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1. 如图，$△ ABC$，$△ CDE$均为等边三角形，连接$AD$，$BE$交于点$O$，$AC$与$BE$交于点$P$.求证：$∠ AOB=60°$.
答案
【证明】因为△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
所以 AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，
所以∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD.
在△ACD 和△BCE 中,$\begin{cases} AC=BC,\\∠ACD=∠BCE,\\CD=CE, \end{cases}$
所以△ACD≌△BCE(SAS)，
所以∠CAD=∠CBE.
因为∠APO=∠BPC，
所以∠AOP=∠BCP=60°,即∠AOB=60°.
所以 AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，
所以∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD.
在△ACD 和△BCE 中,$\begin{cases} AC=BC,\\∠ACD=∠BCE,\\CD=CE, \end{cases}$
所以△ACD≌△BCE(SAS)，
所以∠CAD=∠CBE.
因为∠APO=∠BPC，
所以∠AOP=∠BCP=60°,即∠AOB=60°.
【典型例题2】如图，在四边形ABCD中，AB//DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形。
【证明】因为DB平分∠ADC，所以∠ADB=∠CDB。
因为AB//DC，
所以∠ABD=∠CDB，
所以∠ABD=∠ADB，
所以AB=AD，即△ABD是等腰三角形。
因为∠A=60°，
所以△ABD是等边三角形。
【证明】因为DB平分∠ADC，所以∠ADB=∠CDB。
因为AB//DC，
所以∠ABD=∠CDB，
所以∠ABD=∠ADB，
所以AB=AD，即△ABD是等腰三角形。
因为∠A=60°，
所以△ABD是等边三角形。
答案
证明：
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB。
∵ AB//DC，
∴ ∠ABD = ∠CDB，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD，即△ABD是等腰三角形。
又∵ ∠A = 60°，
∴ △ABD是等边三角形。
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB。
∵ AB//DC，
∴ ∠ABD = ∠CDB，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD，即△ABD是等腰三角形。
又∵ ∠A = 60°，
∴ △ABD是等边三角形。
2. 如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC的三等分点。分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的$△ DEF$的周长是
6
。答案
【解析】因为△ABC 是等边三角形,所以∠B=∠C=60°. 因为AB//DE,AC//DF,所以∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°,所以∠D=60°,所以∠DEF=∠DFE=∠D,所以△DEF 为等边三角形. 因为 E,F 是边 BC 的三等分点,所以 EF=$\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×6=2$,所以△DEF 的周长是 2×3=6.
1.(2024·山东泰安中考)如图,直线$l// m$,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若$∠ ABE=21°$,则$∠ ACD$的度数为
(
A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
(
B
)A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
答案
1.B 【解析】延长 CA,交直线 l 于点 F(图略),由 l//m,得∠ACD=∠CFB. 因为∠CFB=∠CAB - ∠ABE=60°-21°=39°,所以∠ACD=39°.
