2. 如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠D = 90°，AB = 3，BC = 2，tan A = $\frac{4}{3}$，则CD = 。

2. $\frac{6}{5}$

【分析】
遇到四边形中存在多个直角、已知锐角三角函数值求边长的问题，可通过延长对边构造直角三角形，将四边形问题转化为直角三角形问题求解。首先延长AD、BC交于点E，先在Rt△ABE中，结合tanA的值和AB的长度求出BE的长，进而得到EC的长；再利用同角的余角相等推出∠ECD=∠A，得到∠ECD的正切值，最后在Rt△CDE中结合勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
解：延长AD、BC，两条延长线交于点E。
在Rt△ABE中，∠B=90°，$\tan A=\frac{BE}{AB}=\frac{4}{3}$，已知AB=3，
∴$BE=AB×\frac{4}{3}=3×\frac{4}{3}=4$，
∵BC=2，
∴$EC=BE-BC=4-2=2$。
∵在Rt△ABE中，$∠ A+∠ E=90°$，在Rt△CDE中，$∠ ECD+∠ E=90°$，
∴$∠ ECD=∠ A$，
∴$\tan∠ ECD=\tan A=\frac{4}{3}=\frac{DE}{CD}$。
设$CD=x$，则$DE=\frac{4}{3}x$，
在Rt△CDE中，∠D=90°，由勾股定理得：
$CD^2+DE^2=EC^2$，
即$x^2+(\frac{4}{3}x)^2=2^2$，
整理得$\frac{25}{9}x^2=4$，
解得$x=\frac{6}{5}$（边长为正数，舍去负解），即$CD=\frac{6}{5}$。
【答案】
$\frac{6}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，同角的余角相等
【点评】
本题考查直角三角形相关性质的综合应用，构造辅助线将四边形转化为熟悉的直角三角形模型是解题的突破口，需要熟练掌握三角函数和勾股定理的应用场景。
【难度系数】
0.6

3. (2025浙江杭州三模)如图,在$4×4$的网格中,每个小四边形都是边长相等的正方形,点$A,B,C,D$均在格点上,$AC$与$BD$相交于点$P$,则$\tan∠ APB$的值为()

A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

3. B

【分析】
要求∠APB的正切值，可利用转化思想：首先通过平移线段BD，将∠APB转化为与其相等的、便于构造直角三角形的角；再用勾股定理计算新构成三角形的各边长，用勾股定理逆定理判断直角三角形，最后根据正切的定义计算比值即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，以点A为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$，$D(4,4)$。
将线段BD向左平移2个单位，使点B与点A重合，得到线段AE，此时点E坐标为$(2,4)$。
$\because AE// BD$，$\therefore ∠ EAC=∠ APB$（两直线平行，同位角相等）。
由勾股定理计算各边长：
$AE=\sqrt{(2-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5$，
$EC=\sqrt{(4-2)^2+(3-4)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。
$\because AE^2+EC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25=5^2=AC^2$，
$\therefore △ AEC$是直角三角形，且$∠ AEC=90°$。
在$Rt△ AEC$中，$\tan∠ EAC=\frac{EC}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，即$\tan∠ APB=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质、勾股定理及逆定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是网格中锐角三角函数求值的典型题型，解题核心是通过平移将所求角转化到直角三角形中求解，体现了转化的数学思想，对学生的构图能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

4. 如图,施工队沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.为此在AC上取一点B,使∠ABD=140°,BD=520 m,∠D=50°,那么另一边开挖点E离D多远,正好使A,C,E三点在同一直线上
(结果保留小数点后一位)

4. $\because ∠ ABD = 40°, ∠ D = 50° \therefore ∠ E = 90°$ 在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$\because \cos 50° = \frac{DE}{520} \therefore DE = 520 × \cos 50° \approx 334.2(\mathrm{m})$ $\because$ 点$E$离点$D$为334.2 m时,正好能使$A、C、E$三点在一直线上.

【分析】
要使A、C、E三点共线，首先计算△BDE的内角度数：由∠ABD=140°，根据邻补角性质可得∠DBE=180°-140°=40°，结合已知∠D=50°，利用三角形内角和为180°可推出∠BED=90°，即△BDE是直角三角形。要求DE的长度，在Rt△BDE中，已知斜边BD的长度和∠D的度数，根据余弦的定义（邻边比斜边）即可列式计算出DE的长度。
【解析】
解：若A、C、E三点共线，在△BDE中：
$∠ DBE = 180° - ∠ ABD = 180° - 140° = 40°$
$\because ∠ D = 50°$
$\therefore ∠ BED = 180° - ∠ DBE - ∠ D = 180° - 40° - 50° = 90°$，即$△ BDE$是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$BD=520\ \mathrm{m}$，$∠ D=50°$
根据余弦的定义：$\cos 50° = \frac{DE}{BD}$
$\therefore DE = BD × \cos50° \approx 520 × 0.6428 \approx 334.2(\mathrm{m})$
【答案】
$\boxed{334.2\ \mathrm{m}}$
【知识点】
三角形内角和定理，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际施工中的应用问题，解题核心是先结合已知角度判定直角三角形，再选择对应锐角三角函数列式计算，考查了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7

5. (2024江苏扬州中考)
如图，已知两条平行线$l_1,l_2$，点A是$l_1$上的定点，$AB ⊥ l_2$于点B，点C,D分别是$l_1,l_2$上的动点，且满足$AC = BD$，连接CD交线段AB于点E、$BH ⊥ CD$于点H，连接AH，则当$∠ BAH$最大时，$\sin ∠ BAH$的值为。

5. $\frac{1}{3}$

【分析】
首先由$l_1// l_2$、$AB⊥ l_2$可得$AB⊥ l_1$，通过证明$△ ACE≌△ BDE$得出$E$是$AB$的定点中点；再由$BH⊥ CD$可知$∠ BHE=90°$，因此点$H$的轨迹是以$BE$为直径的圆；根据圆的性质，当$AH$为该圆的切线时$∠ BAH$最大，最后利用直角三角形的边角关系即可求出对应正弦值。
【解析】
1. 证明$E$为$AB$中点
$\because l_1// l_2$，$AB⊥ l_2$，$\therefore AB⊥ l_1$，即$∠ CAE=∠ DBE=90°$。
在$△ ACE$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ D\quad(\mathrm{两直线平行，内错角相等})\\∠ CAE=∠ DBE=90°\\AC=BD\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore△ ACE≌△ BDE(\mathrm{AAS})$，可得$AE=BE$，即$E$是$AB$的中点，为定点，$BE=\frac{1}{2}AB$为定值。
2. 确定点$H$的轨迹
$\because BH⊥ CD$，$\therefore∠ BHE=90°$，因此点$H$的轨迹是以$BE$为直径的圆，设圆心为$O$，则$O$是$BE$中点，半径$r=\frac{1}{2}BE$。
3. 计算$\sin∠ BAH$
设$AE=BE=a$，则$AB=2a$，圆$O$半径$r=\frac{1}{2}a$，$AO=AE+EO=a+\frac{1}{2}a=\frac{3a}{2}$。
当$AH$为圆$O$的切线时$∠ BAH$最大，此时$OH⊥ AH$，$OH=r=\frac{1}{2}a$。
在$\mathrm{Rt}△ AOH$中：
$\sin∠ BAH=\frac{OH}{AO}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{3a}{2}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boxed{\frac{1}{3}}$
【知识点】
全等三角形判定，圆周角定理，切线的性质
【点评】
本题属于动态几何综合题，解题的核心是先确定定点$E$，再推导动点$H$的轨迹，结合切线性质找到角度最大的临界情况，很好地考查了几何动态问题的分析转化能力。
【难度系数】
0.3

1.仰角、俯角

仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫作仰角；俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角叫作俯角。

【分析】
本题考查仰角、俯角的基本定义，解题时可结合图示先梳理两个概念的共性与差异：共性是二者都属于视线与水平线的夹角，差异是视线相对于水平线的位置不同，结合抬头看高处物体、低头看低处物体的生活场景，就能清晰区分两个概念。
【解析】
结合图示分析两类角的形成过程：
1. 当观察位置高于自身水平高度的物体时，视线会处于水平线的上方，此时视线和水平线形成的夹角就是仰角；
2. 当观察位置低于自身水平高度的物体时，视线会处于水平线的下方，此时视线和水平线形成的夹角就是俯角。
【答案】
仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫作仰角；俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角叫作俯角。
【知识点】
1.仰角的定义
2.俯角的定义
【点评】
仰角和俯角是解直角三角形实际应用的基础概念，是解决测量高度、距离类实际问题的必备知识，学习时要注意二者的参照基准都是水平线，不要和视线与铅垂线的夹角混淆。
【难度系数】
0.9

2. 方位角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于$90°$的角,叫作方
位角,如图中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示为, , , .

2. 北偏东65° 北偏西45° 南偏西40° 南偏东20°