登录
9 新情境游戏活动 老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述二次函数$y=x^2+ax+b$的图象与性质，其中$a,b$为常数。甲说：“该二次函数图象的对称轴是直线$x=1$。”乙说：“函数的最小值为3。”丙说：“$x=-1$是方程$x^2+ax+b=0$的一个根。”丁说：“该二次函数的图象与$y$轴交于点$(0,4)$。”若在这四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的，则“卧底”是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
9. C 【解析】若甲、乙的描述正确,则抛物线对应的函数表达式为$y=(x−1)^2+3$,即$y=x^2−2x+4$. 当x=−1时,y=7≠0,故丙错误;当x=0时,y=4,故丁正确.
∵ 其中有且仅有一个说法是错误的,
∴ 只有丙错误,则“卧底”是丙.
∵ 其中有且仅有一个说法是错误的,
∴ 只有丙错误,则“卧底”是丙.
10 设抛物线 $ y = ax^2 - 2x - 3 $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 交于点 $ A(4,b) $。
（1）求抛物线对应的函数表达式及其对称轴。
（2）设 $ B(x_1,y_1), C(x_2,y_2) $ 是抛物线上两点，且位于对称轴两侧，$ x_2 - x_1 = 3 $。
① 若 $ y_1 = y_2 $，求 $ x_1 $ 的值；
② 若直线 $ BC $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 交于点 $ D(x_3,y_3) $，且 $ y_1 ≤ y_3 ＜ y_2 $，直接写出 $ x_1 $ 的取值范围。
（1）求抛物线对应的函数表达式及其对称轴。
（2）设 $ B(x_1,y_1), C(x_2,y_2) $ 是抛物线上两点，且位于对称轴两侧，$ x_2 - x_1 = 3 $。
① 若 $ y_1 = y_2 $，求 $ x_1 $ 的值；
② 若直线 $ BC $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 交于点 $ D(x_3,y_3) $，且 $ y_1 ≤ y_3 ＜ y_2 $，直接写出 $ x_1 $ 的取值范围。
答案
10. (1)
∵ 点A(4,b)在直线y=2x−3上,
∴ b=2×4−3=5.
∴ A(4,5).
∵ 点A(4,5)在抛物线$y=ax^2−2x−3$上,
∴ 5=16a−8−3,解得a=1.
∴ 抛物线对应的函数表达式为$y=x^2−2x−3$.
∵ $y=x^2−2x−3=(x−1)^2−4$,
∴ 对称轴为直线x=1
(2) ①
∵ $y_1=y_2$,
∴ 点B,C关于对称轴对称.
∴ $\frac{x_1+x_2}{2}=1$.
∵ $x_2−x_1=3$,
∴ $x_1=−\frac{1}{2}$ ② 画出抛物线$y=x^2−2x−3$与直线y=2x−3如图
所示. 由图象,得当$−\frac{1}{2}＜x_1≤0$时,$y_1≤y_3＜y_2$11 已知二次函数 $ y = x^2 - mx - 3m $（$ m $ 为常数）。
（1）当 $ m = 6 $ 时，
① 若 $ 2 ≤ x ≤ 5 $，二次函数 $ y = x^2 - mx - 3m $ 的最大值记作 $ y_{\mathrm{max}} $，最小值记作 $ y_{\mathrm{min}} $，求 $ y_{\mathrm{max}} - y_{\mathrm{min}} $ 的值；
② 新考向 代数推理题 若抛物线 $ y = x^2 - mx - 3m $ 经过点 $ (t-1, p) $，$ (t+1, q) $，求证：$ 2p - 3q ≤ 51 $。
（2）两位同学尝试代入不同的 $ m $ 值后，提出了两个观点。
甲说：“不论 $ m $ 取何值，抛物线 $ y = x^2 - mx - 3m $ 必过一个定点。”
乙说：“不论 $ m $ 取何值，抛物线 $ y = x^2 - mx - 3m $ 的顶点都在一条固定的抛物线上运动。”
请依次判断这两个观点是否正确，并说明理由。
（1）当 $ m = 6 $ 时，
① 若 $ 2 ≤ x ≤ 5 $，二次函数 $ y = x^2 - mx - 3m $ 的最大值记作 $ y_{\mathrm{max}} $，最小值记作 $ y_{\mathrm{min}} $，求 $ y_{\mathrm{max}} - y_{\mathrm{min}} $ 的值；
② 新考向 代数推理题 若抛物线 $ y = x^2 - mx - 3m $ 经过点 $ (t-1, p) $，$ (t+1, q) $，求证：$ 2p - 3q ≤ 51 $。
（2）两位同学尝试代入不同的 $ m $ 值后，提出了两个观点。
甲说：“不论 $ m $ 取何值，抛物线 $ y = x^2 - mx - 3m $ 必过一个定点。”
乙说：“不论 $ m $ 取何值，抛物线 $ y = x^2 - mx - 3m $ 的顶点都在一条固定的抛物线上运动。”
请依次判断这两个观点是否正确，并说明理由。
答案
11. (1) ① 当m=6时,$y=x^2−mx−3m=x^2−6x−18=(x−3)^2−27$,
∴ 此时抛物线的顶点坐标为(3,−27).
∵ 1＞0,
∴ 抛物线$y=x^2−6x−18$开口向上.
∵ x=3在2≤x≤5的范围内,
∴ 当x=3时,$y_{min}=−27$.
∵ 当2≤x＜3时,y随x的增大而减小. 当x=2时,$y=2^2−6×2−18=−26$,
∴ 当2≤x＜3时,−27＜y≤−26.
∵ 当3＜x≤5时,y随x的增大而增大,当x=5时,$y=5^2−6×5−18=−23$,
∴ 当3＜x≤5时,−27＜y≤−23. 综上所述,$y_{max}=−23$.
∴ $y_{max}−y_{min}=(−23)−(−27)=4$ ②
∵ 抛物线$y=x^2−6x−18$经过点(t−1,p),(t+1,q),
∴ $p=(t−1)^2−6(t−1)−18=t^2−8t−11$,$q=(t+1)^2−6(t+1)−18=t^2−4t−23$.
∴ $2p−3q=2(t^2−8t−11)−3(t^2−4t−23)=−(t+2)^2+51$.
∵ $−(t+2)^2≤0$,
∴ $−(t+2)^2+51≤51$,即$2p−3q≤51$ (2) 甲的观点正确,乙的观点正确 理由:
∵ $y=x^2−mx−3m=x^2−m(x+3)$,
∴ 当x=−3时,$y=(−3)^2−m(−3+3)=9$.
∴ 不论m取何值,抛物线$y=x^2−mx−3m$必过定点(−3,9). 故甲的观点正确.
∵ $y=x^2−mx−3m=(x−\frac{m}{2})^2−\frac{1}{4}m^2−3m$,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(\frac{m}{2},−\frac{1}{4}m^2−3m)$. 令$\begin{cases}x=\frac{m}{2},\\y=−\frac{1}{4}m^2−3m,\end{cases}$ 由$x=\frac{m}{2}$,得m=2x,代入$y=−\frac{1}{4}m^2−3m$,得$y=−\frac{1}{4}×(2x)^2−3×2x=−x^2−6x$,
∴ 不论m取何值,抛物线的顶点都在一条固定的抛物线上运动,固定抛物线对应的函数表达式为$y=−x^2−6x$
∴ 此时抛物线的顶点坐标为(3,−27).
∵ 1＞0,
∴ 抛物线$y=x^2−6x−18$开口向上.
∵ x=3在2≤x≤5的范围内,
∴ 当x=3时,$y_{min}=−27$.
∵ 当2≤x＜3时,y随x的增大而减小. 当x=2时,$y=2^2−6×2−18=−26$,
∴ 当2≤x＜3时,−27＜y≤−26.
∵ 当3＜x≤5时,y随x的增大而增大,当x=5时,$y=5^2−6×5−18=−23$,
∴ 当3＜x≤5时,−27＜y≤−23. 综上所述,$y_{max}=−23$.
∴ $y_{max}−y_{min}=(−23)−(−27)=4$ ②
∵ 抛物线$y=x^2−6x−18$经过点(t−1,p),(t+1,q),
∴ $p=(t−1)^2−6(t−1)−18=t^2−8t−11$,$q=(t+1)^2−6(t+1)−18=t^2−4t−23$.
∴ $2p−3q=2(t^2−8t−11)−3(t^2−4t−23)=−(t+2)^2+51$.
∵ $−(t+2)^2≤0$,
∴ $−(t+2)^2+51≤51$,即$2p−3q≤51$ (2) 甲的观点正确,乙的观点正确 理由:
∵ $y=x^2−mx−3m=x^2−m(x+3)$,
∴ 当x=−3时,$y=(−3)^2−m(−3+3)=9$.
∴ 不论m取何值,抛物线$y=x^2−mx−3m$必过定点(−3,9). 故甲的观点正确.
∵ $y=x^2−mx−3m=(x−\frac{m}{2})^2−\frac{1}{4}m^2−3m$,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(\frac{m}{2},−\frac{1}{4}m^2−3m)$. 令$\begin{cases}x=\frac{m}{2},\\y=−\frac{1}{4}m^2−3m,\end{cases}$ 由$x=\frac{m}{2}$,得m=2x,代入$y=−\frac{1}{4}m^2−3m$,得$y=−\frac{1}{4}×(2x)^2−3×2x=−x^2−6x$,
∴ 不论m取何值,抛物线的顶点都在一条固定的抛物线上运动,固定抛物线对应的函数表达式为$y=−x^2−6x$
