1 [2025长春]如图，某山峰的海拔为m米，一位登山者到达海拔为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A，B两点之间的距离为（）

A.$(m-n)\sinα$米
B.$\dfrac{m-n}{\sinα}$米
C.$(m-n)\cosα$米
D.$\dfrac{m-n}{\cosα}$米

B

由图可知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的竖直高度差为山峰海拔与点A海拔的差，即BC = m - n。根据锐角三角函数的定义，$\sinα=\frac{BC}{AB}$，变形可得$AB=\frac{BC}{\sinα}=\frac{m-n}{\sinα}$米。

2 如图,一渔船在海岛 A 南偏东 $20°$方向的点 B 处遇险,测得海岛 A 与点 B 之间的距离为 20 海里,渔船将险情报告给位于海岛 A 的救援船后,沿北偏西 $80°$方向向海岛 C 靠近,同时,从海岛 A 出发的救援船沿南偏西 $10°$方向匀速航行.20 分钟后,救援船在海岛 C 处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为 ()

A.$10\sqrt{3}$ 海里/时
B.30 海里/时
C.$20\sqrt{3}$ 海里/时
D.$30\sqrt{3}$ 海里/时

D

在△ABC中，由题意可得：
1. 计算角度：∠CAB = 20°+10°=30°，由南北方向线平行的内错角关系，得∠ABC = 80°-20°=60°，因此∠ACB = 180°-30°-60°=90°。
2. 已知AB=20海里，在Rt△ABC中，AC = AB·cos30° = 20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $10\sqrt{3}$ 海里。
3. 救援船航行时间为20分钟 = $\frac{1}{3}$小时，因此航行速度为 $10\sqrt{3} ÷ \frac{1}{3} = 30\sqrt{3}$ 海里/时。

3 [2026 安徽]湖中有两个小岛，分别用点A，B表示，B在A的北偏东$37°$方向上.为了测量A，B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东$56°$方向行走至另一观测点D，测得A在D的正西方向，B在D的北偏西$53°$方向上，平面示意图如图所示.已知C，D间的距离为660 m，求A，B间的距离（结果精确到0.1 m，参考数据：$\sin 56° \approx 0.83$，$\cos 56° \approx 0.56$，$\sin 53° \approx 0.80$，$\cos 53° \approx 0.60$，$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$）.

解：由题意可知，$AC ⊥ AD$，即$∠ CAD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=56°$，$CD=660\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD = CD· \sin56° \approx 660× 0.83 = 547.8\ (\mathrm{m})$
由方位角定义得：
$∠ ADB = 90° - 53° = 37°$，
$∠ BAD = 90° - 37° = 53°$，
在$△ ABD$中：
$∠ ABD = 180° - ∠ BAD - ∠ ADB = 180° - 53° - 37° = 90°$
即$△ ABD$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=37°$，
$\therefore AB = AD· \sin37° \approx 547.8× 0.60 = 328.68 \approx 328.7\ (\mathrm{m})$
答：$A$，$B$间的距离约为$328.7\ \mathrm{m}$。

4 如图,为了测量公园一荷花池的宽度AB,选定观测点C,D,已知C在点A的北偏西$22.6°$方向上,D在点B的北偏东$30°$方向上,$CA=65\ \mathrm{m}$,$CD=80\ \mathrm{m}$,$∠ BDC=90°$,求荷花池的宽度AB(结果精确到$1\ \mathrm{m}$,参考数据:$\sin22.6°\approx\frac{5}{13}$,$\cos22.6°\approx\frac{12}{13}$,$\tan22.6°\approx\frac{5}{12}$,$\sqrt{3}\approx1.7$).

解：如图,过点$D$作$DF\perp AB$于点$F$,过点$C$作$CE\perp AB$于点$E$,过点$C$作$CG\perp DF$于点$G$.
由作图可得,四边形$GFEC$是矩形.
在$\text{Rt}\triangle ACE$中,易得$\angle ACE=22.6^\circ,\angle CEA=90^\circ,\therefore CE=AC\cdot \cos 22.6^\circ\approx65\times\frac{12}{13}=60(\text{m}),AE=AC\cdot \sin 22.6^\circ\approx65\times\frac{5}{13}=25(\text{m})$.
由题意,得$\angle DBF=60^\circ,\therefore \angle BDF=30^\circ$. $\because \angle BDC=90^\circ,\therefore \angle CDF=60^\circ$,则$DG=CD\cdot \cos 60^\circ=80\times\frac{1}{2}=40(\text{m}),CG=CD\cdot \sin 60^\circ=80\times\frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}(\text{m})$. $\because$四边形$GFEC$是矩形,$\therefore EF=CG=40\sqrt{3}\ \text{m},GF=CE=60\ \text{m}$, $\therefore DF=DG+GF=100\ \text{m}$. 在$\text{Rt}\triangle BDF$中,$\tan\angle BDF=\frac{\sqrt{3}}{3}DF=\frac{100\sqrt{3}}{3}\ \text{m}$. $\therefore AB=BF+EF+AE=\frac{100\sqrt{3}}{3}+40\sqrt{3}+25\approx150(\text{m})$.
答:荷花池的宽度$AB$约为$150\ \text{m}$