1 [2025湖北]如图，甲、乙两栋楼相距 30 m，从甲楼 A 处看乙楼顶部 B 的仰角为 $35°$，点 A 到地面的距离为 18 m，求乙楼的高度（参考数据：$\tan 35° \approx 0.7$）。

1. 过点 $A$ 作 $AC⊥ BH$ 于点 $C$, 则 $∠ ACB=90°$. 根据题意, 得$∠ BAC=35°, AC=30\ \mathrm{m}$, 所以 $BC=AC· \tan 35°\approx30×0.7=21(\mathrm{m})$. 所以易得 $BH=21+18=39(\mathrm{m})$. 所以乙楼的高度约为39 m

2 如图所示为某雕塑的示意图，$AB// CD// FG$，A，D，H，G 四点在同一条直线上，测得$∠ FEC=∠ A=72.9°$，$AD=1.6\ \mathrm{m}$，$EF=6.2\ \mathrm{m}$。
（1）求证：四边形 DEFG 为平行四边形；
（2）求该雕塑的高（即点 G 到 AB 的距离，结果精确到 0.1 m，参考数据：$\sin 72.9°\approx0.96$，$\cos 72.9°\approx0.29$，$\tan 72.9°\approx3.25$）。

2. (1) 因为 $AB// CD$, 所以 $∠ CDG=∠ A$. 因为 $∠ FEC=∠ A$,所以 $∠ FEC=∠ CDG$. 所以 $EF// DG$. 又因为 $FG// CD$, 所以四边形 $DEFG$ 为平行四边形 (2) 过点 $G$ 作 $GP⊥ AB$ 于点 $P$. 由(1), 得四边形 $DEFG$ 为平行四边形, 所以 $DG=EF=6.2\ \mathrm{m}$. 因为 $AD=1.6\ \mathrm{m}$, 所以 $AG=DG+AD=6.2+1.6=7.8(\mathrm{m})$. 在$\mathrm{Rt}△ APG$ 中, $∠ A=72.9°, \sin A=\dfrac{PG}{AG}$, 所以 $PG=AG· \sin A\approx7.8×0.96\approx7.5(\mathrm{m})$. 所以该雕塑的高约为 $7.5\ \mathrm{m}$

3 [2025 安徽]某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员在点A处测得点C的俯角为$23.8°$，测得点D的仰角为$36.9°$.已知$AB=13.2\ \mathrm{m}$，求AD的长（参考数据：$\sin23.8°\approx0.40$，$\cos23.8°\approx0.91$，$\tan23.8°\approx0.44$，$\sin36.9°\approx0.60$，$\cos36.9°\approx0.80$，$\tan36.9°\approx0.75$）.

3. 过点 $A$ 作 $AE⊥ CD$, 垂足为 $E$. 根据题意, 得四边形 $ABCE$ 为矩形, 所以 $CE=AB=13.2\ \mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中, $\tan ∠ CAE=\dfrac{CE}{AE}$, 所以 $AE=\dfrac{CE}{\tan ∠ CAE}=\dfrac{13.2}{\tan 23.8°}\approx\dfrac{13.2}{0.44}=30(\mathrm{m})$. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $\cos ∠ DAE=\dfrac{AE}{AD}$, 所以 $AD=\dfrac{AE}{\cos ∠ DAE}=\dfrac{30}{\cos 36.9°}\approx\dfrac{30}{0.80}=37.5(\mathrm{m})$. 所以 $AD$ 的长约为 $37.5\ \mathrm{m}$

4 如图,海中有一灯塔$P$,它的周围8海里内有暗礁,海轮以18海里/时的速度由西向东航行,在$A$处测得灯塔$P$在北偏东$60°$方向上,航行40分钟到达$B$处,此时测得灯塔$P$在北偏东$30°$方向上.如果海轮不改变航线继续向东航行,那么有没有触礁的危险?

4. 过点 $P$ 作 $PH⊥ AB$ 于点 $H$, 则 $∠ PHB=90°$. 因为海轮的速度是 18 海里/时, 行驶了 40 分钟, 所以 $AB=18×\dfrac{40}{60}=12$(海里). 由题意, 得 $∠ PAB=90°-60°=30°, ∠ PBH=90°-30°=60°$, 所以 $∠ BPH=30°, ∠ APB=30°$. 所以 $∠ PAB=∠ APB$. 所以 $BP=AB=12$ 海里. 在 $\mathrm{Rt}△ PBH$ 中, $\sin ∠ PBH=\dfrac{PH}{PB}$, 所以$PH=12×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$(海里). 因为 $6\sqrt{3}＞8$, 所以海轮没有触礁的危险