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1. 将二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$配方，化成$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=$
$-\frac{b}{2a}$
，$k=$$\frac{4ac-b^2}{4a}$
，得到抛物线的对称轴是直线$x=$$-\frac{b}{2a}$
，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
。答案
1. $-\frac{b}{2a}$
$\frac{4ac-b^2}{4a}$
$-\frac{b}{2a}$
$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
$\frac{4ac-b^2}{4a}$
$-\frac{b}{2a}$
$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
解析
【分析】
本题考查二次函数一般式配方为顶点式的方法，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤，先提取二次项系数，再通过“加半平方，多退少补”凑完全平方，整理后对比顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式即可得到$h$、$k$的表达式；再结合顶点式的性质，直接写出对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
对二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$进行配方：
1. 提取二次项系数$a$，得：
$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$
2. 括号内加、减一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，凑完全平方：
$y=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$
3. 合并完全平方项，整理常数项：
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2 - a·\frac{b^2}{4a^2}+c$
$y=a(x-(-\frac{b}{2a}))^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
对比顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$；
根据顶点式的性质，抛物线对称轴为直线$x=h$，即$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(h,k)$，即$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；$-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式性质；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查配方法的应用和顶点式的相关性质，是后续学习二次函数图象与性质、解决二次函数应用问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数一般式配方为顶点式的方法，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤，先提取二次项系数，再通过“加半平方，多退少补”凑完全平方，整理后对比顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式即可得到$h$、$k$的表达式；再结合顶点式的性质，直接写出对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
对二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$进行配方：
1. 提取二次项系数$a$，得：
$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$
2. 括号内加、减一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，凑完全平方：
$y=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$
3. 合并完全平方项，整理常数项：
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2 - a·\frac{b^2}{4a^2}+c$
$y=a(x-(-\frac{b}{2a}))^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
对比顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$；
根据顶点式的性质，抛物线对称轴为直线$x=h$，即$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(h,k)$，即$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；$-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式性质；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查配方法的应用和顶点式的相关性质，是后续学习二次函数图象与性质、解决二次函数应用问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
2. 在实际问题中求最大值或最小值:当$a＞0$时,抛物线的开口向
上
,抛物线的顶点是最低
点,当$x=-\frac{b}{2a}$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$的最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$
;当$a＜0$时,抛物线的开口向下
,抛物线的顶点是最高
点,当$x=-\frac{b}{2a}$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$的最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$
.答案
2. 上
低
$\frac{4ac-b^2}{4a}$
下
高
$\frac{4ac-b^2}{4a}$
低
$\frac{4ac-b^2}{4a}$
下
高
$\frac{4ac-b^2}{4a}$
解析
【分析】
本题考查二次函数的图象与最值的相关性质，解题时可先根据二次项系数a的符号判断抛物线开口方向：开口向上时抛物线有最低点，顶点对应函数最小值；开口向下时抛物线有最高点，顶点对应函数最大值，最值即为顶点的纵坐标，结合顶点坐标公式即可完成填空。
【解析】
根据二次函数的性质逐步推导：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，抛物线的顶点是整个图象的最低点，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，将其代入二次函数解析式，可得最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，抛物线的顶点是整个图象的最高点，同理代入横坐标可得最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
上；低；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；下；高；$\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对二次函数图象特征和最值规律的掌握，相关结论是求解二次函数实际最值问题的核心依据，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的图象与最值的相关性质，解题时可先根据二次项系数a的符号判断抛物线开口方向：开口向上时抛物线有最低点，顶点对应函数最小值；开口向下时抛物线有最高点，顶点对应函数最大值，最值即为顶点的纵坐标，结合顶点坐标公式即可完成填空。
【解析】
根据二次函数的性质逐步推导：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，抛物线的顶点是整个图象的最低点，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，将其代入二次函数解析式，可得最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，抛物线的顶点是整个图象的最高点，同理代入横坐标可得最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
上；低；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；下；高；$\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对二次函数图象特征和最值规律的掌握，相关结论是求解二次函数实际最值问题的核心依据，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
例 如图26.4-1,小嘉同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是$\frac{7}{4}$m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.
(1)根据题意,请你建立合适的平面直角坐标系,并求出这段抛物线对应的函数解析式.
(2)若实心球落地点为M,求OM的长.
解 (1)建立平面直角坐标系如图26.4-2,
∵出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.
∴设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-5)^2+4$,
把点$(0,\frac{7}{4})$代入得$25a+4=\frac{7}{4}$,
解得$a=-\frac{9}{100}$,
∴$y=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$.
(2)当$y=0$时,$-\frac{9}{100}(x-5)^2+4=0$,
解得$x_1=-\frac{5}{3}$(舍去),$x_2=\frac{35}{3}$,
即OM的长为$x_2=\frac{35}{3}$ m.
方法感悟 1. 在轨迹问题中,需要先根据实际情况,建立平面直角坐标系,并将实际问题转化为求点的坐标问题.
2. 在面积问题中,需要注意自变量的取值范围,并注意其对最值的影响.
基础训练
(1)根据题意,请你建立合适的平面直角坐标系,并求出这段抛物线对应的函数解析式.
(2)若实心球落地点为M,求OM的长.
解 (1)建立平面直角坐标系如图26.4-2,
∵出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.
∴设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-5)^2+4$,
把点$(0,\frac{7}{4})$代入得$25a+4=\frac{7}{4}$,
解得$a=-\frac{9}{100}$,
∴$y=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$.
(2)当$y=0$时,$-\frac{9}{100}(x-5)^2+4=0$,
解得$x_1=-\frac{5}{3}$(舍去),$x_2=\frac{35}{3}$,
即OM的长为$x_2=\frac{35}{3}$ m.
方法感悟 1. 在轨迹问题中,需要先根据实际情况,建立平面直角坐标系,并将实际问题转化为求点的坐标问题.
2. 在面积问题中,需要注意自变量的取值范围,并注意其对最值的影响.
基础训练
答案
(1) 这段抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$
(2) OM的长为$\frac{35}{3}$ m
(2) OM的长为$\frac{35}{3}$ m
解析
【分析】
(1) 首先建立便于计算的平面直角坐标系：以点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。已知抛物线的顶点（最高点）坐标为(5,4)，因此选用二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标）设解析式更简便，再将出手点$P(0,\frac{7}{4})$代入，即可求出系数$a$，得到完整的函数解析式。
(2) 实心球落地时竖直高度为0，即$y=0$，将$y=0$代入已求出的二次函数解析式，解对应的一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到的正根就是落地点M的横坐标，也就是OM的长度。
【解析】
(1) 以O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线顶点坐标为$(5,4)$，设抛物线解析式为$y=a(x-5)^2+4$（$a≠0$）。
将点$P(0,\frac{7}{4})$代入解析式：
$a×(0-5)^2+4=\frac{7}{4}$
$25a+4=\frac{7}{4}$
解得$a=-\frac{9}{100}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$。
(2) 实心球落地时$y=0$，代入解析式得：
$-\frac{9}{100}(x-5)^2+4=0$
整理得$(x-5)^2=\frac{400}{9}$
开方得$x-5=\pm\frac{20}{3}$
解得$x_1=\frac{35}{3}$，$x_2=-\frac{5}{3}$
落地点在x轴正半轴，故舍去$x_2=-\frac{5}{3}$，即OM的长为$\frac{35}{3}$m。
【答案】
(1) $y=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$
(2) $\frac{35}{3}$ m
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际抛体场景中的应用，核心是将实际问题转化为二次函数模型求解，要注意结合实际场景对计算结果进行取舍，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先建立便于计算的平面直角坐标系：以点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。已知抛物线的顶点（最高点）坐标为(5,4)，因此选用二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标）设解析式更简便，再将出手点$P(0,\frac{7}{4})$代入，即可求出系数$a$，得到完整的函数解析式。
(2) 实心球落地时竖直高度为0，即$y=0$，将$y=0$代入已求出的二次函数解析式，解对应的一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到的正根就是落地点M的横坐标，也就是OM的长度。
【解析】
(1) 以O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线顶点坐标为$(5,4)$，设抛物线解析式为$y=a(x-5)^2+4$（$a≠0$）。
将点$P(0,\frac{7}{4})$代入解析式：
$a×(0-5)^2+4=\frac{7}{4}$
$25a+4=\frac{7}{4}$
解得$a=-\frac{9}{100}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$。
(2) 实心球落地时$y=0$，代入解析式得：
$-\frac{9}{100}(x-5)^2+4=0$
整理得$(x-5)^2=\frac{400}{9}$
开方得$x-5=\pm\frac{20}{3}$
解得$x_1=\frac{35}{3}$，$x_2=-\frac{5}{3}$
落地点在x轴正半轴，故舍去$x_2=-\frac{5}{3}$，即OM的长为$\frac{35}{3}$m。
【答案】
(1) $y=-\frac{9}{100}(x-5)^2+4$
(2) $\frac{35}{3}$ m
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际抛体场景中的应用，核心是将实际问题转化为二次函数模型求解，要注意结合实际场景对计算结果进行取舍，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.7
1. 函数$y=-x^2 +4x -1$的最大值是（
A.2
B.0
C.3
D.5
C
）。A.2
B.0
C.3
D.5
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查二次函数的最值求解，首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标即为函数的最大值。解题时可选择配方法将函数化为顶点式直接读出最值，也可代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，两种方法均符合当前学段要求。
【解析】
方法一：配方法
对函数变形可得：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x-1\\&=-(x^2-4x)-1\\&=-(x^2-4x+4-4)-1\\&=-(x-2)^2+4-1\\&=-(x-2)^2+3\end{aligned}$
$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore -(x-2)^2≤0$
当$x=2$时，$-(x-2)^2=0$，此时$y$取得最大值，最大值为3。
方法二：顶点公式法
对于二次函数$y=-x^2+4x-1$，可知$a=-1$，$b=4$，$c=-1$
$\because a=-1＜0$，$\therefore$函数有最大值，最大值为：
$\begin{aligned}\frac{4ac-b^2}{4a}&=\frac{4×(-1)×(-1)-4^2}{4×(-1)}\\&=\frac{4-16}{-4}\\&=\frac{-12}{-4}=3\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质、二次函数最值计算、配方法
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查二次函数最值的计算方法，只要熟练掌握配方法或顶点公式，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的最值求解，首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标即为函数的最大值。解题时可选择配方法将函数化为顶点式直接读出最值，也可代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，两种方法均符合当前学段要求。
【解析】
方法一：配方法
对函数变形可得：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x-1\\&=-(x^2-4x)-1\\&=-(x^2-4x+4-4)-1\\&=-(x-2)^2+4-1\\&=-(x-2)^2+3\end{aligned}$
$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore -(x-2)^2≤0$
当$x=2$时，$-(x-2)^2=0$，此时$y$取得最大值，最大值为3。
方法二：顶点公式法
对于二次函数$y=-x^2+4x-1$，可知$a=-1$，$b=4$，$c=-1$
$\because a=-1＜0$，$\therefore$函数有最大值，最大值为：
$\begin{aligned}\frac{4ac-b^2}{4a}&=\frac{4×(-1)×(-1)-4^2}{4×(-1)}\\&=\frac{4-16}{-4}\\&=\frac{-12}{-4}=3\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质、二次函数最值计算、配方法
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查二次函数最值的计算方法，只要熟练掌握配方法或顶点公式，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
