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1 一抛物线的形状、开口方向与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 - x + 3$相同，顶点为$(-3,2)$，则此抛物线对应的函数表达式为（
A.$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 + 2$
B.$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 + 2$
C.$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 - 2$
D.$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 - 2$
B
）A.$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 + 2$
B.$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 + 2$
C.$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 - 2$
D.$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 - 2$
答案
1. B
2 已知抛物线$y=ax^2+bx$的顶点坐标为$A(3,3)$，则该抛物线对应的函数表达式为 （
A.$y=-\dfrac{1}{3}x^2 -2x$
B.$y=-\dfrac{1}{3}x^2 +2x$
C.$y=\dfrac{1}{3}x^2 -2x$
D.$y=\dfrac{1}{3}x^2 +2x$
B
）A.$y=-\dfrac{1}{3}x^2 -2x$
B.$y=-\dfrac{1}{3}x^2 +2x$
C.$y=\dfrac{1}{3}x^2 -2x$
D.$y=\dfrac{1}{3}x^2 +2x$
答案
2. B
3 [2025 河北]已知抛物线$y=-x^2 +bx +c$经过点$A(0,3)$,$B(6,3)$,则其顶点坐标为
(3,12)
.答案
3. (3,12)
4 将抛物线$y=(x-3)^2 -2$向左平移$n$（$n$是正整数）个单位长度后经过点$A(2,2)$，则$n$的值为
3
.答案
4. 3
5 根据下列条件，分别求抛物线对应的函数表达式.
(1) 抛物线的顶点坐标为$(1,4)$，且经过点$(0,3)$；
(2) 经过点$A(0,-\dfrac{5}{3}),B(5,0)$，且由抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2$平移后得到；
(3) 当$x＞-4$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜-4$时，$y$随$x$的增大而增大，函数的最大值为30，且对应的抛物线经过点$(0,-2)$.
(1) 抛物线的顶点坐标为$(1,4)$，且经过点$(0,3)$；
(2) 经过点$A(0,-\dfrac{5}{3}),B(5,0)$，且由抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2$平移后得到；
(3) 当$x＞-4$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜-4$时，$y$随$x$的增大而增大，函数的最大值为30，且对应的抛物线经过点$(0,-2)$.
答案
5. (1) 根据题意,可设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-1)^2+4. \because$ 抛物线经过点$(0,3),\therefore 3=a+4$,解得$a=-1. \therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-(x-1)^2+4$
(2) 设新抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3} x^2 +bx +c. \because$ 新抛物线过点$A(0,-\frac{5}{3}),B(5,0),\therefore \begin{cases}c=-\dfrac{5}{3},\\ \dfrac{1}{3}×5^2 +5b +c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-\dfrac{4}{3},\\ c=-\dfrac{5}{3}.\end{cases}$
$\therefore$ 新抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3} x^2 -\frac{4}{3} x -\frac{5}{3}$
(3) 由题意,可设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x+4)^2 +30. \because$ 抛物线经过点$(0,-2),\therefore -2=16a+30$,解得$a=-2. \therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x+4)^2 +30$
(2) 设新抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3} x^2 +bx +c. \because$ 新抛物线过点$A(0,-\frac{5}{3}),B(5,0),\therefore \begin{cases}c=-\dfrac{5}{3},\\ \dfrac{1}{3}×5^2 +5b +c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-\dfrac{4}{3},\\ c=-\dfrac{5}{3}.\end{cases}$
$\therefore$ 新抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3} x^2 -\frac{4}{3} x -\frac{5}{3}$
(3) 由题意,可设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x+4)^2 +30. \because$ 抛物线经过点$(0,-2),\therefore -2=16a+30$,解得$a=-2. \therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x+4)^2 +30$
6 分类讨论思想 [2025 南通]在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为$A(-1,5),B(5,5),C(2,1),D(1,2),E(2,-1)$.若抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$经过上述五个点中的三个点，则满足题意的$a$的值不可能为（
A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
6. C 【解析】由题意可知,抛物线的对称轴是直线$x=2$.
$\because$ 点$A,B$恰好关于直线$x=2$对称,$\therefore$ 点$A$和点$B$要么都在该抛物线上,要么都不在该抛物线上.$\because$ 点$C,E$的横坐标相同,纵坐标不同,$\therefore$ 点$C,E$不都在该抛物线上.$\therefore$ 点$A$和点$B$都在该抛物线上.分三种情况讨论. ① 当抛物线经过$A,B,C$三点时,点$C$在对称轴上,$\therefore C$为抛物线的顶点.$\therefore y=a(x-2)^2 +1. \because$ 点$A(-1,5)$在该抛物线上,$\therefore 5=a(-1-2)^2 +1$,解得$a=\frac{4}{9}$. ② 当抛物线经过$A,B,D$三点时,可得$\begin{cases}a(-1-2)^2 +k=5,\\ a(1-2)^2 +k=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\dfrac{3}{8},\\ k=\dfrac{13}{8}.\end{cases}$ ③ 当抛物线经过$A,B,E$三点时,点$E$在对称轴上,$\therefore E$为抛物线的顶点.$\therefore y=a(x-2)^2 -1. \because$ 点$A(-1,5)$在抛物线$y=a(x-2)^2 -1,\therefore 5=a(-1-2)^2 -1$,解得$a=\frac{2}{3}. \therefore a$的值不可能为$\frac{3}{4}$.
$\because$ 点$A,B$恰好关于直线$x=2$对称,$\therefore$ 点$A$和点$B$要么都在该抛物线上,要么都不在该抛物线上.$\because$ 点$C,E$的横坐标相同,纵坐标不同,$\therefore$ 点$C,E$不都在该抛物线上.$\therefore$ 点$A$和点$B$都在该抛物线上.分三种情况讨论. ① 当抛物线经过$A,B,C$三点时,点$C$在对称轴上,$\therefore C$为抛物线的顶点.$\therefore y=a(x-2)^2 +1. \because$ 点$A(-1,5)$在该抛物线上,$\therefore 5=a(-1-2)^2 +1$,解得$a=\frac{4}{9}$. ② 当抛物线经过$A,B,D$三点时,可得$\begin{cases}a(-1-2)^2 +k=5,\\ a(1-2)^2 +k=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\dfrac{3}{8},\\ k=\dfrac{13}{8}.\end{cases}$ ③ 当抛物线经过$A,B,E$三点时,点$E$在对称轴上,$\therefore E$为抛物线的顶点.$\therefore y=a(x-2)^2 -1. \because$ 点$A(-1,5)$在抛物线$y=a(x-2)^2 -1,\therefore 5=a(-1-2)^2 -1$,解得$a=\frac{2}{3}. \therefore a$的值不可能为$\frac{3}{4}$.
