2.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数为（）


A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

2.C 【解析】在等边三角形 ABC 中,∠ABC=60°.
因为 BD 是 AC 边上的高,所以 BD 平分∠ABC,
所以∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
因为 BD=ED,所以∠DEC=∠CBD=30°.

3.由于普通的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.衣架杆$OA=OB=18\ \mathrm{cm}$，若衣架收拢时如图所示，$∠ AOB=60°$，则此时$A$，$B$两点间的距离是 cm.

(第3题图)
(第4题图)

3. 18 【解析】因为 OA=OB,∠AOB=60°,所以△AOB是等边三角形,所以 AB=OA=OB=18 cm.

4.将含$30°$角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置,已知$∠α=60°$,点$B$,$C$对应的刻度分别为$1\ \mathrm{cm}$,$3\ \mathrm{cm}$,则线段$AB$的长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}.$

4. 2 【解析】因为直尺的两对边相互平行，
所以∠ACB=∠α=60°.
因为 ∠A = 60°, 所以 ∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠A = 180°-60°-60°=60°,所以∠A=∠ABC=∠ACB,所以△ABC 是等边三角形，
所以 AB=BC=3-1=2(cm).

5. 如图,在等边三角形ABC中,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,下列结论:①$AD ⊥ BC$;②$EF = FD$;③$BE = BD$.其中正确的个数为 ()

A.3
B.2
C.1
D.0

5.A 【解析】因为△ABC 是等边三角形,△AED 是等边三角形,所以 AB=AC=BC,∠BAC=60°,AE=AD=ED,∠EAD=60°. 因为 AD 平分∠BAC,所以∠DAB=∠DAC=30°,所以 AD⊥BC,故①正确；
∠EAB=∠BAD=30°,所以 AB⊥ED,EF=FD,故②正确；
所以 BE=BD,故③正确.

6.如图,在等边三角形ABC中,点D在BC边的延长线上,CE平分∠ACD,且CE=BD.求证:△ADE是等边三角形.

6.【证明】由等边三角形 ABC 及 CE 平分∠ACD,可得 AB=AC,∠B=∠ACE=60°.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} AB=AC,\\∠B=∠ACE,\\BD=CE, \end{cases}$
所以△ABD≌△ACE(SAS),
所以 AD=AE,∠BAD=∠CAE,
所以∠CAE - ∠CAD = ∠BAD - ∠CAD,
即∠DAE=∠BAC=60°.
因为 AD=AE,
所以△ADE 是等边三角形.

7.如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P, MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).

7. (1)【证明】如图,过点 M 作 MQ//BC,交 AC 于点 Q.
在等边三角形 ABC 中,∠A=∠B=∠ACB=60°. 因为 MQ//BC，
所以∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,∠MQP=∠PCN,
所以△AMQ 是等边三角形,所以 AM=QM.
因为 AM=CN,所以 QM=CN.
在△QMP 和△CNP 中,$\begin{cases} ∠MQP=∠NCP,\\QM=CN,\\∠QMP=∠N, \end{cases}$
所以△QMP≌△CNP(ASA),所以 MP=NP.
(2)【解】在等边三角形 AMQ 中,因为 MH⊥AC,
所以 AH=HQ.
因为△QMP≌△CNP,所以 QP=CP,
所以 PH=HQ+QP=$\frac{1}{2}AC$.
因为 AB=a,AB=AC,所以 PH=$\frac{1}{2}a$.