1.已知$A(-1,5),B(-2,4),C$在$x$轴上,$D$在$y$轴上,当四边形$ABCD$的周长最小时,直线$CD$的函数表达式为。

作A关于y轴的对称点A'，作B关于x轴的对称点B'，连接A'B'，交x轴于C，交y轴于D，易知A'B'的长就是AD+CD+BC的最小值，因为AB的长为定值，所以此时四边形ABCD的周长最小。设直线CD的表达式为y=kx+b，因为点A(-1,5)关于y轴的对称点A'的坐标是(1,5)，点B(-2,4)关于x轴的对称点B'的坐标是(-2,-4)，所以$\begin{cases}k + b = 5,\\-2k + b = -4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 3,\\b = 2,\end{cases}$所以直线CD的函数表达式为y=3x+2。

2. [2026衡水模拟]如图,在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点。已知点A的坐标为$(-2,1)$,点B的坐标为$(3,1)$,点$M(0,m)$为y轴上一点,且$m＞0$。现连接$OA$,$OB$,$AM$,$BM$,若四边形$AOBM$所围成的封闭区域内(不含边界)有6个整点,则$m$的取值范围是 ()


A.$2 ＜ m ＜ 3$
B.$2 ＜ m ≤ 3$
C.$\frac{5}{2} ＜ m ≤ 3$
D.$\frac{5}{2} ＜ m ＜ 3$

如图1，四边形AOBM所围成的封闭区域内(不含边界)有5个整点，此时C(1,2)，设直线BC的函数表达式为y=kx+b，由条件可得$\begin{cases}k + b = 2,\\3k + b = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2},\\b = \frac{5}{2},\end{cases}$所以直线BC的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$，当x=0时，$y = \frac{5}{2}$，所以$M(0,\frac{5}{2})$，所以$m = \frac{5}{2}$；如图2，四边形AOBM所围成的封闭区域内(不含边界)有6个整点，此时D(-1,2)，设直线AD的函数表达式为$y = k_1x + b_1$，由条件可得$\begin{cases}-2k_1 + b_1 = 1,\\-k_1 + b_1 = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1 = 1,\\b_1 = 3,\end{cases}$所以直线AD的函数表达式为y = x + 3，当x=0时，y=3，所以M(0,3)，所以m=3。综上，m的取值范围是$\frac{5}{2} ＜ m ≤ 3$。

3. [2025萍乡期末]如图,一次函数$y=x+1$的图象分别与x轴,y轴交于点A,Q,一次函数$y=-2x+2$的图象与x轴交于点B,与$y=x+1$的图象交于点P。
(1)求A,B,P三点的坐标;
(2)求四边形PQOB的面积。

解:(1)因为一次函数y = x + 1的图象与x轴交于点A，所以A(-1,0)，因为一次函数y = -2x + 2的图象与x轴交于点B，所以B(1,0)，由$\begin{cases}y = x + 1,\\y = -2x + 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = \frac{1}{3},\\y = \frac{4}{3},\end{cases}$所以$P(\frac{1}{3},\frac{4}{3})$。
(2)由一次函数y = x + 1的图象与y轴交于点Q，得Q(0,1)，所以四边形PQOB的面积为$S_{△ APB} - S_{△ AQO} = \frac{1}{2}×\frac{4}{3}×2 - \frac{1}{2}×1×1 = \frac{5}{6}$。

4. [2026 六安金安区期末]爆竹声中一岁除,春风送暖入屠苏。春节前期,家家户户贴春联,挂灯笼,欢天喜地迎新年。某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品。已知第一次购进5个灯笼和4副春联花费185元,第二次购进3个灯笼和8副春联花费195元。
(1)每个灯笼和每副春联的进价分别是多少元?
(2)由于灯笼和春联畅销,超市决定第三次购进灯笼和春联这两种商品共300件,其中灯笼的数量不低于75个,且灯笼和春联的进价保持不变。若每个灯笼的售价为30元,每副春联的售价为25元,在销售中灯笼有4%的损坏,春联有8%的损坏。若第三次购进的灯笼和春联全部售出(损坏的灯笼和春联不能售出),则当第三次购进多少个灯笼时,可使本次销售获得最大利润?最大利润是多少元?
5. 某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传

解:(1)设每个灯笼和每副春联的进价分别是x元和y元，根据题意，得$\begin{cases}5x + 4y = 185,\\3x + 8y = 195,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 25,\\y = 15,\end{cases}$所以每个灯笼和每副春联的进价分别是25元和15元。
(2)设第三次购进灯笼m个，则购进春联(300 - m)副，75≤m≤300。
设第三次购进的灯笼和春联全部售出(损坏的灯笼和春联不能售出)获得的利润为w元，根据题意，得$w = 30×(1 - 4\%)m + 25×(1 - 8\%)(300 - m) - 25m - 15(300 - m) = -4.2m + 2400$，因为-4.2＜0，所以w随m的增大而减小，又因为75≤m≤300，所以当m=75时，w最大，此时$w = -4.2×75 + 2400 = 2085$，所以当第三次购进75个灯笼时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是2085元。