1. 如图,一架梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3 m,若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离CB为()

A.$3\sin α$ m
B.$3\cos α$ m
C.$\frac{3}{\sin α}$ m
D.$\frac{3}{\cos α}$ m

1. A

【分析】
首先观察图形可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，题目已知斜边AB的长度为3m，要求角α的对边BC的长度。解题时先回忆锐角三角函数中正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值，我们可以利用这个定义建立等量关系，变形后即可求出BC的长度。
【解析】
解：由题意得△ABC是直角三角形，∠C=90°，AB=3m。
在Rt△ABC中，根据正弦的定义可知：
$\sinα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$
将AB=3m代入变形得：
$BC=AB·\sinα=3\sinα\ (\mathrm{m})$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查对锐角三角函数定义的掌握程度，只要能准确识别直角三角形中角对应的对边、邻边和斜边，就能轻松解答。
【难度系数】
0.8

2. 如图，AB是伸缩式的遮阳篷，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是 m.（假设夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为$60°$，结果保留根号）

2. $\sqrt{3}$

【分析】
首先理解“阳光刚好不能射入窗户”的边界条件：正午光线恰好经过遮阳篷外端点B和窗户下沿点D，此时光线与水平面夹角为60°。我们将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题：首先确定B点与D点的竖直高度差为AC+CD=3m，两点的水平距离等于AB的长度，构造直角三角形后利用60°角的正切定义建立等量关系，即可求解AB的长度。
【解析】
解：当阳光刚好不能射入窗户时，光线恰好经过点B和点D。
过点B作竖直线、过点D作水平线，两线交于点E，得Rt△BED，其中∠E=90°，∠BDE=60°（光线与地平面的夹角）。
竖直边BE的长度为：$BE=AC+CD=1+2=3\ \mathrm{m}$，水平边$DE=AB$，设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$DE=x\ \mathrm{m}$。
在Rt△BED中，根据正切的定义：
$\tan∠ BDE=\frac{BE}{DE}$
代入$\tan60°=\sqrt{3}$得：
$\sqrt{3}=\frac{3}{x}$
解得：$x=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是将实际场景中的边界条件转化为几何模型，找准直角三角形的对应边角，再结合特殊角的三角函数值计算，能够锻炼学生的数学建模能力和应用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在离地面高度5 m的C处引拉线固定电线杆,拉线和地面成$60°$角.求拉线AC的长及拉线下端点A与杆底D的距离(结果保留小数点后两位).

解：在Rt△ACD中，CD=5 m，∠CAD=60°，
sin∠CAD=$\frac{CD}{AC}$，
∴AC=$\frac{CD}{\sin60°}$=$\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$≈5.77 m，
tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$，
∴AD=$\frac{CD}{\tan60°}$=$\frac{5}{\sqrt{3}}$≈2.89 m。
答：拉线AC的长约为5.77 m，拉线下端点A与杆底D的距离约为2.89 m。

【分析】
首先由题意可知电线杆CD垂直于地面AD，因此△ACD是直角三角形，已知直角边CD=5m，锐角∠CAD=60°，要求斜边AC和另一条直角边AD的长度。解题时可根据三角函数的定义，选择对应边角关系的三角函数：求斜边AC可使用正弦函数（正弦=对边/斜边），求直角边AD可使用正切函数（正切=对边/邻边），代入特殊角60°的三角函数值计算，最后按要求保留两位小数即可。
【解析】
解：由题意得CD⊥AB，即△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，CD=5 m，∠CAD=60°。
根据正弦函数的定义：$\sin∠ CAD=\frac{CD}{AC}$，
∴$AC=\frac{CD}{\sin60°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\approx5.77$ m；
根据正切函数的定义：$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}$，
∴$AD=\frac{CD}{\tan60°}=\frac{5}{\sqrt{3}}\approx2.89$ m。
【答案】
拉线AC的长约为5.77 m，拉线下端点A与杆底D的距离约为2.89 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值；三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础实际应用问题，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确匹配已知边角与三角函数的对应关系，计算时需注意特殊角三角函数值的准确性以及结果的精度要求。
【难度系数】
0.8

1. 如图,长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为()


A.$2\sqrt{3}$ m
B.$2\sqrt{6}$ m
C.$(2\sqrt{3} - 2)$ m
D.$(2\sqrt{6} - 2)$ m

1. B

【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题关键是找到两个直角三角形的公共直角边AD作为求解桥梁。首先先在Rt△ABD中，利用已知的AB长度和∠ABD=60°，通过锐角三角函数求出AD的长度；再在Rt△ACD中，结合∠ACD=45°的三角函数关系，即可求出调整后楼梯AC的长度。
【解析】
在Rt△ABD中，∠D=90°，∠ABD=60°，AB=4m，
由正弦函数的定义得：$\sin∠ ABD=\frac{AD}{AB}$，
∴$AD=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACD中，∠D=90°，∠ACD=45°，
由正弦函数的定义得：$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}$，
∴$AC=\frac{AD}{\sin45°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{3}×\frac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的常见应用题型，核心是借助两个直角三角形的公共边建立等量关系，只要熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的定义，就能快速求解。
【难度系数】
0.7