登录
7 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过点$A(3,2),B(-1,-2),C(2,n)$，则下列$n$的取值中，能使$a$的值最大的是 （
A.$n=2$
B.$n=1$
C.$n=0$
D.$n=-1$
D
）A.$n=2$
B.$n=1$
C.$n=0$
D.$n=-1$
答案
7. D 【解析】$\because$ 点$A(3,2),B(-1,-2)$都在二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象上,$\therefore \begin{cases}9a+3b+c=2,\\ a-b+c=-2,\end{cases}$ $\therefore b=-2a+1$,$c=-3a-1. \because$ 点$C(2,n)$在二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象上,$\therefore 4a+2b+c=n. \therefore 4a+2(-2a+1)-3a-1=n$.
$\therefore a=-\frac{1}{3}n+\frac{1}{3}. \therefore$ 当$n=2$时,$a=-\frac{1}{3}$;当$n=1$时,$a=0$(不合题意);当$n=0$时,$a=\frac{1}{3}$;当$n=-1$时,$a=\frac{2}{3}. \therefore$ 当$n=-1$时,$a$的值最大.
$\therefore a=-\frac{1}{3}n+\frac{1}{3}. \therefore$ 当$n=2$时,$a=-\frac{1}{3}$;当$n=1$时,$a=0$(不合题意);当$n=0$时,$a=\frac{1}{3}$;当$n=-1$时,$a=\frac{2}{3}. \therefore$ 当$n=-1$时,$a$的值最大.
8 一题多解 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象过点$A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-m)$，其中$m,n$为常数，则$\frac{m}{n}$的值为
$-\frac{3}{5}$
。答案
8. $-\frac{3}{5}$ 【解析】解法一:$\because$ 点$A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)$均在二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象上,
$\therefore \begin{cases}c=m,\\ a+b+c=-m,\\ 9a+3b+c=-m,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a=\dfrac{2}{3}m,\\ b=-\dfrac{8}{3}m,\\ c=m.\end{cases}$ $\therefore y=\frac{2}{3}mx^2 -\frac{8}{3}mx +m$.
$\because$ 点$C(2,n)$在该二次函数的图象上,$\therefore n=\frac{2}{3}m×2^2 -\frac{8}{3}m×2 +m=-\frac{5}{3}m. \therefore \frac{m}{n}=\frac{m}{-\frac{5}{3}m}=-\frac{3}{5}$. 解法二:$\because$ 图象过点$B(1,-m),D(3,-m),\therefore$ 可设$y=a(x-1)(x-3)-m$.
又$\because$ 点$A(0,m)$在该图象上,$\therefore a=\frac{2}{3}m. \therefore y=\frac{2}{3}mx^2 -\frac{8}{3}mx +m. \because$ 点$C(2,n)$在二次函数$y=\frac{2}{3}mx^2 -\frac{8}{3}mx +m$的图象上,$\therefore n=\frac{2}{3}m×2^2 -\frac{8}{3}m×2 +m=-\frac{5}{3}m. \therefore \frac{m}{n}=\frac{m}{-\frac{5}{3}m}=-\frac{3}{5}$.
$\therefore \begin{cases}c=m,\\ a+b+c=-m,\\ 9a+3b+c=-m,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a=\dfrac{2}{3}m,\\ b=-\dfrac{8}{3}m,\\ c=m.\end{cases}$ $\therefore y=\frac{2}{3}mx^2 -\frac{8}{3}mx +m$.
$\because$ 点$C(2,n)$在该二次函数的图象上,$\therefore n=\frac{2}{3}m×2^2 -\frac{8}{3}m×2 +m=-\frac{5}{3}m. \therefore \frac{m}{n}=\frac{m}{-\frac{5}{3}m}=-\frac{3}{5}$. 解法二:$\because$ 图象过点$B(1,-m),D(3,-m),\therefore$ 可设$y=a(x-1)(x-3)-m$.
又$\because$ 点$A(0,m)$在该图象上,$\therefore a=\frac{2}{3}m. \therefore y=\frac{2}{3}mx^2 -\frac{8}{3}mx +m. \because$ 点$C(2,n)$在二次函数$y=\frac{2}{3}mx^2 -\frac{8}{3}mx +m$的图象上,$\therefore n=\frac{2}{3}m×2^2 -\frac{8}{3}m×2 +m=-\frac{5}{3}m. \therefore \frac{m}{n}=\frac{m}{-\frac{5}{3}m}=-\frac{3}{5}$.
9 一题多解 下表记录了二次函数$y=ax^2+bx+3(a≠0)$中变量$x$与$y$的3组对应值：
根据表中信息，当$-5＜x＜0$时，直线$y=k$与该二次函数图象有两个公共点，则$k$的取值范围是
根据表中信息，当$-5＜x＜0$时，直线$y=k$与该二次函数图象有两个公共点，则$k$的取值范围是
$\frac{8}{3}＜k＜3$
。答案
9. $\frac{8}{3}＜k＜3$ 【解析】解法一:$\because$ 点$(-5,m)$和$(3,m)$关于对称轴对称,$\therefore$ 对称轴为直线$x=\frac{-5+3}{2}=-1. \therefore -\frac{b}{2a}=-1$.
$\therefore b=2a. \therefore y=ax^2+bx+3=ax^2+2ax+3. \because$ 当$x=-1$时,$y=\frac{8}{3}$,$\therefore a-2a+3=\frac{8}{3}$,解得$a=\frac{1}{3}. \therefore b=\frac{2}{3}. \therefore y=\frac{1}{3}x^2 +\frac{2}{3}x +3=\frac{1}{3}(x+1)^2 +\frac{8}{3}. \because a=\frac{1}{3}$,$\therefore$ 二次函数$y=\frac{1}{3}(x+1)^2 +\frac{8}{3}$的图象开口向上.$\because -5＜x＜0$,$\therefore$ 当$x=0$时,$y=3$;当$x=-5$时,$y=8$;当$x=-1$时,$y$有最小值,为$\frac{8}{3}$.
$\because$ 直线$y=k$与该二次函数图象有两个公共点,$\therefore \frac{8}{3}＜k＜3$.
解法二:$\because$ 点$(-5,m)$和$(3,m)$关于对称轴对称,$\therefore$ 对称轴为直线$x=\frac{-5+3}{2}=-1. \therefore$ 抛物线的顶点是$(-1,\frac{8}{3}). \therefore y=a(x+1)^2 +\frac{8}{3}=ax^2+2ax+a+\frac{8}{3}. \therefore 3=a+\frac{8}{3}$,解得$a=\frac{1}{3}. \therefore y=\frac{1}{3}x^2 +\frac{2}{3}x +3=\frac{1}{3}(x+1)^2 +\frac{8}{3}. \because a=\frac{1}{3}$,$\therefore$ 二次函数$y=\frac{1}{3}(x+1)^2 +\frac{8}{3}$的图象开口向上.$\because -5＜x＜0$,
$\therefore$ 当$x=0$时,$y=3$;当$x=-5$时,$y=8$;当$x=-1$时,$y$有最小值,为$\frac{8}{3}. \because$ 直线$y=k$与该二次函数图象有两个公共点,$\therefore \frac{8}{3}＜k＜3$.
$\therefore b=2a. \therefore y=ax^2+bx+3=ax^2+2ax+3. \because$ 当$x=-1$时,$y=\frac{8}{3}$,$\therefore a-2a+3=\frac{8}{3}$,解得$a=\frac{1}{3}. \therefore b=\frac{2}{3}. \therefore y=\frac{1}{3}x^2 +\frac{2}{3}x +3=\frac{1}{3}(x+1)^2 +\frac{8}{3}. \because a=\frac{1}{3}$,$\therefore$ 二次函数$y=\frac{1}{3}(x+1)^2 +\frac{8}{3}$的图象开口向上.$\because -5＜x＜0$,$\therefore$ 当$x=0$时,$y=3$;当$x=-5$时,$y=8$;当$x=-1$时,$y$有最小值,为$\frac{8}{3}$.
$\because$ 直线$y=k$与该二次函数图象有两个公共点,$\therefore \frac{8}{3}＜k＜3$.
解法二:$\because$ 点$(-5,m)$和$(3,m)$关于对称轴对称,$\therefore$ 对称轴为直线$x=\frac{-5+3}{2}=-1. \therefore$ 抛物线的顶点是$(-1,\frac{8}{3}). \therefore y=a(x+1)^2 +\frac{8}{3}=ax^2+2ax+a+\frac{8}{3}. \therefore 3=a+\frac{8}{3}$,解得$a=\frac{1}{3}. \therefore y=\frac{1}{3}x^2 +\frac{2}{3}x +3=\frac{1}{3}(x+1)^2 +\frac{8}{3}. \because a=\frac{1}{3}$,$\therefore$ 二次函数$y=\frac{1}{3}(x+1)^2 +\frac{8}{3}$的图象开口向上.$\because -5＜x＜0$,
$\therefore$ 当$x=0$时,$y=3$;当$x=-5$时,$y=8$;当$x=-1$时,$y$有最小值,为$\frac{8}{3}. \because$ 直线$y=k$与该二次函数图象有两个公共点,$\therefore \frac{8}{3}＜k＜3$.
10 如图,二次函数的图象经过点$(1,0)$,顶点坐标为$(-1,-4)$.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当$-5＜x＜0$时,$y$的取值范围是
（3）（易错题）将该抛物线向上平移
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当$-5＜x＜0$时,$y$的取值范围是
$-4≤ y＜12$
；（3）（易错题）将该抛物线向上平移
3或4
个单位长度后,所得抛物线与坐标轴有两个公共点.答案
10. (1) 根据题意,设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2 -4$.
$\because$ 点$(1,0)$在该函数图象上,$\therefore a×(1+1)^2 -4=0$,解得$a=1$.
$\therefore y=(x+1)^2 -4$ (2) $-4≤ y＜12$
(3) 3或4 【解析】当抛物线与$x$轴只有一个公共点时,向上平移4个单位长度,得抛物线$y=(x+1)^2$,与$x$轴只有一个交点,即$(-1,0)$. 当$x=0$时,$y=1$,$\therefore$ 与$y$轴只有一个交点,即$(0,1)$,符合题意. 当抛物线与原点相交时,可将抛物线$y=(x+1)^2 -4=x^2+2x-3$向上平移3个单位长度,得到抛物线$y=x^2+2x$,当$y=0$时,$x^2+2x=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=0$,所得交点为$(-2,0),(0,0)$,符合题意. $\therefore$ 将该抛物线向上平移3或4个单位长度后,所得抛物线与坐标轴有两个公共点.
易错分析
10. (3) 本题易因考虑不全面而漏解. 抛物线与坐标轴有两个公共点有两种可能,一是顶点在$x$轴上但不是原点,二是顶点不在原点,但图象经过原点.
$\because$ 点$(1,0)$在该函数图象上,$\therefore a×(1+1)^2 -4=0$,解得$a=1$.
$\therefore y=(x+1)^2 -4$ (2) $-4≤ y＜12$
(3) 3或4 【解析】当抛物线与$x$轴只有一个公共点时,向上平移4个单位长度,得抛物线$y=(x+1)^2$,与$x$轴只有一个交点,即$(-1,0)$. 当$x=0$时,$y=1$,$\therefore$ 与$y$轴只有一个交点,即$(0,1)$,符合题意. 当抛物线与原点相交时,可将抛物线$y=(x+1)^2 -4=x^2+2x-3$向上平移3个单位长度,得到抛物线$y=x^2+2x$,当$y=0$时,$x^2+2x=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=0$,所得交点为$(-2,0),(0,0)$,符合题意. $\therefore$ 将该抛物线向上平移3或4个单位长度后,所得抛物线与坐标轴有两个公共点.
易错分析
10. (3) 本题易因考虑不全面而漏解. 抛物线与坐标轴有两个公共点有两种可能,一是顶点在$x$轴上但不是原点,二是顶点不在原点,但图象经过原点.
11 如图，抛物线$y=(x-1)^2 +k$与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C(0,-3)，P为抛物线上一点，横坐标为m，且$m＞0$.
（1）求此抛物线对应的函数表达式.
（2）当点P位于x轴的下方时，求$△ ABP$面积的最大值.
（3）分类讨论思想 设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h.
① 求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
② 当$h=9$时，$△ BCP$的面积为
（1）求此抛物线对应的函数表达式.
（2）当点P位于x轴的下方时，求$△ ABP$面积的最大值.
（3）
① 求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
② 当$h=9$时，$△ BCP$的面积为
6
.答案
11. (1) $\because$ 点$C(0,-3)$在抛物线$y=(x-1)^2 +k$上,$\therefore -3=(0-1)^2 +k$,解得$k=-4$. $\therefore$ 此抛物线对应的函数表达式为$y=(x-1)^2 -4$,即$y=x^2-2x-3$ (2) 在$y=x^2-2x-3$中,令$y=0$,则$x=-1$或$x=3$. $\therefore$ 易得$A(-1,0),B(3,0)$. $\therefore AB=4$. $\because P$为抛物线上一点,横坐标为$m$,$m＞0$,点$P$位于$x$轴的下方,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(m,m^2-2m-3)$,$0＜m＜3$. $\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2} AB · (-y_P)=\frac{1}{2} ×4×[-(m^2-2m-3)]=-2m^2+4m+6=-2(m-1)^2 +8$. $\because -2＜0$,$0＜m＜3$,$\therefore$ 当$m=1$时,$S_{△ ABP}$取得最大值,最大值为8 (3) 由$y=(x-1)^2 -4$,得抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$. ① 当$0＜m≤1$时,$h=-3-(m^2-2m-3)=-m^2+2m$;当$1＜m≤2$时,$h=-3-(-4)=1$;当$m＞2$时,$h=m^2-2m-3-(-4)=m^2-2m+1$.
综上所述,$h=\begin{cases}-m^2+2m (0＜m≤1),\\ 1(1＜m≤2),\\ m^2-2m+1(m＞2)\end{cases}$
② 6 【解析】当$h=9$时,若$-m^2+2m=9$,即$m^2-2m+9=0$,此时$b^2-4ac=(-2)^2 -4×1×9=-32＜0$,无解;若$m^2-2m+1=9$,则$m_1=4$,$m_2=-2$(不合题意,舍去),此时点$P$的坐标为$(4,5)$. $\because B(3,0),C(0,-3)$,$\therefore S_{△ BCP}=\frac{1}{2}×8×4-\frac{1}{2}×5×1-\frac{1}{2}×(4+1)×3=6$.
综上所述,$h=\begin{cases}-m^2+2m (0＜m≤1),\\ 1(1＜m≤2),\\ m^2-2m+1(m＞2)\end{cases}$
② 6 【解析】当$h=9$时,若$-m^2+2m=9$,即$m^2-2m+9=0$,此时$b^2-4ac=(-2)^2 -4×1×9=-32＜0$,无解;若$m^2-2m+1=9$,则$m_1=4$,$m_2=-2$(不合题意,舍去),此时点$P$的坐标为$(4,5)$. $\because B(3,0),C(0,-3)$,$\therefore S_{△ BCP}=\frac{1}{2}×8×4-\frac{1}{2}×5×1-\frac{1}{2}×(4+1)×3=6$.
