平面几何图形，尤其要找到或构造出直角三角形，将实际中的已知量（如仰角、水平距离等）对应为直角三角形的边、角元素，把实际问题转化为解直角三角形的数学问题；接下来即可根据直角三角形的边角关系，选用合适的锐角三角函数、勾股定理等知识求解直角三角形，得到数学层面的结果；最后需要把数学结果还原回实际场景，验证结果符合实际意义后得到实际问题的最终答案。整个过程中最核心的是转化环节，若图形绘制错误、实际条件与直角三角形边角对应错误，后续计算都会出错，因此解题关键是准确完成实际问题到直角三角形模型的转化。
【解析】
我们通过梳理解直角三角形解决实际问题的完整流程，可得：
一般步骤：
①将实际问题抽象为数学问题，画出对应的平面图形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；
②根据题中的已知条件，合理选用锐角三角函数等相关知识解直角三角形；
③先得到数学问题的解，再还原得到实际问题的答案。
关键：准确理解题意，根据题意画出正确的几何图形，将实际问题中的已知条件转化为直角三角形的边、角元素，通过解直角三角形完成求解。
【答案】
一般步骤：①将实际问题抽象为数学问题，画出对应的平面图形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；②根据题中的已知条件，合理选用锐角三角函数等相关知识解直角三角形；③先得到数学问题的解，再还原得到实际问题的答案。关键：准确理解题意，根据题意画出正确的几何图形，将实际问题中的已知条件转化为直角三角形的边、角元素，通过解直角三角形完成求解。
【知识点】
1. 解直角三角形的实际应用
2. 锐角三角函数的应用
3. 数学建模思想
【点评】
本题侧重对解直角三角形应用类问题解题逻辑的梳理，能帮助学生搭建清晰的解题思维路径，明确核心解题环节，为后续解决更复杂的解直角三角形实际问题奠定基础。
【难度系数】
0.7
这是一道归纳总结类题目，可结合日常解直角三角形实际应用题的做题过程梳理思路：首先遇到测量高度、距离等实际场景类题目时，题目只会给出生活情境描述，没有直接的数学条件和图形，因此第一步需要先把实际场景抽象为平面几何图形，尤其要找到或构造出直角三角形，将实际中的已知量（如仰角、水平距离等）对应为直角三角形的边、角元素，把实际问题转化为解直角三角形的数学问题；接下来即可根据直角三角形的边角关系，选用合适的锐角三角函数、勾股定理等知识求解直角三角形，得到数学层面的结果；最后需要把数学结果还原回实际场景，验证结果符合实际意义后得到实际问题的最终答案。整个过程中最核心的是转化环节，若图形绘制错误、实际条件与直角三角形边角对应错误，后续计算都会出错，因此解题关键是准确完成实际问题到直角三角形模型的转化。
【解析】
我们通过梳理解直角三角形解决实际问题的完整流程，可得：
一般步骤：
①将实际问题抽象为数学问题，画出对应的平面图形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；
②根据题中的已知条件，合理选用锐角三角函数等相关知识解直角三角形；
③先得到数学问题的解，再还原得到实际问题的答案。
关键：准确理解题意，根据题意画出正确的几何图形，将实际问题中的已知条件转化为直角三角形的边、角元素，通过解直角三角形完成求解。
【答案】
一般步骤：①将实际问题抽象为数学问题，画出对应的平面图形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；②根据题中的已知条件，合理选用锐角三角函数等相关知识解直角三角形；③先得到数学问题的解，再还原得到实际问题的答案。关键：准确理解题意，根据题意画出正确的几何图形，将实际问题中的已知条件转化为直角三角形的边、角元素，通过解直角三角形完成求解。
【知识点】
1. 解直角三角形的实际应用
2. 锐角三角函数的应用
3. 数学建模思想
【点评】
本题侧重对解直角三角形应用类问题解题逻辑的梳理，能帮助学生搭建清晰的解题思维路径，明确核心解题环节，为后续解决更复杂的解直角三角形实际问题奠定基础。
【难度系数】
0.7
