4. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点E,CD平分∠ACB交BE于点D,图中有个等腰三角形.

4.5 【解析】在$△ABC$中,$AB=AC$,$∠A=36°$,所以$∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$. 因为 $BD$ 平分$∠ABC$,$CD$ 平分$∠ACB$,
所以 $∠ABE = ∠CBE = 36°$, $∠BCD = ∠ECD = 36°$, 所以 $∠CDE = ∠CBE + ∠BCD =72°$,$∠CED=∠A+∠ABE=72°$.
①因为 $AB=AC$,所以$△ABC$ 为等腰三角形；
②因为 $∠A=∠ABE=36°$,所以$△ABE$ 为等腰三角形；
③因为 $∠BCD=∠CBE=36°$,所以$△BCD$ 为等腰三角形；
④因为 $∠ACB=∠CED=72°$,所以$△BCE$ 为等腰三角形；
⑤因为 $∠CDE=∠CED=72°$,所以$△CDE$ 为等腰三角形.
综上,题图中共有5个等腰三角形.

5.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,0),在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形,符合条件的C点有个.

5.4 【解析】若以点 A 为圆心,$AB$ 为半径画弧,与 $y$轴有2个交点,故此时符合条件的点有2个;若以点B为圆心,$AB$ 为半径画弧,与 $y$ 轴有2个交点,这两个交点中有一个是与 A 重合的,应舍掉,故只有1个;线段 $AB$ 的垂直平分线与 $y$ 轴有1个交点. 故符合条件的 $C$ 点有 $2+1+1=4$(个).

6.如图，$∠ BAC=∠ ABD$，$AC=BD$，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点。试判断OE和AB的位置关系，并说明理由。

6.【解】$OE⊥AB$. 理由：
在$△BAC$ 和$△ABD$ 中,$\begin{cases} AC=BD, \\ ∠BAC=∠ABD, \\ AB=BA, \end{cases}$
所以$△BAC≌△ABD(\mathrm{SAS})$,
所以$∠OBA=∠OAB$,所以$OA=OB$.
因为 $E$ 是 $AB$ 的中点,所以 $AE=BE$,所以 $OE⊥AB$.

7.(1)如图 ,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,BD平分$∠ ABC$,CD平分$∠ ACB$,过点D作$EF// BC$,分别交AB,AC于E,F两点,则图中共有个等腰三角形;EF,BE,CF三者之间的数量关系是,$△ AEF$的周长是.
(2)如图 ,若将(1)中“在$△ ABC$中,$AB=AC=10$”改为“若$△ ABC$为不等边三角形,$AB=8,AC=10$”其余条件不变,则图中共有个等腰三角形;EF,BE,CF三者之间的数量关系是什么?证明你的结论,并求出$△ AEF$的周长.

7.【解】(1)5 $BE+CF=EF$ 20
(2)2 $BE+CF=EF$.
证明:因为 $BD$ 平分$∠ABC$,$CD$ 平分$∠ACB$,
所以$∠EBD=∠CBD$,$∠FCD=∠BCD$.
因为 $EF// BC$,所以$∠EDB=∠CBD$,$∠FDC=∠BCD$,所以$∠EBD=∠EDB$,$∠FDC=∠FCD$,
所以 $BE=DE$,$CF=DF$,
所以等腰三角形有$△BDE$,$△CFD$,$BE + CF=DE+DF=EF$,即 $BE+CF=EF$,
所以$△AEF$ 的周长为 18.