5 [2026 重庆]重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假.春假期间,甲、乙两位同学相约去某景区游玩.如图,大门A、猴山B、古塔C、游乐场D为景区内在同一平面内的四个景点.D位于A的正东方向3千米处,B位于A的正南方向且位于D的南偏西30°方向,C位于B的南偏东75°方向且位于D的南偏东30°方向.
(1) 求 BC 的长(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73,\sqrt{5}\approx2.24,\sqrt{6}\approx2.45$,结果保留小数点后一位).
(2) 现甲从B出发沿BD方向前往D,乙从D出发沿DC方向前往C,两人同时出发,乙的速度是甲的速度的2倍.途中乙接到甲询问位置的电话,乙利用导航发现此时两人的直线距离为4千米,问:此时甲离D处多少千米?

(1) 如图①,过点$B$作$BE\perp CD$于点$E$. 由题意,得$\angle DBA=30^\circ,\angle A=90^\circ,\therefore BD=2AD=6$千米. $\because \angle BDC=30^\circ+30^\circ=60^\circ,BE\perp CD,\therefore \angle DBE=30^\circ$. $\therefore DE=\frac{1}{2}BD=3$千米. 由勾股定理,得$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=3\sqrt{3}$千米. $\because \angle EBC=180^\circ-\angle ABD-\angle DBE-75^\circ=45^\circ,\therefore \angle C=\angle EBC=45^\circ$. $\therefore CE=BE=3\sqrt{3}$千米. $\therefore BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=3\sqrt{6}\approx7.4$(千米).
答:$BC$的长约为$7.4$千米
(2) 假设当甲走到$F$处,乙走到$G$处时,两人的直线距离为$4$千米,即$FG=4$千米,如图②,过点$F$作$FH\perp DG$于点$H$. $\because$两人同时出发,且乙的速度是甲的速度的$2$倍,$\therefore$乙的路程是甲的路程的$2$倍,即$DG=2BF$. 设$BF=2a$千米,则$DG=4a$千米,$DF=BD-BF=(6-2a)$千米. $\because FH\perp DG,\angle BDC=60^\circ,\therefore$易得$DH=\frac{1}{2}DF=(3-a)$千米,$FH=\frac{\sqrt{3}}{2}DF=\sqrt{3}(3-a)$千米. $\therefore GH=DG-DH=(5a-3)$千米. 在$\text{Rt}\triangle FHG$中,由勾股定理,得$FH^2+GH^2=FG^2$, $\therefore [\sqrt{3}(3-a)]^2+(5a-3)^2=4^2$. 整理,得$7a^2-12a+5=0$,解得$a_1=\frac{5}{7},a_2=1$. $\therefore FD=6-2\times\frac{5}{7}=\frac{32}{7}$(千米)或$FD=6-$ $2\times1=4$(千米).
答:甲离$D$处$\frac{32}{7}$千米或$4$千米 

6 [2026 新疆]如图,甲、乙两艘货船分别从港口A 和港口B 同时出发向港口C 直线航行运送货物.已知港口A 位于港口B 北偏西18.4°的方向上,港口C 位于港口A 北偏东53°的方向上$,AB=100\sqrt{10}$海里,AC=500海里,甲船的航行速度为10海里/时.若甲、乙两艘货船可以同时到达港口C,则乙船的航行速度大约是多少海里/时(结果保留根号,参考数据$:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33,sin18.4°≈\frac{\sqrt{10}}{10},cos18.4°≈\frac{3\sqrt{10}}{10},tan18.4°≈\frac{1}{3})?$

解：过点C作CD⊥过点A的正北方向的直线，垂足为D，过点A作AE⊥过点B的正北方向的直线，垂足为E，过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于点F。
1. 在Rt△ACD中，∠CAD=53°，AC=500海里：
$CD = AC· \sin53° \approx 500× 0.80 = 400$（海里），
$AD = AC· \cos53° \approx 500× 0.60 = 300$（海里）。
2. 在Rt△ABE中，∠ABE=18.4°，$AB=100\sqrt{10}$海里：
$AE = AB· \sin18.4° \approx 100\sqrt{10}× \frac{\sqrt{10}}{10} = 100$（海里），
$BE = AB· \cos18.4° \approx 100\sqrt{10}× \frac{3\sqrt{10}}{10} = 300$（海里）。
3. 由两条正北方向直线平行，四边形AEFD为矩形，得：
$BF = CD - AE = 400 - 100 = 300$（海里），
$CF = AD + BE = 300 + 300 = 600$（海里）。
在Rt△BCF中，由勾股定理：
$BC = \sqrt{BF^2 + CF^2} = \sqrt{300^2 + 600^2} = 300\sqrt{5}$（海里）。
4. 甲船从A到C的航行时间：
$t = \frac{AC}{v_甲} = \frac{500}{10} = 50$（小时）。
5. 两船同时到达，乙船航行时间也为50小时，因此乙船速度：
$v_乙 = \frac{BC}{t} = \frac{300\sqrt{5}}{50} = 6\sqrt{5}$（海里/时）。
答：乙船的航行速度大约是$6\sqrt{5}$海里/时。